函数的性质—奇偶性课件.ppt

1、 函数的基本性质函数的基本性质奇偶性奇偶性引引 例例1.已知函数已知函数f(x)=x2,求求f(-2),f(2),f(-1),f(1),及及f(-x),并画出它的图象并画出它的图象解解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-2)=f(2)f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-1)=f(1)f(-x)=(-x)2=x2f(-x)=f(x)思考思考:(1)这两个函数图象有什么共同特征吗？这两个函数图象有什么共同特征吗？(2)从解析式上如何体现上述特征？从解析式上如何体现上述特征？偶函数的特征偶函数的特征:解析式的基本特征：解析式的基本特征：f(-x)=f(x)图像特征图像特征:关于

2、关于y轴对称轴对称.如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内任意一个任意一个x,都有都有f(-x)=)=f(x),),那么函数那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数.1.1.偶函数的概念偶函数的概念2.已知已知f(x)=x3,画出它的图象画出它的图象,并求出并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及及f(-x)解解:f(-2)=(-2)3=-8,f(2)=8f(-2)=-f(2)f(-1)=(-1)3=-1,f(1)=1 f(-1)=-f(1)f(-x)=(-x)3=-x3 f(-x)=-f(x)思考思考:通过练习通过练习,你发现了什么规律你发现了什么规律?(-x,-y)

3、(x,y)奇函数的特征奇函数的特征:解析式的基本特征：解析式的基本特征：f(-x)=-f(x)图像特征图像特征:关于原点对称关于原点对称.如果对于函数如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内任意一个任意一个x,都有都有f(-x)=)=-f(x),),那么函数那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数.2.2.奇函数的概念奇函数的概念 如果一个函数如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数是奇函数或偶函数,那么那么我们就说函数我们就说函数f(x)具有奇偶性具有奇偶性.如果一个函数是奇函数，则这个函如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象数的图象以坐标原点为对称中心的中心以坐标原点为对称中心的中心对称图形对

4、称图形.反之，如果一个函数的图象是反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是则这个函数是奇函数奇函数.如果一个函数是偶函数，则它的图如果一个函数是偶函数，则它的图形是形是以以y轴为对称轴的轴对称图形轴为对称轴的轴对称图形；反之，；反之，如果一个函数的图象关于如果一个函数的图象关于y轴对称，则这轴对称，则这个函数是个函数是偶函数偶函数.3.奇函数与偶函数图象性质奇函数与偶函数图象性质 奇函数、偶函数的图象性质奇函数、偶函数的图象性质1.奇函数的图象关于原点奇函数的图象关于原点成中心对称图形成中心对称图形;2.偶函数的图象关于偶函

5、数的图象关于y 轴轴成轴对称图形成轴对称图形.奇偶函数图象的性质可用于：奇偶函数图象的性质可用于：简化函数图象的画法；简化函数图象的画法；判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性.4.判定函数的奇偶性的步骤：判定函数的奇偶性的步骤：(1)(1)先求函数的定义域；先求函数的定义域；若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数非奇非偶函数.若定义域是关于原点对称的区间若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步进入第二步;(2)计算计算f(x)化向化向 f(x)的解析式；的解析式；若等于若等于 f(x),则函数是偶函数则函数是偶函数,若等于若等于f(x),则函数

6、是奇函数则函数是奇函数,若不等于若不等于 ,则函数是非奇非偶函数则函数是非奇非偶函数(3)(3)结论结论.()f x 有时判定有时判定f(-x)=f(x)比较困难比较困难,可考虑判定可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定或判定f(x)/f(-x)=1.例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(x)=x3+2x；(2)f(x)=2x4+3x2；解解:f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)，f(x)为奇函数为奇函数 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2f(x)为偶函数为偶函数函数定义域为函数定义域为R解解:函数定义域为函数定义域为R=f(x)，例

7、题分析解解:函数定义域为函数定义域为R3(3)()f xx 33()fxxx f(x).f(x).f(x)为奇函数为奇函数有既奇又偶的函数来吗？有既奇又偶的函数来吗？解解:函数函数定义域为定义域为 0,+)定义域不关于原点对称，定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数(4)()f xx-230 xy(6)f(x)=x+1解解:函数函数f(x)的定义域为定义域为R f(-x)=f(x)=0，又又 f(-x)=-f(x)=0，f(x)为既奇又偶函数为既奇又偶函数(5)f(x)=0 (x R)根据奇偶性根据奇偶性,函数可划分为四类函数可划分为四类:奇函数奇函数;偶函数偶函数;既奇又

8、既奇又偶函数偶函数;非奇非非奇非偶函数偶函数.解解:函数定义域为函数定义域为R f(-x)=-x+1，-f(x)=-x-1,f(-x)f(x),且且f(-x)f(x).f(x)为非奇非偶函数为非奇非偶函数.例题2.判断下列函数的奇偶性f(x)为奇函数为奇函数.解解:定义域为定义域为x|x0,即即 f(-x)=-f(x),1()()()1,fxxxxx 1(1)()f xxx(3)f(x)=5(3)f(x)=5解:f(x)的定义域为R.f(-x)=f(x)=5yox5f(x)为偶函数.(4)f(x)=|x+1|-|x-1|22(3)()11f xxxf(x)既是偶函数既是偶函数,又是奇函数又是奇

9、函数.解解:函数的定义域为函数的定义域为-1,1,(1)(1)(1)0.fff 例3.若函数是偶函数,求m的值.2123fxmxmx注：注：1.奇、偶函数的定义域一定关于原点对称奇、偶函数的定义域一定关于原点对称.例例1.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性2(1)(23);yxx 定义域不对称的函数无奇偶性，既不是定义域不对称的函数无奇偶性，既不是奇函数也不是偶函数。奇函数也不是偶函数。1(2)(1).1xyxx 例例2.判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性001(1)1;(2)1;(3)(1)1;(4)2.yxxyxyxy 复习：判定函数的奇偶性的步骤：复习：判定函数的奇偶性的步骤

10、：(1)(1)先求函数的定义域；先求函数的定义域；若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为若定义域不是关于原点对称的区间，则函数为非奇非偶函数非奇非偶函数.若定义域是关于原点对称的区间若定义域是关于原点对称的区间,进入第二步进入第二步;(2)计算计算f(x)化向化向 f(x)的解析式；的解析式；若等于若等于 f(x),则函数是偶函数则函数是偶函数,若等于若等于f(x),则函数是奇函数则函数是奇函数,若不等于若不等于 ,则函数是非奇非偶函数则函数是非奇非偶函数(3)(3)结论结论.()f x 有时判定有时判定f(-x)=f(x)比较困难比较困难,可考虑判定可考虑判定f(-x)f(x)=0或判定或

11、判定f(x)/f(-x)=1.；2,111)(2 xxxk(4)(7)(8)判断下列函数的是否具有奇偶性判断下列函数的是否具有奇偶性(1)f(x)xx3；(奇奇)(2)f(x)x2；(3)h(x)x31；(5)f(x)(x1)(x1)；(6)g(x)x(x1)；3)(xxxh .11)(2 xxk练练 习习；2,111)(2 xxxk(4)(7)(8)1.判断下列函数的是否具有奇偶性判断下列函数的是否具有奇偶性(1)f(x)xx3；(奇奇)(2)f(x)x2；(3)h(x)x31；(5)f(x)(x1)(x1)；(6)g(x)x(x1)；3)(xxxh .11)(2 xxk练练 习习；2,11

12、1)(2 xxxk(4)(7)(8)1.判断下列函数的是否具有奇偶性判断下列函数的是否具有奇偶性(1)f(x)xx3；(奇奇)(2)f(x)x2；(偶偶)(3)h(x)x31；(5)f(x)(x1)(x1)；(6)g(x)x(x1)；3)(xxxh .11)(2 xxk练练 习习；2,111)(2 xxxk(4)(7)(8)1.判断下列函数的是否具有奇偶性判断下列函数的是否具有奇偶性(1)f(x)xx3；(奇奇)(2)f(x)x2；(偶偶)(3)h(x)x31；(非奇非偶非奇非偶)(5)f(x)(x1)(x1)；(6)g(x)x(x1)；3)(xxxh .11)(2 xxk练练 习习；2,11

13、1)(2 xxxk(4)(7)(8)1.判断下列函数的是否具有奇偶性判断下列函数的是否具有奇偶性(1)f(x)xx3；(奇奇)(2)f(x)x2；(偶偶)(3)h(x)x31；(非奇非偶非奇非偶)(非奇非偶非奇非偶)(5)f(x)(x1)(x1)；(6)g(x)x(x1)；3)(xxxh .11)(2 xxk练练 习习；2,111)(2 xxxk(4)(7)(8)1.判断下列函数的是否具有奇偶性判断下列函数的是否具有奇偶性(1)f(x)xx3；(奇奇)(2)f(x)x2；(偶偶)(3)h(x)x31；(非奇非偶非奇非偶)(非奇非偶非奇非偶)(5)f(x)(x1)(x1)；(6)g(x)x(x1

14、)；3)(xxxh .11)(2 xxk练练 习习(偶偶)；2,111)(2 xxxk(4)(7)(8)1.判断下列函数的是否具有奇偶性判断下列函数的是否具有奇偶性(1)f(x)xx3；(奇奇)(2)f(x)x2；(偶偶)(3)h(x)x31；(非奇非偶非奇非偶)(非奇非偶非奇非偶)(5)f(x)(x1)(x1)；(6)g(x)x(x1)；3)(xxxh .11)(2 xxk练练 习习(非奇非偶非奇非偶)(偶偶)；2,111)(2 xxxk(4)(7)(8)1.判断下列函数的是否具有奇偶性判断下列函数的是否具有奇偶性(1)f(x)xx3；(奇奇)(2)f(x)x2；(偶偶)(3)h(x)x31

15、；(非奇非偶非奇非偶)(非奇非偶非奇非偶)(5)f(x)(x1)(x1)；(6)g(x)x(x1)；3)(xxxh .11)(2 xxk练练 习习(奇奇)(非奇非偶非奇非偶)(偶偶)；2,111)(2 xxxk(4)(7)(8)(偶偶)1.判断下列函数的是否具有奇偶性判断下列函数的是否具有奇偶性(1)f(x)xx3；(奇奇)(2)f(x)x2；(偶偶)(3)h(x)x31；(非奇非偶非奇非偶)(非奇非偶非奇非偶)(5)f(x)(x1)(x1)；(6)g(x)x(x1)；(奇奇)；3)(xxxh .11)(2 xxk练练 习习(非奇非偶非奇非偶)(偶偶)(1)奇、偶函数定义的倒置也成立奇、偶函数

16、定义的倒置也成立,即若即若f(x)为奇函数为奇函数,则则f(-x)=f(x)成立成立.若若f(x)为偶函数为偶函数,则则f(-x)=f(x)成立成立.(2)判断函数是否具有奇偶性判断函数是否具有奇偶性.首先要看函数首先要看函数的定义域是否关于原点对称的定义域是否关于原点对称,即函数定义域关即函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提于原点对称是函数具有奇偶性的前提注意事项a,b-b,-axo注意事项：注意事项：(3)(3)函数是奇函数或是偶函数称为函数的函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质函数的奇偶性是函数的整体性质;而而函数的单调性是函数的局部性质函数

17、的单调性是函数的局部性质.(4)如果一个函数如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，是奇函数或偶函数，那么我们就说函数那么我们就说函数f(x)具有奇偶性具有奇偶性.已知函数已知函数y=f(x)在在R上是奇函数上是奇函数,而且在而且在(0,+)上是增函数上是增函数,证明证明y=f(x)在在(-,0)上也是上也是增函数增函数.已知函数已知函数y=f(x)在在R上是奇函数上是奇函数,而且在而且在(0,+)上上是增函数是增函数,证明证明y=f(x)在在(-,0)上也是增函数上也是增函数.证明证明:任取任取x1,x2(-,0),且且x1x2.f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数,则则120.xx 1

18、2()()fxfx又又f(x)在在R上是奇函数上是奇函数,12()().f xf x 即即 f(x1)x20,f(x)在在(0,+)(0,+)上是减函数上是减函数,f(x1)f(x2).f(x)是偶函数是偶函数,f(x1)0,-x0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,222,0,()2,0.xx xf xxx x 故故即-f(x)=(x2+2x),f(x)=-x2-2x.例例7 设设f(x)是偶函数，是偶函数，g(x)是奇函数，是奇函数，且且，11)()(xxgxf求函数求函数f(x)，g(x)的解析式；的解析式；1.函数奇偶性的定义函数奇偶性的定义 定义法定义法3.3.利用函数奇偶性的简单应用利用函数奇偶性的简单应用2.2.函数奇偶性的判定函数奇偶性的判定图象法图象法:画出奇函数或者偶函数函数图象画出奇函数或者偶函数函数图象()()()0,1.()f xf xfxfx 考查函数定义域是否考查函数定义域是否关于原点对称关于原点对称；判断判断f(-x)f(x)之一是否成立；之一是否成立；作出结论作出结论.