2020年河北省中考数学复习专题训练课件-课题32：圆的有关概念（含答案）.pptx

1、栏目索引 课题课题3232 圆的有关概念圆的有关概念 栏目索引 总纲目录 基础基础知识梳理知识梳理 考点一 圆的基本概念 考点二 垂径定理及推论 考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 考点四 确定圆的条件 考点五 圆周角定理及其推论 栏目索引 总纲目录 中考题型突破中考题型突破 题型一 考查圆的基本概念 题型二 考查垂径定理 题型三 考查圆周角定理 栏目索引 总纲目录 易错一 盲目套用弦与弧之间的关系 易错二 忽略圆的轴对称性而丢解 易错三 忽略圆的轴对称性而丢解 易混易错突破易混易错突破 栏目索引 河北考情探究 考点 年份 题号 分值 考查方式 1.圆周角 2018 25 10 以解答题

2、的形式,在有关圆的综 合性题 目中,考查圆心角的知识 2016 25 10 以解答题的形式,在有关圆的综 合性题 目中,考查圆周角 2.三角形的外接圆 2018 23 9 以解答题的形式,与全等三角形 等知识 相结合,考查三角形外心的知识 2017 23 9 以解答题的形式,以圆的切线、 扇形等 知识为载体,考查三角形外心的 知识 2016 9 3 以选择题的形式,考查三角形的 外接圆 备考策略:圆周角定理与三角形外接圆的知识,是圆的两个重要内容,贯穿于圆的知识的始终,一直是我省中考的热点内容,在中考中,或以选择题、填空题的形式单独考 查,或与圆的位置关系、相似三角 形、勾股定理等知识相结合,

3、以综合题的形式考查.预计今后我省中考对本部分内容的考查不会有太大的变化. 河北考情探究 栏目索引 基础知识梳理 考点一考点一 圆的基本概念圆的基本概念 基础知识梳理 1.圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点 叫做 圆心 ,定长叫做 半径 .其中,圆心确定圆的 位置 ,半径 确定圆的 大小 .圆心相同的圆叫做同心圆,半径相等的圆叫做等圆. 栏目索引 基础知识梳理 2.圆的有关概念:(1)弦:连接圆上任意两点的线段;(2)直径:经过圆心的弦;(3) 弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,其中大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的 弧称为劣弧;(4)圆心角:顶点在 圆心 的角;(5

4、)圆周角:顶点在 圆 上 且两边都和圆相交的角. 3.圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任何一条直径所在的 直线 都是它的对称轴,对称中心是 圆心 .另外,圆具有旋转不变性, 即圆绕着它的圆心旋转任意角度都能与原来的圆 重合 . 注:圆上任意一条弦对应 两 条弧. 栏目索引 基础知识梳理 1.垂径定理:垂直于弦的直径 平分 这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 考点二考点二 垂径定理及推论垂径定理及推论 2.推论:平分弦(不是直径)的直径 垂直 于弦,并且 平分 弦所对的 两条弧. 栏目索引 基础知识梳理 3.利用垂径定理还可以得到: 如图所示,根据圆的对称性,在以下五条结论中:(1

5、) = ;(2) = ;(3)AE= BE;(4)ABCD;(5)CD是直径,只要满足其中两个,另外三个结论一定成立,即 知二推三. AC BC AD BD 栏目索引 基础知识梳理 1.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 相等 ,所对的弦 相等 ,所对的弦的弦心距 相等 . 考点三考点三 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 2.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中 有一组量相等,那么它们对应的其余各组量都分别 相等 . 温馨提示 圆中同一条弦所对的圆周角 相等或互补 . 栏目索引 基础知识梳理 考点四考点四 确定圆的条件确定圆的条件

6、1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 2.三角形的外接圆:三角形的三个顶点在同一个圆上,这个圆叫做三角形的外 接圆,外接圆的圆心是三角形三边 垂直平分线 的交点,叫做三角形的外 心. 栏目索引 基础知识梳理 考点五考点五 圆周角定理及其推论圆周角定理及其推论 1.圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 栏目索引 基础知识梳理 2.圆周角定理的推论:(1)同弧或等弧所对的圆周角 相等 ,都等于这条弧 所对的圆心角的 一半 ;(2)半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ; (3)90的圆周角所对的弦是 直径 ;(4)圆内接四边形的对角 互补 . 温馨提示温馨提示 在解决与圆

7、内接四边形有关的问题时,为了方便解题,经常运用 “圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”的结论,这个结论可以看 做“圆内接四边形的对角互补”的一个推论. 栏目索引 中考题型突破 题型一题型一 考查圆的基本概念考查圆的基本概念 该题型主要考查圆的基本概念,如弦、弧、圆心角的概念以及它们之间的联 系,三角形的外接圆等内容,考查的方式以选择题或填空题为主,主要考查基 础知识. 中考题型突破 栏目索引 中考题型突破 典例典例1 (2017唐山滦县模拟)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是矩形内部 的一个动点,且AEBE,则线段CE的最小值为 ( B ) A. B.2 -2 C.2 -2

8、 D.4 3 2 10 13 栏目索引 中考题型突破 答案答案 B AEBE,点E在以AB为直径的O上,如图所示. 连接OC交O于点E,则当点E位于点E位置时,线段CE取得最小值. AB=4,OA=OB=OE=2. BC=6,OC= = =2 . CE=OC-OE=2 -2. 22 BCBO 22 6210 10 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 根据“两点之间,线段最短”,得到点E在点E的位置时线段CE取 得最小值,由此把求线段CE的最小值转化为求线段CE的长度.由于直接求CE 比较困难,故把求线段CE的长度转化为求线段OC与线段OE的差,因此利用 勾股定理与同圆的半径相等解答本题即

9、可. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练1 (2018河北模拟)如图,C是以点O为圆心,AB为直径的半圆上一 点,且COAB,在OC两侧分别作矩形OGHI和正方形ODEF,且点I,F在OC上, 点H,E在半圆上,可证:IG=FD.小云发现连接图中已知点得到两条线段,便可证 明IG=FD. 请回答:(1)小云所作的两条线段分别是 OH 和 OE ; (2)证明IG=FD的依据是矩形的对角线相等, 同圆的半径相等 和等量代换. 栏目索引 中考题型突破 解析解析 连接OH、OE,如图所示. 在矩形OGHI中,IG=OH;在正方形ODEF中, OE=DF. OH=OE, IG=FD. 栏目索引

10、中考题型突破 题型二题型二 考查垂径定理考查垂径定理 该题型主要考查利用垂径定理进行计算,垂径定理是中考的必考内容,常与圆 周角定理、勾股定理、等腰三角形、直角坐标系等知识相结合,考查的题型 既有选择题、填空题,也有解答题. 栏目索引 中考题型突破 典例典例2 (2018襄阳中考)如图,点A,B,C,D都在半径为2的O上,若OABC, CDA=30,则弦BC的长为 ( D ) A.4 B.2 C. D.2 233 栏目索引 中考题型突破 答案答案 D OABC, CH=BH, = . AOB=2CDA=60. 在RtBOH中, 得BH=OBsin AOB=2sin 60= . BC=2BH=2

11、 . AC AB 3 3 名师点拨名师点拨 利用垂径定理计算时,需要利用图中的直角三角形,当图中没有可 以利用的直角三角形时,需要构造直角三角形,一般情况下,所构造的直角三 角形由三条线段组成,即弦的一半,圆心到该弦的垂线段,过弦的一个端点的 半径. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练2 (2017保定涿州模拟)如图,O的半径是5,O是ABC的外接 圆,过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线,垂足分别为E、F、G,连接EF,若OG =3,则EF= 4 . 栏目索引 中考题型突破 解析解析 连接OA,如图所示,OGAC,AG= = =4, AC=2AG=8. OEAB,OFBC, AE=EB

12、,CF=FB, EF是ABC的中位线, 22 OAGO 22 53 EF= AC=4. 1 2 栏目索引 中考题型突破 题型三题型三 考查圆周角定理考查圆周角定理 该题型主要考查圆周角定理,主要考查内容有利用圆周角定理进行计算或证 明,常与垂径定理、勾股定理、圆的切线、锐角三角函数、全等三角形、相 似三角形等知识相结合,以综合题的形式考查. 栏目索引 中考题型突破 典例典例3 (2017浙江台州中考)如图,已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC 上一点(不与B,C重合),PE是ABP的外接圆O的直径. (1)求证:APE是等腰直角三角形; (2)若O的直径为2,求PC2+PB2的值. 栏目索

13、引 中考题型突破 答案答案 (1)证明:易知AB=AC,BAC=90, C=ABC=45. AEP=ABP=45. PE是直径, PAE=90. APE=90-45=45, PAE是等腰直角三角形. (2)作PMAC于M,PNAB于N,如图所示,则四边形PMAN是矩形. 栏目索引 中考题型突破 PM=AN. 由(1)知PAE是等腰直角三角形,PE= PA= AE. 易知PCM,PNB都是等腰直角三角形, PC= PM,PB= PN. PC2+PB2=( PM)2+( PN)2 22 22 22 =2(PM2+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=PE2=22=4. 名师点拨名师点拨 本题求

14、解的关键是在圆中利用等腰直角三角形的性质与判定. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练3 (2018无锡中考)如图,四边形ABCD内接于O,AB=17,CD=10, A=90,cosABC= ,求AD的长. 3 5 栏目索引 中考题型突破 答案答案 四边形ABCD内接于O,A=90, C=180-A=90, ABC+ADC=180. 作AEBC于E,DFAE于F,如图所示, 则四边形CDFE是矩形,EF=CD=10. 栏目索引 中考题型突破 在RtAEB中, BE=AB cos ABC=17 = . AE= = = . AF=AE-EF= -10= . ABC+ADC=180,CDF=90

15、, ABC+ADF=90. sinADF=cosABC= . 3 5 51 5 22 ABEB 2 2 51 17 5 68 5 68 5 18 5 3 5 栏目索引 中考题型突破 在RtADF中, AFD=90,sin ADF= , AD= = =6. 3 5 AF ADFsin 18 5 3 5 栏目索引 易混易错突破 易错一易错一 盲目套用弦与弧之间的关系盲目套用弦与弧之间的关系 易混易错突破 典例典例1 (2017江苏宿迁模拟)如图所示,在O中, =2 ,则弦AB与弦CD的 大小关系是 ( C ) A.AB2CD B.AB=2CD C.ABAB,即2CDAB,AB2CD,故选C. AB

16、 AE BE CD 答案答案 C 栏目索引 易混易错突破 易错二易错二 在无图的情况下出现丢解的错误在无图的情况下出现丢解的错误 典例典例2 已知CD是O的直径,A是O上的任意一点,过点D的弦DE平行于 半径OA,连接AC,若D的度数是50,则C的度数是 ( C ) A.25 B.65 C.25或65 D.25或50 易错警示易错警示 在无图的题目中,一定要先根据题意画出正确的图形,以免出现丢 解的错误.如本题,因为圆的半径有无数条,所以与DE平行的半径OA有两种情 况,即点A与点E位于CD同侧或异侧,所以本题的答案有两个. 栏目索引 易混易错突破 解析解析 根据题意,可以画出两种图形,当点A

17、,E位于直径CD的两侧时,如图1所 示,OADE,AOD=D=50,则C= AOD= 50=25;当点A,E位 于直径CD的同侧时,如图2所示,OADE,AOC=D=50,则C= (180-AOC)=65. 1 2 1 2 1 2 答案答案 C 栏目索引 易混易错突破 易错三易错三 忽略圆的轴对称性而丢解忽略圆的轴对称性而丢解 典例典例3 (2017广东茂名模拟)已知O的半径为13,AB,CD都是圆的弦,若AB CD,AB=24,CD=10,则AB,CD之间的距离是 ( D ) A.7 B.17 C.12 D.7或17 易错警示易错警示 本题中既没有给出图形,也没有告诉AB,CD与点O的位置关

18、系,因 此容易出现丢解的情形.实际上,由圆的轴对称性知本题应分两种情况求解, 即AB,CD位于点O的同侧及AB,CD位于点O的异侧. 栏目索引 易混易错突破 解析解析 当AB,CD在圆心O的同侧时,如图1所示,过O作OEAB于E,延长OE交 CD于F,连接OA,OC.ABCD,OFCD.由此可得AE= AB=12,CF= CD =5. 在RtAEO中,根据勾股定理,得OE= = =5, 在RtCFO中,根据勾股定理,得OF= = =12. EF=OF-OE=12-5=7. 当AB,CD在圆心O的异侧时,如图2所示,过O作OEAB于E,延长EO交CD于F, 同理可得OF=12,OE=5,EF=O

19、E+OF=17. 1 2 1 2 22 OAEA 22 1312 22 OCFC 22 135 栏目索引 易混易错突破 综上,AB,CD之间的距离为7或17. 答案答案 D 栏目索引 随堂巩固检测 1.(2018石家庄长安模拟)把地球和篮球的半径都增加一米,那么地球和篮球 的大圆的周长也都增加了,增加情况是 ( C ) A.地球多 B.篮球多 C.一样多 D.不能确定 随堂巩固检测 栏目索引 随堂巩固检测 2.如图,AB是O的直径,D、C在O上,ADOC,DAB=60,连接AC,则 DAC等于 ( B ) A.15 B.30 C.45 D.60 栏目索引 随堂巩固检测 3.当点A、B、C满足下

20、列条件时,总能确定一个圆的是 ( D ) A.AB=1,BC=4 B.AB=1,BC=2,AC=1 C.AB= -1,BC=2 +2,AC= +3 D.AB=3,BC=7,AC=5 333 栏目索引 随堂巩固检测 4.(2018邵阳中考)如图所示,四边形ABCD为O的内接四边形,BCD=120, 则BOD的大小是 ( B ) A.80 B.120 C.100 D.90 栏目索引 随堂巩固检测 5.如图,四边形PAOB是一个矩形,其中点P在 上且不与M,N重合,点A在O 的半径OM上,点B在O的半径ON上,当P点在 上移动时,矩形PAOB的形 状、大小随之变化,则PA2+PB2的值 ( C )

21、A.变大 B.变小 C.不变 D.不能确定 MN MN 栏目索引 随堂巩固检测 6.如图,O的半径等于4,如果弦AB所对的圆心角等于120,那么圆心O到弦 AB的距离等于 2 . 7.如图,已知O的半径为10,弦AB=12,M是AB上任意一点,则线段OM的长度 的取值范围是 8OM10 . 栏目索引 随堂巩固检测 8.(2018邢台临城模拟)如图,已知四边形ADBC是O的内接四边形,AB是直 径,AB=10 cm,BC=8 cm,CD平分ACB. (1)求AC与BD的长; (2)求四边形ADBC的面积. 栏目索引 随堂巩固检测 答案答案 (1)AB是直径, ACB=90. AC= = =6(c

22、m). CD平分ACB,ACD=BCD, BD=AD= AB= 10=5 (cm). (2)S四边形ADBC=SABC+SADB= AC BC+ AD BD= 68+ 5 5 =49(cm2). 22 ABCB 22 108 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 22 栏目索引 随堂巩固检测 9.如图,OA、OB是O的半径且OAOB,作OA的垂直平分线交O于点C、 D,连接CB、AB.求证:ABC=2CBO. 栏目索引 随堂巩固检测 答案答案 连接OC、AC,如图所示. CD垂直平分OA, OC=AC=OA. OAC是等边三角形,则AOC=60. ABC= AOC=30. OAOB, AOB=90, 在BOC中,BOC=AOC+AOB=150. 1 2 栏目索引 随堂巩固检测 OB=OC, CBO= (180-BOC)= (180-150)=15, ABC=2CBO. 1 2 1 2