北邮概率论讲议第4讲课件.ppt

1、2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院1第三节第三节 L-S测度和测度和L测度测度 作为测度的重要特列，本节给出了作为测度的重要特列，本节给出了Lebesque-Stieltjes测度（简称测度（简称 L-S测度）的构造方法，其特测度）的构造方法，其特殊情况就是殊情况就是L测度。测度。2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院2 (-,a B B(1)，(-,b B B(1)当当b a，(-,b (-,a=(a,b B B(1)另：另：1111,1,B BB Bnnbabanban，则：，有而：而：1,B Bbabab 一维一维Borel域域 设

2、设=R(1)，考虑由，考虑由R(1)的一些子集组成的集合类：的一些子集组成的集合类：G G=(-,a,a R(1)，称，称(G G)为为R(1)的的Borel域，域，记为记为B B(1)，并称，并称B B(1)中的元素为一维的中的元素为一维的Borel集。集。2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院3推广情形：推广情形：设设 为为n维维实数空间，考虑由实数空间，考虑由 的一些子集组成的集合类：的一些子集组成的集合类：niRxxxxRinn,2,1,:,)1(21)()(nR称称(G G)为为 上的上的Borel域，记作域，记作B B(n)。)(nR niRaainii,

3、2,1,:,11G G 121,(,),1,2,niniiiaxxxxa in n维维Borel域域2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院42023-1-7北京邮电大学电子工程学院4第三节第三节 L-S测度和测度和L测度测度一、一、n维维L-S测度测度(1)1(,R,1,2,niiiiia ba bin全体形如集的有限并:A当当bi=+时，将时，将(ai,bi改为改为(ai,+)。于是。于是(A A)=(G G)=B B(n)。令令要说明要说明(A A)=(G G)=B B(n)，分为两部分：，分为两部分：)()()()1(nnB BA AB BA A)()()2()

4、(A AG GB BA AG Gn2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院5如果某个如果某个bj=+,上式中改为上式中改为ajxjbj，于是，于是()(,Ra ba bn的有限并，A为表达方便，为表达方便，111(,),(,),(,(,):,1,2,nnniiiaabbxxaxb in令aba b2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院62023-1-7北京邮电大学电子工程学院6第三节第三节 L-S测度和测度和L测度测度一、一、n维维L-S测度测度利用利用n维广义分布函数维广义分布函数F(x1,x2 ,xn)，得到：，得到：A A上的测度上的测度

5、 F利用测度扩张定理可以唯一确定一个利用测度扩张定理可以唯一确定一个B B(n)上的测度上的测度利用测度完全化定理，可以唯一确定一个完全化利用测度完全化定理，可以唯一确定一个完全化的测度，这就是著名的的测度，这就是著名的kolmogorov定理。定理。类似地也可利用分布函数构造：类似地也可利用分布函数构造：B B(T)上的测度上的测度2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院7 12111111,111111,2112,121,2,=,101,.3.1niiiiinnnnjjjna bjnjjjkkknj kj knnnF x xxxabinabRaaabbbFF bbF

6、 bbabbF bbabbabbF aaF x x 若 元函数满足：（）关于每个 右连续；（）若，且，记：，称定，义nnx元广为义分布函数注意：分布函数一定是广义分布函数。注意：分布函数一定是广义分布函数。2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院8可以证明：对于可以证明：对于n元函数元函数F(x1,x2,xn)，在，在B B(n)上存在唯上存在唯一的测度一的测度 F，满足：，满足：F(a,b)=(a,b F，其中，其中a,b R(n)下面简单地阐述构造的步骤和方法：下面简单地阐述构造的步骤和方法：u若若a,b R(n)，则，则(a,b A A，定义定义 F(a,b)=(

7、a,b F b,avlimb,avRbRRaFaaFnnn，定义，若 FbbFnnnb,avlimb,avRRbRa，定义，若 FbbaaFnnb,avlimb,avRRb,a，定义若2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院9uA A上的每个集合可表为互不相交的上的每个集合可表为互不相交的(a,b的有限的有限并，即：并，即：mkkkFFmkkkb,avAvb,aA11，定义u由前面两步在由前面两步在A A上上定义的测度是定义的测度是-有限的，由有限的，由扩张定理，可以将扩张定理，可以将 F唯一地扩张到唯一地扩张到(A A)=B B(n)上，且使得：上，且使得：F(a,b

8、)=(a,b F，其中，其中a,b R(n)2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院10u将将B B(n)上的测度上的测度 F完全化，记完全化，记B B(n)关于关于 F的完全化的完全化的的-代数为代数为B B(n)F，定义在，定义在B B(n)F 上的完全化测度仍上的完全化测度仍记用记用 F。综上所述，称这样定义的测度综上所述，称这样定义的测度 F为由广义分布函为由广义分布函数数F产生的产生的Lebesque-Stieltjes测度（简称测度（简称L-S测度）。测度）。2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院11 L-S测度的特殊情况是测度的特

9、殊情况是L测度，当取：测度，当取：F(x1,x2,xn)=x1x2xn 当当n=1，L测度即为区域测度即为区域(a,b的的长度长度 当当n=2，L测度即为区域测度即为区域(a,b的的面积面积 当当n=3，L测度即为区域测度即为区域(a,b的的体积体积 此时：此时：(a,bF=b1b2b3-a1b2b3-b1a2b3-b1b2a3 +a1a2b3+a1b2a3+b1a2a3 -a1a2a3 =(b3-a3)(b2-a2)(b1-a1)2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院122023-1-7北京邮电大学电子工程学院12当取：当取：F(x1,x2,xn)为为n维随机变量维

10、随机变量 的分布函数的分布函数,则由则由F生成的生成的B B(n)F上的测度记为上的测度记为PF，它是，它是B B(n)F上上的概率测度，的概率测度，PF(R(n)=1。这个结论其实正是概。这个结论其实正是概率论中著名的率论中著名的Kolmogorov定理。定理。二、二、无穷维无穷维Borel域域B B(T)上的测度（略）上的测度（略）1、分布函数的相容性、分布函数的相容性2、B B(T)上的测度上的测度PF2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院13第四节第四节 概率空间概率空间2023-1-7北京邮电大学电子工程学院13定义定义1.4.1 设设 为一非空集合，为一非

11、空集合，F F是是 上的上的-代数，称代数，称(，F F)为可测空间；若为可测空间；若A F F，则称，则称A为为F F可测集或可测集；若可测集或可测集；若 是是F F上的测度，上的测度，则称则称(，F F，)为测度空间为测度空间。定义定义1.4.3 设设(，F F)为可测空间，为可测空间，P是是F F 上的概率测度，上的概率测度，则称则称(，F F，P)为概率空间为概率空间；若；若A F F，则称，则称A为为(，F F，P)的随机事件或事件。的随机事件或事件。第五节第五节 条件概率空间和事件的独立性条件概率空间和事件的独立性（略，自学）（略，自学）2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京

12、邮电大学电子工程学院14 本章先介绍一般的可测函数，把随机本章先介绍一般的可测函数，把随机变量作为其特殊情况，再讨论随机变量的变量作为其特殊情况，再讨论随机变量的性质。性质。第二章第二章 随机变量和可测函数随机变量和可测函数 随机变量的分布随机变量的分布2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院15 随机变量是取有限值的可测函数随机变量是取有限值的可测函数，而而可测函数可为无穷大可测函数可为无穷大，因此我们约定：，因此我们约定：无意义任意，同时，xxxxxxxxxxxx0000002023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院16第一节第一节 可测函数和

13、随机变量可测函数和随机变量一、映射及其逆象一、映射及其逆象定义定义2.1.1 设设，R为两个非空集合，若对每一个为两个非空集合，若对每一个 ，在在R中存在唯一的元素中存在唯一的元素x与之对应，称这种对应关系为由与之对应，称这种对应关系为由 到到R上的映射，记为：上的映射，记为：x=f()，并称并称 f 为为 到到R上的映射。上的映射。R fx B Bf1 下的逆象在为fBBfBf:1 G GG GG G11:ffBBf 是是 在在 下下的的逆逆象象2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院17逆象具有如下性质：逆象具有如下性质：11111111212121111tttt

14、Tt Ttttt Tt TfRffBfBBRfBBfBfBBBRfBfBBRtTfBfBBRtT ，11,()()ABRfAfB 有有T是任一指标集是任一指标集T是任一指标集是任一指标集2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院18 BfBfBfBfBfBfBfBffxBxfxBxBfRBBfBf11111111111类似地可证：即即则，有即使得由逆象的定义证明：对，选证以下性质：选证以下性质：2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院19定理定理2.1.1 设设f 为为 到到R上的映射上的映射如果如果B B是是R上的上的-代数，则代数，则 f-1(

15、B B)是是 上的上的 -代数代数证明证明：(1)根据逆象的性质和根据逆象的性质和-代数即可证明代数即可证明nR B B，则：，则：f-1(R)f-1(B B)而：而：f-1(R)=则：则：f-1(B B)(1)若若A f-1(B B)，则存在，则存在B B B，使得，使得A=f-1(B)：B B B BB B1111BfBffBAf ，故故：，即即：BBBB=BB=BBBBBB111111111111,2,1,2,nnnnnnnnnnnnAnfBnAfBBfBffBfAf 若若（），存存在在（）使使得得（）。又又：，即即：，即即：2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学

16、院20定理定理2.1.1 设设f 为为 到到R上的映射上的映射如果如果G G是是R上的任一非空集合类，则：上的任一非空集合类，则：f-1(G G)=(f-1(G G)（2.1.1）证明证明：(2)由由(1)知：知：f-1(G G)是是 上的上的-代数代数n由由G G(G G)，则：，则：f-1(G G)f-1(G G)n即即f-1(G G)是包含是包含f-1(G G)的的-代数代数n则：则：(f-1(G G)f-1(G G)(2)欲证反包含关系：欲证反包含关系：f-1(G G)(f-1(G G)2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院21为此引入辅助集合类：为此引入辅助

17、集合类：H H=C：C R，f-1(C)(f-1(G G)（2.1.2)只须证明只须证明H H是包含是包含G G的的-代数。代数。由由 f-1(G G)(f-1(G G)，则，则G G H Hn (f-1(G G)，且，且f-1(R)=则则f-1(R)(f-1(G G)，即，即R H Hn若若C H H，则，则f-1(C)(f-1(G G)，但，但(f-1(G G)是是-代数，则代数，则 H HG GCfCfCf，所以111 H HG GG GG GH H1111111112121nnnnnnnnCfCffCff,nCf,nC，即：，则：若 2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学

18、电子工程学院22 H HG GH HG GG GH HG GG GG GG GG G1111111fffffff ，于于是是：故故：即即：于于是是：定义定义2.1.2 设设(,F F)，(R,B B)是可测空间，是可测空间，f 是是 到到R上的映射，若对每一个上的映射，若对每一个B B B，有，有f-1(B)F F，称，称 f 是是(,F F)到到(R,B B)上的上的可测映射可测映射。f 是是(,F F)到到(R,B B)上的上的可测映射可测映射 f-1(B B)F F 2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院23二、可测函数和随机变量二、可测函数和随机变量 可测映射

19、的具体化即为可测函数：可测映射的具体化即为可测函数：定义定义2.1.3 设设f是是(,F F)到到 的可测映射，则称的可测映射，则称 f 为为(,F F)上的实可测函数；若上的实可测函数；若 f 是是(,F F)到到 的的上的可测映射，则称上的可测映射，则称 f 为为(,F F)上的上的n维实可测函维实可测函数。数。),()1()1(B BR f1,f2为为(,F F)上的实可测函数，则：上的实可测函数，则：f=f1+i.f2为为复可测函数。复可测函数。),()()(nn B BR2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院24关于可测函数有下面的结论：关于可测函数有下面的

20、结论：定理定理2.1.2 (1)f 是是(,F F)上的实可测函数上的实可测函数 对对 x ，:f()x F F（2.1.3）证明证明：(1)的必要性利用实可测函数的定义显然成立的必要性利用实可测函数的定义显然成立下面仅证明充分性：下面仅证明充分性：F FG GG GB BF FG GF FF FG GB BG GG GG G111111111112312fff.f-f.RRx:x,有：由代数，因此是而有：，由而上的集合类是，则令)1(R2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院25定理定理2.1.2(2)f=(f1,f2,f n)是是(,F F)上的上的 n 维实可测函

21、数维实可测函数 上的实可测函数是F,R,2,11kfk证明略，请自学，见证明略，请自学，见P26 上的实可测函数是则：但：为可测函数，则：由，则：令：，有：，若只须证明对证明：FFFBFB,R,11211112111kkkkjjknnnnnnjknnkkfBfBfRfBfBfffBfBffBxkjBxxxxBBfBf2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院26则称则称 为为(,F F,P)上的随机变量。上的随机变量。类似地可定义类似地可定义n维随机变量和复随机变量，见维随机变量和复随机变量，见P26 不难看出：不难看出：为为(,F F,P)上的随机变量，意味着上的随机变

22、量，意味着 是是(,F F)到到(R(1),B B(1)的可测映射。的可测映射。下面给出随机变量的定义：下面给出随机变量的定义：定义定义2.1.4 设设(,F F,P)是一概率空间，是一概率空间，=()是定义是定义在在 上的取有限值的实函数，若对任意的实数上的取有限值的实函数，若对任意的实数x，有：，有：F F x：2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院27三、复合映射和随机变量的函数三、复合映射和随机变量的函数定义定义2.1.6 设设 f 为为 到到R上的映射，上的映射，g为为R到到R上上的映射，则：的映射，则：(g f)()=(g(f()表示表示 到到R上的上的映

23、射，称为映射，称为f 和和g的复合映射，记为的复合映射，记为g f。定理定理2.1.3 设设f 是可测空间是可测空间(,F F)到到(R,B B )的可测的可测映射映射，g为为(R,B B)到到(R,B B)上的可测映射，则复合上的可测映射，则复合函数函数g f 是是(,F F)到到(R,B B)的可测映射的可测映射（证明略）（证明略）定义定义2.1.7 设设g为为 到到 上的实可测上的实可测函数，则称函数，则称g是是n元的元的Borel可测函数。可测函数。)()(,nnB BR)1(1),B BR2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院28定理定理2.1.4 g是是n

24、元的元的Borel可测函数，而可测函数，而f1,f2,fn是可测空间是可测空间(,F F)上的上的n个个实可测函数，则：实可测函数，则：g(f1,f2,f n)是可测空间是可测空间(,F F)上的上的实可测函数。实可测函数。关于随机变量的函数有下面的结论：关于随机变量的函数有下面的结论：定理定理2.1.5 g是是(R(n),B B(n)到到(R(1),B B(1)上的上的n元的元的Borel可测函数，而可测函数，而 1,2,n是是(,F F,P)上的随机变量，上的随机变量，则：则：g(1,2,n)是是(,F F,P)上的随机变量。上的随机变量。2023-1-7北京邮电大学电子工程学院北京邮电大学电子工程学院29定理定理2.1.6 设设g是是 上的上的 11,B BB B RR到到nnn元元Borel可测函数，而可测函数，而 1,n是是(,F F,P)上上的随机变量，如果：的随机变量，如果：0,g21nP：则则g(1,n)是是(,F F,P)上的随机变量。上的随机变量。