光纤光学第二章课件.ppt

1、第二章第二章 光纤光学的基本方程光纤光学的基本方程1.分析光纤中光波传输特性的方法分析光纤中光波传输特性的方法2.光纤光学所涉及到的基本问题光纤光学所涉及到的基本问题3.麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程4.程函方程与射线方程程函方程与射线方程5.波导场方程与模式波导场方程与模式6.导模分析中的重要参量导模分析中的重要参量内容摘要：内容摘要：分析光纤中光波传输特性的方法分析光纤中光波传输特性的方法u 几何光学方法几何光学方法002,0,.a当光纤芯径远大于光波波长时可近似认为从而将光波近似看作光线,可采用几何光学方法来分析光线的入射,传播轨迹 时延 色散 及光强分布等特性 这

2、种分析方法即光线理论优点优点：简单直观，适用于多模光纤缺点缺点：不能解释诸如模式分布、包层模、模式耦合以及光场分布等现象，分析单模光纤时结果存在很大的误差。u 波动光学方法波动光学方法这是一种严格的分析方法，从光波的本质特性电磁波出这是一种严格的分析方法，从光波的本质特性电磁波出发，通过求解电磁波所遵守的麦克斯韦方程，导出电磁波的发，通过求解电磁波所遵守的麦克斯韦方程，导出电磁波的场分布。场分布。优点优点：具有理论上的严谨性，未做任何前提近似，因具有理论上的严谨性，未做任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单模及多模光纤此适用于各种折射率分布的单模及多模光纤缺点缺点：分析过程较为复杂分析过程

3、较为复杂光纤光学的研究方法光纤光学的研究方法两种理论的分析思路两种理论的分析思路电磁分离电磁分离时空分离时空分离纵横分离纵横分离00射线方程折射率分布边界条件波导场方程光线轨迹本征解本征值传输特性分析麦克斯韦方程波动方程亥姆霍兹方程光纤光学所涉及到的基本问题光纤光学所涉及到的基本问题 理论研究方面理论研究方面 光纤模式的激励（或光的入射）光纤模式的激励（或光的入射）光纤中的模式分布（或光线传播轨迹）光纤中的模式分布（或光线传播轨迹）模式的传播速度（光线的延迟）模式的传播速度（光线的延迟）模式沿横截面的分布模式沿横截面的分布 光信号的畸变光信号的畸变 传输损耗传输损耗 模式的偏振特性模式的偏振特

4、性 模式的耦合模式的耦合 光纤技术方面光纤技术方面 参数测试技术参数测试技术 自聚焦、准直技术自聚焦、准直技术 连接、耦合技术连接、耦合技术 隔离、偏振控制技术隔离、偏振控制技术 传感技术传感技术 光纤器件所涉及的方面光纤器件所涉及的方面 自聚焦透镜自聚焦透镜 光纤耦合器光纤耦合器 光隔离器、光环形器光隔离器、光环形器 光纤光栅光纤光栅 光纤放大器、光纤激光器光纤放大器、光纤激光器麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程l 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 光纤是一种介质光波导，它具有如下特点：无传导电流 无自由电荷 线性各向同性00/BDtBEtDH200:Dn EBH物质方程 边界条件

5、边界条件在两种介质交界面处电磁矢量的在两种介质交界面处电磁矢量的E与与H的切向分量及的切向分量及D与与B的法向分量连续：的法向分量连续：12121212ttttnnnnEEHHBBDDl 波动方程：电矢量与磁矢量分离波动方程：电矢量与磁矢量分离得到只与电场强度得到只与电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与磁场强度有关的方程式及只与磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式：有关的方程式：022200222202EEntHHntl 亥姆霍兹方程：时、空坐标分离亥姆霍兹方程：时、空坐标分离得到关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式前提前提：光纤中传输的为定态波，时间函数为简谐函数光纤

6、中传输的为定态波，时间函数为简谐函数令其中一个其中一个分量为：,j tx y z tx y z e 时空相分离时空相分离22,0 x y zkx y z 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程02pkkVnk 是光纤中光波的波数:程函方程与射线方程程函方程与射线方程l 程函方程：光程函数方程 将正向传输的光波的场矢量写成下列形式：0000,exp,exp,E x y zEx y zik Q x y zH x y zHx y zik Q x y z000,E Hk QQ是振幅是相位是光程0000expEEikQEik Q 000,0kkQ 当或时很大 上式右方的第一项可略去(几何近似),可得:000expEi

7、kQEik Q 同理：同理：000expHikQHik Q 而：而：00000000expexpDEEEikEQik QikEQik Q 20000,inx y zk 将这些式子代入麦克斯韦方程并利用t000020000000,000QEHQHnx y z EEQHQ由于：由于：20000QQEEQQEQQEQ 22000EQn E0:H由前两式消去可得0:E有非零解的条件是22,Q x y znx y z程函方程程函方程描述光波的光程描述光波的光程函数函数Q的变化的的变化的方程方程,.QQ x y zconst当折射率分布已知时 就可由程函方程求出光程函数并进而由求得光线的轨迹l 光线方程光

8、线方程由程函方程可以推得光线方程，这可直接确定光线的轨迹由程函方程可以推得光线方程，这可直接确定光线的轨迹(,),Q x y zdsdrrds设是光程函数是光线上的一微分段,为光线上某点的坐标,为光线方向的单位矢量,则有 dsdrrrdr,Q x y zxz ,:Q rn rQ垂直于等相位面 即与平行所以rx xy yz z ddxdydzdrdsdsxdsydszds因为：因为：所以：所以：dQ rdrQ rn rn rdsds 又因为：又因为：dQ rdQ rn rdsdsddddrQ rn rn rdsdsdsds 因此有：因此有：ddrn rn rdsds 光线方程光线方程另一种方法：

9、另一种方法：2222Q rnrQ rQ rn rn rdrdn rQ rn rn rddrn rn rdsdQ rnddssrs 当光线与当光线与z轴夹角很小时，光线方程可近似为：轴夹角很小时，光线方程可近似为：()ddrn rn rdzdz 光线方程的物理意义：将光线轨迹(由r r描述)和空间折射率分布(n)联系起来;由光线方程可以直接求出光线轨迹表达式;dr r/dS是光线切向斜率,对于均匀波导，n为常数,光线以直 线形式传播;对于渐变波导,n是r r的函数,则dr r/dS为一变量,这表明光线将发生弯曲。而且可以证明,光线总是向折射率 高的区域弯曲。典型光线传播轨迹典型光线传播轨迹SIO

10、FGIOF反射型折射型在均匀折射率介质中，光线轨迹为直线传播。设R是光线弯曲的曲率半径，N为光线法向单位矢量，则：11Nn rRn r3.球面对称媒质中的光线都是平面曲线，位于通过原点的某一平面上 ddrn rn rdsds 5.波导场方程与模式波导场方程与模式根据光纤中电磁波传播的特征，可以对亥姆霍兹方程进行根据光纤中电磁波传播的特征，可以对亥姆霍兹方程进行空间坐标纵、横分离。令：空间坐标纵、横分离。令：亥姆霍兹方程：亥姆霍兹方程：22,0 x y zkx y z,i zx y zx y e得到：得到：22,0tx yx y 波导场方程波导场方程2222220n k 横向传播常数：横向传播常

11、数：纵向传播常数：纵向传播常数：0cosznkn 波导场方程：波导场方程：是波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的本是波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的本征方程征方程,其本征值为其本征值为 或或。当给定波导的边界条件时。当给定波导的边界条件时,求解波导场方求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式模式”。模式的基本特征：模式的基本特征：有序性，模式是波导场方程的一系列特解，对应于某一本征值并满足全有序性，模式是波导场方程的一系列特解，对应于某一本征值并满足全部边界条件，是离散的、可排序的；部边界条件，是离散的、可排序的

12、；叠加性，光波导中总的场分布是一系列模式的线性叠加；叠加性，光波导中总的场分布是一系列模式的线性叠加；每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波；每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波；稳定性，模式具有确定的相速群速和横场分布；稳定性，模式具有确定的相速群速和横场分布；正交性，不同模式之间满足正交关系。正交性，不同模式之间满足正交关系。-模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定的波导中能够存给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的在的模式及其性质是已确定了的,外界激励源只能激励起光波导中允许外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不

13、会改变模式的固有性质。存在的模式而不会改变模式的固有性质。模式命名：模式命名：根据场的纵向分量根据场的纵向分量Ez和和Hz的存在与否的存在与否,可将模式命可将模式命名为名为:(1)横电磁模横电磁模(TEM):EzHz0;(2)横电模横电模(TE):Ez0,Hz0;(3)横磁模横磁模(TM):Ez0,Hz0;(4)混杂模混杂模(HE或或EH):Ez0,Hz0。光纤中存在的模式多数为光纤中存在的模式多数为HE(EH)模模,有时也出现有时也出现TE(TM)模。模。光纤中不可能存在光纤中不可能存在TEM模模6.导模分析中的重要参量导模分析中的重要参量 场分布场分布(本征解本征解),;,xyzxyzEE

14、E HHH,;,rzrzE EE HHH直角坐标圆柱坐标纵向传播常数纵向传播常数()：与本征解相对应的本征值与本征解相对应的本征值Z方向单位长度位相的变化率；方向单位长度位相的变化率；波矢波矢k的的z-分量分量实际上是等相位面沿z轴的变化率；数值分立，对应一组导模；不同的导模对应于同一个数值，则称这些导模简并0coszzk enk 222210222200nr krarn kra201 0n kn k:芯区为实数包层为纯虚数 归一化频率（归一化频率（V）对于给定的光纤，其传输的导模由其结构参数限定。对于给定的光纤，其传输的导模由其结构参数限定。光纤的结构参数可由其归一化频率光纤的结构参数可由其

15、归一化频率V表征：表征：220120122Va nnk an V值越大，允许存在的导模数就越多导模截止：导模截止：导模在某一导模在某一V值下不能存在的情况，此时导模转化为辐值下不能存在的情况，此时导模转化为辐射模。使某一导模截止的射模。使某一导模截止的Vc值称为导模的截止条件值称为导模的截止条件导模的远离截止：导模的远离截止：当导模的本征值当导模的本征值n1k0时，导模场紧紧束缚于时，导模场紧紧束缚于纤芯中传输。一个导模相应于一合适的纤芯中传输。一个导模相应于一合适的V值使其远离截止，称之该值使其远离截止，称之该导模的远离截止条件导模的远离截止条件 模向传播常数模向传播常数横向分量：横向分量：

16、222110222220()()n kn k对应于纤芯对应于包层定义横向传播常数：定义横向传播常数：222110222220Uaa n kWiaan k 满足：满足：222VUW场归一化传播常数：场归一化传播常数：222220222221020n kWbVn kn k横向传播常数特性横向传播常数特性l 纤芯中纤芯中 1是实数；包层中是实数；包层中 2是纯虚数是纯虚数l U导模在芯区中的驻波场的横向振荡频率导模在芯区中的驻波场的横向振荡频率l W导模在包层中消逝场的衰减速度。导模在包层中消逝场的衰减速度。W越大，衰减越快越大，衰减越快l 截止条件：截止条件：W0，场在包层中不衰减，导模转化为辐射

17、模，场在包层中不衰减，导模转化为辐射模，导模截止导模截止l 远离截止条件：远离截止条件：W，场在包层中不存在，导模被约束在纤，场在包层中不存在，导模被约束在纤芯中，约束最强，远离截止芯中，约束最强，远离截止相速度与群速度相速度与群速度相速度：相速度：场的等相位面沿场的等相位面沿z轴的传播速度轴的传播速度.tzconst pVdz dt 群速度：群速度：光脉冲或波包中心或光能量沿光脉冲或波包中心或光能量沿z轴的传播速度轴的传播速度/gppVVVdd 111111,:coscos0,pgpgzzzpgzVVc nccccVVnnnnVVc n1在光纤中大于光速c n 而小于光速并满足仅当时才有不同

18、的相应于不同的导模 对应于不同的相速与群速群延时与色散群延时与色散群延时：群延时：光脉冲经单位长度距离所需的时间光脉冲经单位长度距离所需的时间01ggddVdcdk,gg是 的函数 不同 有不同的频率不同将引起光脉冲的展宽色散：色散：由某种因素引起脉冲展宽的现象由某种因素引起脉冲展宽的现象模间色散:同一频率,不同导模 色散波导色散:不同频率,同一导模 材料色散:不同频率,同一导模,不同折射率正交特性正交特性正交性是指不同的导模之间满足正交关系，其数学表达式为：正交性是指不同的导模之间满足正交关系，其数学表达式为：0 uvuvAAEHdAEHdAuv模式的正交特性对于分析光波导中的场分布具有重要

19、意义，它意模式的正交特性对于分析光波导中的场分布具有重要意义，它意味着光波导内实际的场可以利用模式的正交特性分解成一系列模味着光波导内实际的场可以利用模式的正交特性分解成一系列模式的叠加。式的叠加。导模正交特性的证明：导模正交特性的证明：1122,:E HE H设是光波导的一个模式是另一个模式它们分别满足10111EjHHjE 2022022222 EjHEjHHjEHjE ,0,rjjj通常假设光波导是无损的 则定义一个新的矢量：定义一个新的矢量：1221FEHEH则：则：1221FEHEH 21121221HEEHHEEH2011210221HjHEjEHjHEjE0在二维情况下，利用散度

20、定理：在二维情况下，利用散度定理：0tAAACAF dAF dAz F dAzF dlF dAz,;AxoydAdAzdA l式中 为所考虑的横截面,如面为面积元,是所考虑横截面的周边曲线xyzodAdl,0AE H 由于当时 边界上的场0CF dl 因此:0AFdAz1122,:E HuE Hv设为第 次模为第 次模 即11,ujzuuEEx y eHH22,vjzvvEEx y eHH因此：因此：uvjzuvvuFEHEHeuvjzuvuvvuFjEHEHez,uvuv若则因此：因此：0uvvuAEHEHdA,vz若 模式为方向传播的波 则有22,vjzvvEEx y eHH张克潜微波与光电子学中的电磁理论电子工业出版社 P219同理可得：同理可得：0uvvuAEHEHdA所以：所以：0 uvuvAAEHdAEHdAuv物理意义：在无源均匀系统中，不同模式的电场和磁场不构成沿系统传输的功率流，系统中的总功率流等于各模式的功率流的叠加。