傅氏与拉氏积分变换课件.ppt

1、3.3 积分变换法举例积分变换法举例n Fourier Fourier 积分变换法积分变换法n LaplaceLaplace 积分变换法积分变换法n 混合变换法混合变换法用来解用来解常常微分方程微分方程 将未知函数的常微分方将未知函数的常微分方程，化成像函数的代数方程，程，化成像函数的代数方程，达到消去对自变量求导运算达到消去对自变量求导运算的目的。的目的。用来解用来解偏偏微分方程微分方程通过选取积分变换通过选取积分变换 在工程力学、电磁场理论、光学、在工程力学、电磁场理论、光学、热学、无线电学、通讯理论、微电子学、热学、无线电学、通讯理论、微电子学、核科学与技术、地震资料数据处理核科学与技术

2、、地震资料数据处理等等方面，均有广泛的应用。方面，均有广泛的应用。在偏微分方程的两端，在偏微分方程的两端，对某个变量取变换，消去未对某个变量取变换，消去未知函数对该自变量求偏导的知函数对该自变量求偏导的运算，得到像函数的较为简运算，得到像函数的较为简单的微分方程。如果原来的单的微分方程。如果原来的偏微分方程只包含两个自变偏微分方程只包含两个自变量，通过一次变换就能得到量，通过一次变换就能得到像函数的常微分方程。像函数的常微分方程。Fourier 积分变换积分变换 Laplace 积分变换积分变换变变量量的的初初值值问问题题。适适用用于于针针对对空空间间傅傅立立叶叶积积分分变变换换：量量的的边边

3、值值问问题题。适适用用于于针针对对时时间间变变拉拉普普拉拉斯斯积积分分变变换换：数学中的变换手段，旨在化繁为简数学中的变换手段，旨在化繁为简.知知道道，一一个个以以级级数数的的时时候候，我我们们已已经经在在学学习习傅傅立立叶叶（Fourier)条条件件，满满足足狄狄利利克克雷雷如如果果在在为为周周期期的的函函数数)Dirichlet(2,2,)(TTtfTT上上满满足足：在在即即函函数数 2,2,)(TTtfT类类间间断断点点；连连续续或或只只有有有有限限个个第第一一)1(只只有有有有限限个个极极值值点点，)2(数数。上上就就可可以以展展成成傅傅立立叶叶级级在在那那么么 2,2,TT角角式式为

4、为的的连连续续点点处处，级级数数的的三三在在)(tfT)sincos(2)(10tnbtnaatfnnnT )1.1(3.3.1 傅立叶积分傅立叶积分1.1.傅立叶级数傅立叶级数)sincos(2)(10tnbtnaatfnnnT )1.1(的的傅傅立立叶叶级级数数；我我们们称称此此三三角角级级数数为为)(xfT的的傅傅立立叶叶系系数数；为为、称称)(),3,2,1(0 xfnbaaTnn;2T 其其中中角角频频率率为为直直流流分分量量；称称20a为为基基波波；tbta sincos11 阶阶谐谐波波；为为ntnbtnann sincos.22nnnbaA 振振幅幅为为直流分量和直流分量和，就

5、是将周期函数展成，就是将周期函数展成周期函数的傅立叶展开周期函数的傅立叶展开阶阶谐谐波波的的叠叠加加。n)sincos(2)(10tnbtnaatfnnnT tdtfTaTTT)(2220 )3,2,1(cos)(222 ndttntfTaTTTn na偶函数只存在偶函数只存在nb奇函数只存在奇函数只存在)3,2,1(sin)(222 ndttntfTbTTTn 准备知识准备知识其中，傅立叶展开系数其中，傅立叶展开系数)(xfT指指数数形形式式公公式式，将将展展开开式式变变成成复复为为方方便便计计，利利用用 Euler2cos iiee ieeii2sin ）式式被被写写成成为为这这样样，（1

6、.1)22(2)(10ieebeeaatftnitnintnitninnT )22(210tninntninnnebiaebiaa 如果令如果令tdtfTacTTT)(122200 tdtntfitdtntfTcTTTTTTn sin)(cos)(12222 tdtdtnitdtntfTTTT sincos)(122 )sincos(2)(10tnbtnaatfnnnT )1.1(tdtdtnitdtntfTTTT sincos)(122 )3,2,1()(122 ntdetfTtniTTT)3,2,1()(1222 ntdetfTbiactniTTTnnn 同理同理上述合写成一个式子上述合写

7、成一个式子)3,2,1,0()(122 ntdetfTctniTTTn)3,2,1,0(nnn ）式被写成）式被写成则（则（1.1)()(10tnintninnTececctf tinnnec 数形式，或者写成数形式，或者写成这就是傅氏级数的复指这就是傅氏级数的复指 tiiTTTnTnnedefTtf )(1)(22)2.1(2.2.非周期函数的展开非周期函数的展开,)(tf对对于于一一个个非非周周期期函函数数时时转转化化而而来来的的。当当的的函函数数期期为为总总可可以以看看成成是是由由某某个个周周 TtfTT,)(这个思路很巧妙这个思路很巧妙，即有，即有便可以转化为便可以转化为周期的函数周期

8、的函数)()(tftfT)(tft0)()(limtftfTT 的展开式，即的展开式，即时，结果就可以看成是时，结果就可以看成是）式中，令）式中，令这样，在（这样，在（)(1.2tft tiiTTTnTTnnedefTtf )(1lim)(22 tiiTTTnTTnnedefTtf )(1lim)(22布布在在整整个个数数轴轴上上，所所对对应应的的点点便便均均匀匀地地分分取取一一切切整整数数时时，当当nn 表表示示，即即点点的的距距离离以以如如图图所所示示。若若两两个个相相邻邻n nnnnTT 2,21或或01 2 3 4 1 n n T 2T 2T 2T 2T 2为为，所所以以上上式式又又可

9、可以以写写成成时时，有有则则当当0 nT ntiiTTTnTnnnedeftf )(21lim)(220)3.1(即即的函数，记为的函数，记为是参数是参数固定时，固定时，当当,)()(2122nTntiiTTTnnedeft )3.1(即即的函数，记为的函数，记为是参数是参数固定时，固定时，当当,)()(2122nTntiiTTTnnedeft ntiiTTTnTnnnedeftf )(21lim)(220 .)(21)(22tiiTTTnTnnedef ）式写成）式写成可将（可将（利用利用1.3,)(nT nnTnTntf )(lim)(0这里这里时，时，即即很明显，当很明显，当,)()(,

10、0nnTnT .)(21)(22tiiTTnnnedef ）上上的的积积分分在在（可可以以看看作作是是从从而而 ,-)()(ntf nnTdtf )()(nnTdtf )()(dtfT )()(即即 dedeftftii )(21)(亦即亦即称为傅氏积分公式）。称为傅氏积分公式）。的傅立叶积分公式（简的傅立叶积分公式（简这个公式被称为函数这个公式被称为函数)(tf出来的，是不严格的，出来的，是不严格的，）式的右端从形式上推）式的右端从形式上推（应该指出，上式只是由应该指出，上式只是由 1.3傅氏积分公式来表示，傅氏积分公式来表示，在什么条件下，可以由在什么条件下，可以由至于一个非周期函数至于一

11、个非周期函数)(tf有下面的定理。有下面的定理。3.3.傅氏积分定理傅氏积分定理3.3.傅氏积分定理傅氏积分定理上上满满足足下下列列条条件件：在在若若)()(ttf足足狄狄利利克克雷雷条条件件；在在任任意意一一有有限限区区间间上上满满)()1(tf收收敛敛），上上绝绝对对可可积积（即即积积分分在在无无限限区区间间）（tdtfttf)()()(2 成立，成立，）（则有则有1.4)(21)(dedeftftii 来来代代替替。处处，应应以以在在在在它它的的间间断断点点而而左左端端的的2)0()0()(tftfttf略略。多多的的基基础础理理论论，这这里里从从的的，它它的的证证明明要要用用到到较较这

12、这个个定定理理的的条条件件是是充充分分，数数形形式式，利利用用欧欧拉拉公公式式的的傅傅氏氏积积分分公公式式的的复复指指）式式是是（)(4.1tf形形式式。因因为为又又可可以以将将其其转转化化回回三三角角 dedeftftii )(21)(ddefti )()(21 ddefti )()(21 ddtfidtf )(sin)()(cos)(21的奇函数，就有的奇函数，就有是是考虑到积分考虑到积分 dtf)(sin)(0)(sin)(dtf ddtftf )(cos)(21)(从而有从而有)5.1(）式又可以写成）式又可以写成的偶函数，（的偶函数，（是是又考虑到积分又考虑到积分1.5)(cos)(

13、dtf ddtftf )(cos)(1)(0)6.1(形形式式。的的傅傅氏氏积积分分公公式式的的三三角角这这便便是是)(tf1.1.傅氏变换的概念傅氏变换的概念3.3.2 傅立叶变换（简称：傅氏变换）傅立叶变换（简称：傅氏变换）2.2.单位脉冲函数及其傅氏变换单位脉冲函数及其傅氏变换3.3.一些常见函数的傅氏变换和傅氏变换对一些常见函数的傅氏变换和傅氏变换对4.4.非周期函数的频谱非周期函数的频谱5.5.傅立叶变换的基本性质傅立叶变换的基本性质6.6.傅立叶变换的应用举例傅立叶变换的应用举例3.3.2 傅立叶变换（简称：傅氏变换）傅立叶变换（简称：傅氏变换）1.1.傅氏变换的概念傅氏变换的概念

14、条件，条件，满足傅氏积分定理中的满足傅氏积分定理中的我们已经知道，若函数我们已经知道，若函数)(tf dedeftftii )(21)()7.1(成立。成立。则则tdetfFti )()()8.1(deFtfti )(21)()9.1(可以相互表达。可以相互表达。通过指定的积分运算，通过指定的积分运算，与与从上面两式可以看出，从上面两式可以看出，)()(Ftf叶积分定理叶积分定理的连续点处，便有傅立的连续点处，便有傅立则在则在)(tf）式出发，设）式出发，设从（从（1.7记为记为，变换变换的的称为函数称为函数FouriertftdetfFti)()()(F F )()(Ftf 逆变换，常记为逆

15、变换，常记为的的称为函数称为函数而而FourierFdeFtfti)()(21)(F F )()(1tfF 傅里叶变换对傅里叶变换对原原像像函函数数)(F原原函函数数)(tf)(tf)(F称为称为 在傅里叶变换下的像（或像函数）（频谱函数）。在傅里叶变换下的像（或像函数）（频谱函数）。)(tf称为称为 的像原函数。的像原函数。)(F的的傅傅立立叶叶变变换换式式)()()(tftdetfFti 的的傅傅立立叶叶逆逆变变换换式式)()()(FdeFtfti dedeftftii )(21)()7.1(tdetfFti )()()8.1(deFtfti )(21)()9.1(的傅立叶积分定理的傅立叶

16、积分定理)(tf傅立叶变换（逆）傅立叶变换（逆）的傅立叶变换的傅立叶变换)(tf dedeftftii )(21)()7.1(deFti )(21)(tf 傅立叶积分变换傅立叶积分变换F F )()(1tftf F F 相相去去甚甚远远！本本质质未未变变，但但表表述述形形式式重要定义重要定义tdetfFti )()(deFtfti)(21)(deiFtfti)(21)(tdetfiFti )()(几种常见的表示方式几种常见的表示方式xdexfFxi )()(deFxfxi )(21)()1()2()3(中中。分分别别含含在在左左列列对对应应的的式式，并并且且常常被被分分解解为为子子在在有有些些

17、参参考考文文献献中中，因因 212121。写成写成中的函数中的函数；从而在逆变换式；从而在逆变换式写成写成而在变换式中的函数而在变换式中的函数titititieeee 有有差差别别。这这些些，本本质质上上同同定定义义没没);,();,();,(txxt有些变换变量选择有些变换变量选择有些变换变量选择有些变换变量选择有些变换变量选择有些变换变量选择 .0000)(1 达达式式，其其中中的的傅傅氏氏变变换换以以及及积积分分表表求求函函数数例例tettft一。一。工程技术中常用函数之工程技术中常用函数之叫做指数衰减函数，是叫做指数衰减函数，是这个这个)(tf）（依据定义依据定义解解1.8F F dt

18、etftfFti )()()(dteetit 0dteti)(0 tideiti)(1)(0 101 i2211 iiiii氏氏变变换换此此即即指指数数衰衰减减函函数数的的傅傅tdetfFti )()()8.1(2211 iiiii氏氏变变换换此此即即指指数数衰衰减减函函数数的的傅傅上上式式的的逆逆变变换换欲欲求求积积分分表表达达式式，且且作作 deFFtfti)(21)()(1F F deiti2221 dtiti)sin(cos2122 dtititt22sincossincos21 偶函数偶函数奇函数奇函数奇奇奇奇偶偶奇奇（利利用用函函数数的的奇奇欧欧性性）dtt22sincos21 d

19、tt220sincos1的的积积分分表表达达式式。）（此此即即指指数数衰衰减减函函数数偶函数偶函数奇函数奇函数（图图形形关关于于原原点点对对称称）偶函数偶函数轴对称）轴对称）（图形关于（图形关于 y0)(dxxgaa奇函数奇函数dxxfdxxfaaa)(2)(0 偶函数偶函数.0)(2 的的傅傅氏氏变变换换，这这里里求求函函数数例例tetf依据定义依据定义解解F F dtetftfFti )()()(tdeetit tdeetdeetittit 00（打打开开绝绝对对值值符符号号）为负）为负）（t为正）为正）（ttdetdetiti)(0)(0 ii11222 tdetfFti )()()8.

20、1(2.2.单位脉冲函数及其傅氏变换单位脉冲函数及其傅氏变换问题的提出问题的提出）（1处处，依依据据线线密密度度的的定定义义，集集中中在在质质点点质质量量如如：01 xm 000lim)(0 xxxmxx 则则密密度度又又如如：单单位位脉脉冲冲to)(tf 000)(xxtfx0m，输入一单位电量的脉冲输入一单位电量的脉冲中，某一瞬时（中，某一瞬时（在原来电流为零的电路在原来电流为零的电路),0 t.)(ti流流现现在在要要确确定定电电路路上上的的电电 0100)(tttq率率，即即电电荷荷函函数数对对时时间间的的变变化化而而电电流流强强度度的的定定义义为为：ttqttqtdtqdtit )(

21、)(lim)()(0 0)(0 tit时时，所所以以，当当在在这这一一点点是是不不能能义义上上讲讲，是是不不连连续续的的，从从普普通通意意由由于于时时，当当)()(0tqtqt 会会得得到到式式地地计计算算这这个个导导数数，则则求求导导数数的的。如如果果我我们们形形 tttqttqtitt 1lim)()(lim)(00的的电电流流。质质电电势势作作用用后后，所所产产生生线线性性电电路路，受受到到脉脉冲冲性性再再如如：函函数数，则则表表示示上上述述电电路路中中的的电电荷荷以以)(tq tttqttqtitt 1lim)()(lim)(00一一个个函函数数能能够够用用来来下下的的函函数数类类中中

22、，找找不不到到这这就就表表明明，在在通通常常意意义义的的源源、点点质质量量以以及及非非常常窄窄度度。诸诸如如点点电电荷荷、点点热热表表示示上上述述电电路路的的电电流流强强脉脉冲冲等等等等。函函数数，狄狄拉拉克克（函函数数，这这个个函函数数被被称称为为于于是是必必须须引引进进一一个个新新的的)Dirac函函数数。简简称称为为 函函数数：数数，被被定定义义为为满满足足下下列列两两个个条条件件的的函函t)(tf0单位脉冲函数（单位脉冲函数（函数）函数）函数，通常用一个长度等于一的有向线段表示，函数，通常用一个长度等于一的有向线段表示，这个线段的长度，表示这个线段的长度，表示 函数的积分值。函数的积分

23、值。函数的定义函数的定义）（2 t)(t01 1)(tdt 性质：性质：000)(xxt 定义：定义：函数是不符合古典的函数是不符合古典的“一点对应一点一点对应一点”的函数定义的。过去，曾经在相当一的函数定义的。过去，曾经在相当一段时期内，不为数学家所承认，被拒之于数学的门外，直到上个世纪四十年代，引段时期内，不为数学家所承认，被拒之于数学的门外，直到上个世纪四十年代，引进了广义函数的概念之后，方才对进了广义函数的概念之后，方才对 函数作出了解释。函数作出了解释。研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数有了这种函数,对于许多集中在一对于许多

24、集中在一点或一瞬间的量点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决用统一的方式来加以解决.在物理学和工程技术中在物理学和工程技术中,除了用到指数衰减函数外除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量或者具有脉冲

25、性质的量.例如瞬间作用的冲击力例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等电脉冲等.函函数数值值”。所所以以它它它它没没有有普普通通意意义义下下的的“函函数数是是一一个个广广义义函函数数，函函数数在在广广义义函函数数论论中中，的的对对应应关关系系”来来定定义义。不不能能用用通通常常意意义义下下“值值 间间上上的的线线性性连连续续泛泛函函。被被定定义义为为某某基基本本函函数数空空)()(xx 密密度度函函数数表表示示成成：点点质质量量、点点电电荷荷引引起起的的)()(ttf ：电电、光光脉脉冲冲函函数数表表示示成成函数的筛选性质函数的筛选性质）（3有有为为无无穷穷次次可可微微函函数数，则则若若)(tf）可可由

26、由积积分分中中值值定定理理证证明明(更更一一般般地地，还还有有)()()(00tftdtttf )0()()(ftdttf 0t0t)(t)(0tt 1图像图像 00000)(tttttt 定义：定义：1)(0 tdtt 性质：性质：数学表述数学表述的证明：的证明：对筛选性质对筛选性质)0()()(ftdttf ，利用积分中值定理，利用积分中值定理对任何对任何0 h)()(1)()(22 ftdtfhtdttfhhh ，可以看成为由可以看成为由之间，而之间，而和和在在其中，其中，)()(22tthhh tdttftdttfhh)()(lim)()(0 )0()(lim)(lim00fffh 泛

27、泛的的应应用用。程程技技术术中中，有有着着比比较较广广函函数数在在近近代代物物理理学学和和工工使使得得才才的的意意义义。正正是是这这一一点点，内内的的积积分分，却却有有很很明明显显函函数数的的乘乘积积，在在定定义义，但但它它和和任任何何连连续续函函数数不不符符合合古古典典的的函函数数这这一一性性质质表表明明，虽虽然然 ),(时构造出来的，因此时构造出来的，因此当当0h函数与阶跃函数函数与阶跃函数）（5)()(tutdtt 0001)(tttu其中其中称为阶跃函数称为阶跃函数)(tu0t)(tu1图像图像反之，有反之，有)()(ttutdd 函数为偶函数函数为偶函数）（4)()(tt 函数的傅立

28、叶变换函数的傅立叶变换）（6tdetti )(10 ttie )()(tF 由由于于F F 对对，即即，构构成成了了一一个个傅傅氏氏变变换换与与常常数数可可见见，1)(t F F F F )(1;1)(1tt 1)(t 对对，即即也也构构成成了了一一个个傅傅氏氏变变换换与与同同样样，,)(0tiett tiett )(0)0()()(ftdttf 3.3.一些常见函数的傅氏变换和傅氏变换对一些常见函数的傅氏变换和傅氏变换对数数：可可以以证证明明单单位位阶阶跃跃函函例例1 0001)(tttu0t)(tu1图像图像的傅氏变换为的傅氏变换为)(1)(iF的积分表达式为的积分表达式为)(tu dtt

29、u 0sin121)()(1)(itu因此有因此有的傅氏变换为的傅氏变换为：证明：证明例例1)(2 tf.)(2)(F)0()()(ftdttf deFti)(21 deti)(221 10 tie用用反反证证法法，由由题题意意知知F F )()(1 Ftf 。，构构成成了了傅傅立立叶叶变变换换对对与与故故知知，常常数数)(21 的傅氏变换的傅氏变换：求正弦函数：求正弦函数例例ttf0sin)(3 )()(tfF F F 依据傅氏变换的定义依据傅氏变换的定义解解 tdetti 0sintdeieetititi 200tdeeititi)()(0021 tdeitdeititi)()(00212

30、1 tdeeititi)()(0021 )(2)(22100 i )()(00 i的结果）的结果）（利用例（利用例2构构成成了了傅傅立立叶叶变变换换对对。，与与故故知知，常常数数)(21 tdeti 1)(24.4.非周期函数的频谱非周期函数的频谱谱谱）。的的振振幅幅频频谱谱（简简称称为为频频，又又被被称称为为而而频频谱谱函函数数的的模模的的频频谱谱函函数数；又又被被称称为为换换在在频频谱谱分分析析中中，傅傅氏氏变变)()()()(tfFtfF ：求单个矩形脉冲：求单个矩形脉冲例例1 tthttf202220)(频频谱谱图图。的的傅傅立立叶叶积积分分，并并作作出出傅立叶变换为傅立叶变换为解解)

31、(tftdetfFti )()(2222 titieihtdhet)(tf02 2 h2222 titieihtdhe2222 titieihtdhe2sin22222 hieehii 立立叶叶积积分分）其其傅傅立立叶叶逆逆变变换换为为（傅傅 dedeFtftiti)2sin2(21)(21)(tthttf202220)(2sin2)(hF 故故t)(tf02 2 h作作频频谱谱图图如如下下)(Fu 2 4 6 0 htdetfFti )()0(tdheti 022 h 2sin2)(hF 故频谱函数故频谱函数)0(F作作图图需需要要计计算算thd 22 ：方方案案1待待定定型型，的的表表达达

32、式式，则则得得代代入入若若以以：方方案案00)(02 F 0012cos22)2(sin2)(lim hhF122 h h t)(tf02 2 hn012345678n n02345678An2h h2 h 32h0 52h 3h 72h0根据这个表根据这个表,就可以画出它的频谱图就可以画出它的频谱图.A2h 0 2 3)2(4 (1)如果如果 T=4 周期函数的频谱周期函数的频谱如图所示的矩形波如图所示的矩形波,它的它的 n 阶谐波的振幅阶谐波的振幅 An 和频率和频率n n。ut02T2 2T 2 h周期函数的频谱，可直周期函数的频谱，可直接由傅立叶级数展开。接由傅立叶级数展开。(2)如果

33、如果 T=8 n012345678n n02345678An0.76540.70710.61590.50000.36960.23570.10930.00004h h h h h h h h h画出频谱图画出频谱图:A0 2)2(8 164h ut02T2 2T 2 h 周期函数的频谱周期函数的频谱如图所示的矩形波如图所示的矩形波,它的它的 n 阶谐波的振幅阶谐波的振幅 An 和频率和频率n n。比较比较(1)与与(2)可以看到一个事实可以看到一个事实,就是矩形波的宽度就是矩形波的宽度 不变不变,而周期而周期T 放大一倍放大一倍,它的基频它的基频 必缩小一半必缩小一半 ,而谱线则加密一倍而谱线则

34、加密一倍.0 2)2(8 164h A2h 0 2 3)2(4 化化成成为为连连续续谱谱。的的条条件件下下，离离散散的的谱谱转转当当 T以下涉及的傅里叶变换都假定它存在，且设以下涉及的傅里叶变换都假定它存在，且设)(FF F )(tf(1）.线性性质线性性质5.5.傅立叶变换的基本性质傅立叶变换的基本性质 均均为为常常数数，则则设设 ,)()(;)()(2211tfFtfF F F F F )()()()(2121 FFtftf F F )()()()(21211tftfFF F F 性性组组合合的的傅傅氏氏变变换换，然然的的，它它表表明明了了函函数数线线这这个个性性质质的的作作用用是是很很显

35、显性性质质，即即换换，亦亦具具有有类类似似的的线线性性同同样样，傅傅氏氏变变换换的的逆逆变变出出。需需要要根根据据定定义义就就可可以以推推线线性性组组合合。它它的的证证明明只只等等于于各各函函数数傅傅氏氏变变换换的的(2).位移性质位移性质F F 0)(0tiettf )(tfF F 其中其中 为任意常数。为任意常数。0tF F tietfF0)()(01 。或或的的傅傅氏氏变变换换乘乘以以因因子子等等于于的的傅傅氏氏变变换换，轴轴向向左左或或向向右右位位移移沿沿它它表表明明时时间间函函数数00)(,)(0titieetftttf 知知由由傅傅氏氏变变换换的的定定义义，可可证证F F tdet

36、tfttfti )()(00udefttti)u00)u(u(（）令令 udefeuiti )u(0F F )(0tfeti 性性质质，即即换换，亦亦具具有有类类似似的的位位移移同同样样，傅傅氏氏变变换换的的逆逆变变。或或，乘乘以以因因子子等等于于原原来来的的函函数数的的傅傅氏氏逆逆变变换换，轴轴向向右右或或向向左左位位移移沿沿它它表表明明频频谱谱函函数数00)(,)(0titieetfF （3）.微分性质微分性质F F itf )()()(Fitf F F ，则则时时，且且当当去去间间断断点点，上上连连续续或或只只有有有有限限个个可可在在如如果果0)(),()(tfttf利利用用分分部部积积

37、分分可可得得由由傅傅氏氏变变换换的的定定义义，并并证证F F tdetftfti )()(tdetfietftiti )()()(tfi F F 上式表明，一个函数的导数的傅里叶变换，等于这个函数的傅氏变换上式表明，一个函数的导数的傅里叶变换，等于这个函数的傅氏变换乘以因子乘以因子 。iF F nnitf)()()()(tfF F 上式表明，函数的微分运算，经过傅里叶变换，可转换为像函数的代数运上式表明，函数的微分运算，经过傅里叶变换，可转换为像函数的代数运算，这正是傅里叶变换能够成为求解微分方程的重要工具之一的基本原因。算，这正是傅里叶变换能够成为求解微分方程的重要工具之一的基本原因。)()

38、(tft iFdd F F 则则有有且且，,1,2,1,0)(lim)(nktfkt函函数数的的导导数数公公式式。设设同同样样，我我们们还还能能得得到到像像)(FF F )(tf一一般般地地，有有 )()()(tftiFddnnnn F F 点点，或或只只有有有有限限个个可可去去间间断断上上连连续续在在推推论论：若若,),(),2,1()()(nktfk（4）.积分性质积分性质则则时时如如果果当当,0)()(,tdtftgttF F )(1)(tfitdtft F F 因因为为证证)()(tftdtftddt 所所以以 )()(tftdtftddt F F F F 又又依依据据前前述述微微分分

39、性性质质：tdtfitdtftddtt)()(F F F F 故故F F )(1)(tfitdtft F F 这里表明，一个函数积分后的这里表明，一个函数积分后的傅里叶变换，等于这个函数的傅氏傅里叶变换，等于这个函数的傅氏变换除以变换除以 因子因子。i分分、积积分分方方程程。利利用用傅傅立立叶叶变变换换，求求微微：例例4)()()()(thtdtxctxbtxa 均为常数。均为常数。的解，其中的解，其中cbat,;分分性性质质，并并且且记记依依据据傅傅变变换换的的微微分分、积积解解：F F )()(;)()(HthXtx F F 变变换换，可可得得对对原原方方程程的的两两端端取取傅傅氏氏)()

40、()()(HXicXbXia )(X直直接接解解出出这这是是一一个个代代数数方方程程，可可 icbiaHX )()(icibiiaH )()()(icibaH )()(2)()(caibH )(X)()(caibH 氏氏逆逆变变换换，可可得得对对上上述述方方程程的的两两端端取取傅傅 deXtxti)(21)(decaibHti)()(21 此，即为原方程的解。此，即为原方程的解。（5）.帕塞瓦尔等式（能量积分）帕塞瓦尔等式（能量积分）tdtf2)(dF2)(21 （6）.卷积定义卷积定义设函数设函数 和和 在在 上绝对可积，称函数上绝对可积，称函数)(1tf)(2tf),(dtff)()(21

41、 为为 和和 的卷积（或褶积），记作的卷积（或褶积），记作 ，即，即)(1tf)(2tf)(1tf)(2tf dtfftftf)()()()(2121 卷积满足如下运算规律卷积满足如下运算规律交换律交换律)1(1221ffff 分配律分配律)2(3121321)(fffffff 结合律结合律)3()()(321321ffffff 卷积满足如下定理卷积满足如下定理卷积定理卷积定理的条件，且的条件，且都满足傅氏积分定理中都满足傅氏积分定理中假定假定)(,)(21tftf )()()()(2121 FFtftf F F )()()()(21211tftfFF 或或F F 的的乘乘积积。于于这这两两个

42、个函函数数傅傅氏氏变变换换数数卷卷积积的的傅傅氏氏变变换换，等等这这个个定定理理表表明明，两两个个函函同理可得：同理可得：)()(21)()(2121 FFtftf F F 。数数傅傅氏氏变变换换的的卷卷积积除除以以氏氏变变换换，等等于于这这两两个个函函即即，两两个个函函数数乘乘积积的的傅傅 2 则则,)()(,)()(2211 FtfFtf F F F F F F 条条件件，满满足足傅傅氏氏积积分分定定理理中中的的不不难难验验证证，若若),2,1()(nktfk 则则有有且且,),2,1()()(nkFtfk F F )()()()2(1)()()(21121 nnnFFFtftftf F

43、F 算算的的！但但是是，卷卷积积并并不不是是很很容容易易计计从从上上面面的的过过程程可可以以看看出出积积运运算算为为乘乘积积运运算算。算算的的简简便便方方法法，即即化化卷卷卷卷积积定定理理提提供供了了卷卷积积计计,制制、解解调调、编编码码等等）性性系系统统分分析析中中（如如：调调这这就就使使得得卷卷积积定定理理在在线线一。一。成为特别有用的方法之成为特别有用的方法之（7）.乘积定理乘积定理 则则若若,)(,)(2211fFfF F F F F dFFdFFtdtftf)()(21)()(21)()(212121 为为互互能能量量密密度度，记记为为的的共共轭轭函函数数，称称为为21 FFFF)(

44、)()()()()(12212121 SFFFFS （8）.能量积分能量积分 则乘积定理为则乘积定理为若若,)(fF F F dFtdtf 22)(21)(的的能能量量谱谱密密度度，记记为为为为称称)()(2tfF 2)()(FS（9）.延迟定理延迟定理。的的傅傅立立叶叶变变换换式式是是则则，的的傅傅立立叶叶变变换换是是若若0)()()()(0 xieFxxfFxf F F )()(Fxf 若若)()(Fdxexfxi ，0)()(0 xieFxxf 则则F F 0)()(0 xixieFdxexxf ，。求它的能量谱密度求它的能量谱密度已知某信号的相关函数已知某信号的相关函数例例)(,41)

45、(2 SeRa解解F F deeRia241)(diea)sin(cos412 deideaasin4cos4122偶函数偶函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数 deacos2120222244221 aaaa所以所以F F 224)()(aaRS为偶函数）为偶函数）（可以证明，频谱函数（可以证明，频谱函数)()(FF为正。为正。且积分限从且积分限从同时打开绝对值符号，同时打开绝对值符号，,0 )()()()(21211tftfFF F F 习题习题 3 .证明傅立叶变换的卷积定理。证明傅立叶变换的卷积定理。由定义可得由定义可得证证卷积定理：卷积定理：则则设设,)()(,)()(tfFtf

46、F2211 F F F F tdetftftftfti )()()()(2121F F dtfftftf)()()()(2121 （卷卷积积的的定定义义式式）)()()()(2121FFtftfF F )()()()(tftfFF21211 F F 或或 tdedtffti )()(21F F F F )()(,)()(212111 FtfFtf 其中其中（傅傅氏氏变变换换的的定定义义式式）成立。成立。有有变量的独立性，变量的独立性，与与考虑到考虑到)(tdtdt)()(21 FF 分分次次序序可可以以交交换换）中中绝绝对对可可积积，因因此此积积，在在（和和由由于于 21ff傅傅立立叶叶变变换

47、换的的乘乘积积。和和等等于于的的卷卷积积的的傅傅立立叶叶变变换换，和和)()()()(2121tftftftf )()()()(2121 FFtftf F F 因此有因此有tdetfdeftii)(21)()(tdedtffti )()(21)()()()(21 tdetfdeftii)(tiitieeetdetfdeftii)()()(21 0,0,0)(;0,10,0)(21tettftttft若若例例的卷积。的卷积。与与求求)()(21tftf按照卷积的定义，有按照卷积的定义，有解解 dtfftftf)()()()(2121 00 )(1 f)(2 tft的区间，的区间，的图形表明，其乘

48、积的图形表明，其乘积与与右边右边0)()()()(2121 tfftff 所以所以为为落在了落在了.,0,0tt dtfftftf)()()()(2121 deedetttt 0)(01tteee 1)1(1程程。法法也也能能用用于于解解偏偏微微分分方方然然会会联联想想到到：积积分分变变换换基基于于前前述述事事实实，我我们们自自自自变变量量就就能能消消去去未未知知函函数数对对该该对对某某一一个个变变量量取取变变换换，在在偏偏微微分分方方程程的的两两端端，常常微微分分，就就能能够够得得到到像像函函数数的的量量，那那么么通通过过一一次次变变换换程程中中只只包包含含有有两两个个自自变变微微分分方方分

49、分方方程程。如如果果原原来来的的偏偏像像函函数数的的较较为为简简单单的的微微求求偏偏导导数数的的运运算算，得得到到方程。方程。的傅立叶变换，即的傅立叶变换，即、分别表示分别表示、用用),(),(),(),(txftxutFtU dxetxutUxi ),(),(),(),(txutU 简记为简记为F F dxetxftFxi ),(),(F F ),(),(txftF 简简记记为为其其对对应应的的逆逆变变换换为为 detUtxuxi),(21),(),(),(1tUtxu 简简记记为为F F detFtxfxi),(21),(F F ),(),(1tFtxf 简记为简记为),(),(),(22

50、2txfxtxuattxu 得到得到立叶变换的微分性质，立叶变换的微分性质，的傅立叶变换，依据傅的傅立叶变换，依据傅对上式两端取关于对上式两端取关于 x),(),(),(22tFtUatdtdU 22222),(),(xtxuattxu ),(),(2222tUatdtUd 例如：例如：又如：又如：得到得到立叶变换的微分性质，立叶变换的微分性质，的傅立叶变换，依据傅的傅立叶变换，依据傅对上式两端取关于对上式两端取关于 x樱樱桃桃好好吃吃树树难难栽栽！题题电电位位，即即解解下下列列定定解解问问求求上上半半平平面面内内静静电电场场的的习习题题 60lim)(0,02202uxfuyuyxy)1()