2020届兰州市高三年级一诊理科数学试卷含答案.pdf

1、 1 / 7 2020 年兰州市高三诊断考试 （理数）（理数） 第第 I 卷卷 一、选择题（本大题共选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1.已知集合0,1,2,3,4,5A=， * 2 ,Bx xn nN=，则AB =（ ） . 0,2,4A . 2,4B . 1,3,5C . 1,2,3,4,5D 2.已知复数 5 2 2 i z i =+ ，则z =（ ） . 5A .5B .13C . 13D 3.已知非零向量, a b，给定:pR ，使得ab=，:q abab+=+，则p是q的（ ） . A充分不必要条件 .B必要不充分条件 .C充要条件

2、 .D既不充分也不必要条件 4.若 2 1tan 57 2 2sincos 1212 tan 2 =，则tan=（ ） .4A .3B .4C . 3D 5.已知双曲线() 22 22 10,0 xy ab ab =的一条渐近线过点()2, 1，则它的离心率是（ ） 5 . 2 A . 3B . 5C .2 3D 6.已知集合 46911 , 55555 A = ，从A中任选两个角，其正弦值相等的概率是（ ） 1 .10A 2 . 5 B 3 . 5 C 3 .10D 7.已知函数( ) () 2 ln1f xx=+，且 () 0.2 0.2af=，() 3 log 4bf=， 1 3 log

3、 3cf = ，则, ,a b c的大小关 系为（ ） . Aabc .Bcab .C cba .Dbca 8.近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表 1 所示，绘制相应的散点图，如图 1 所示： 2 / 7 -10 10 30 50 70 00.511.52 羊只数量（万只） 草场植被指数 表 1 图 1 根据表 1 及图 1 得到以下判断：羊只数量与草场植被指数成减函数关系；若利用这五组数据得到的两 变量间的相关系数为 1 r，去掉第一年数据后得到的相关系数为 2 r，则 12 rr；可以利用回归直线方程， 准确地得到当羊只数量为 2 万只时草场植被指数。以上判断中正确的个

4、数是（ ） .0A .1B .2C .3D 9.已知圆锥的顶点为A，高和底面圆的半径相等，BE是底面的一条直径，点D为底面圆周上的一点，且 60oABD=，则异面直线AB与DE所成角的正弦值为（ ） 3 . 2 A 2 . 2 B 3 . 3 C 1 . 3 D 10.已知函数( )()()sinsincos0f xxxx=+，若函数( )f x的图象与直线1y =在()0,上有3个 不同的交点，则的范围是（ ） 1 3 ., 2 4 A 1 5 ., 2 4 B 5 3 ., 4 2 C 5 5 ., 4 2 D 11.已知点()4, 2M ， 抛物线 2 4xy=，F为抛物线的焦点，l为抛

5、物线的准线，P为抛物线上一点， 过P 做PQl，点Q为垂足，过P做抛物线的切线 1 l， 1 l与l交于点R，则QRMR+的最小值为（ ） .12 5A + .2 5B . 17C .5D 12.对于定义域为D的函数( )yf x=，如果存在区间(), a bD ab满足( )f x是, a b上的单调函数， 且( )f x在区间, a b上的值域也为, a b，则称函数( )f x为区间, a b上的“保值函数”， , a b为“保值 区间”。 根据此定义给出下列命题： 函数( ) 2 2f xxx=是0,1上的“保值函数”； 若函数( )21 x g x = 是, a b上的“保值函数”，

6、则1ab+=；对于函数( ) 2x h xx e=存在区间0,m，且 1 ,1 2 m ，使函数 ( )h x为0,m上的“保值函数”，其中所有真命题的序号为（ ） . A .B .C .D 年份 1 2 3 4 5 羊只数量 （万只） 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3 草地植被 指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7 3 / 7 第第 II 卷卷 二、填空题（本大填空题（本大题共题共 4 小题，小题，每小题每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13.已知函数( ) 2 ,1 21,1 x x f x xx = + ，则 2 3 log 2 ff = _. 14.已知向

7、量, a b满足2b =，向量, a b夹角为120o，且( ) abb+，则向量ab+=_. 15.大自然是非常奇妙的，比如蜜蜂建造的蜂房，蜂房的结构如图所示，开口为 正六边形ABCDEF，侧棱 AA、 BB、 CC、 DD、 EE、 FF相互平行且 与平面ABCDEF垂直，蜂房底部由三个全等的菱形构成，瑞士数学家克尼格 利用微积分的方法证明了蜂房的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，因 此，有人说蜜蜂比人类更明白如何用数学方法设计自己的家园.英国数学家麦克 劳林通过计算得到 109 2816 o BC D=.已知一个蜂房中 5 3BB =， 2 6AB =， tan54 44082 o

8、=，则此蜂房的表面积是_. 16.在ABC中，, ,a b c分别为角, ,A B C所对的边，已知7,5,3abc=，点I是ABC的内心，则 IB =_. 三三、解答题解答题 17.（本小题满分 12 分） 在等差数列 n a中， 1 8a = ， 24 3aa=. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 () () * 4 14 n n bnN na = + ， n T为数列 n b的前n项和，若 17 15 n T =，求n的值. 4 / 7 18.（本小题满分 12 分） 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为平行四边形， 点P在面ABCD内的射影为A，1PAAB=， 点A

9、到平面PBC的距离为 3 3 ，且直线AC与PB垂直. （1）在棱PD上找一点E，使直线PB与平面ACE平行，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求二面角BACE的大小. 19.（本小题满分 12 分） 甘肃省是土地荒漠化较为严重的省份，一代代治沙人为了固沙、治沙，改善生态环境，不断地进行研究与 实践， 实现了沙退人进.2019 年， 古浪县八步沙林场“六老汉”三代人治沙群体作为优秀代表， 被中宣部授予“时 代楷模”称号，在治沙过程中为检测某种固沙方法的效果，治沙人在某一实验沙丘的坡顶和坡腰各布设了 50 个风蚀插钎，以测量风蚀值.（风蚀值是测量固沙效果的指标之一，数值越小表示该插钎处被风吹

10、走的沙层 厚度越小，说明固沙效果越好，数值为 0 表示该插钎处没有被风蚀）.通过一段时间的观测，治沙人记录了 坡顶和坡腰全部插钎测得的风蚀值（所测数据均不为整数） ，并绘制了相应的频率分布直方图. （1）根据直方图估计“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”的概率； 5 / 7 （2）若一个插钎的风蚀值小于 30，则该数据要标记“*”，否则不标记.根据以上直方图，完成列联表： 标记 不标记 合计 坡腰 坡顶 合计 并判断是否有 95%的把握认为数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关？ （3）坡顶和坡腰的平均风蚀值分别为 1 x和 2 x，若 12 20xxcm，则可认为此固沙方法在坡顶和坡腰的

11、固沙效果存在差异，试根据直方图计算 1 x和 2 x（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ，并判断该 固沙效果方法在坡顶和坡腰的固沙效果是否存在差异. 附： () ()()()() 2 2 n adbc K abcdacbd = + ， 20.（本小题满分 12 分） 已知点F为椭圆() 22 22 10,0 xy ab ab +=的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B为椭圆的下顶点，椭 圆上任意一点到点F距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）若,M N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线AM/ /直线BN，直线AN、BM的斜率分别为 1 k和 2 k， 求证： 2 1

12、2 1k ke=（e为椭圆的离心率）. () 2 P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 6 / 7 21.（本小题满分 12 分） 已知函数( ) 2 11 2 3ln 22 f xxaxx=+（aR且0a ）. （1）当2 3a =时，求曲线( )yf x=在点( )()1,1f处的切线方程； （2）讨论函数( )f x的单调性与单调区间； （3）若( )yf x=有两个极值点 12 ,x x，证明：( )() 12 9lnf xf xa+. 22.【选修 4-4：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l

13、的参数方程为 2 1 2 2 2 2 xt yt = =+ （t为参数） ，以坐标原点O为极点，x轴 的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 1 C的极坐标方程为 2 2cos 4 =+ ，曲线 2 C的直角坐标方程为 2 4yx=. （1）若直线l与曲线 1 C交于,M N两点，求线段MN的长度； （2）若直线l与x轴，y轴分别交于,A B两点，点P在曲线 2 C上，求AB AP的取值范围. 7 / 7 23. 【选修 4-5：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数( )122f xxx= +，( )22g xxxaa=+. （1）求不等式( )4f x 的解集； （2）对 1 xR，

14、2 xR，使得( )() 12 f xg x成立，求a的取值范围. 2020 年高三诊断考试试题答案 数数 学学（理理科科） 1B2A3B4C5A6B7D8B9A10C1112D 11 【解析】设 2 0 0 (,) 4 x P x，则过 P 的切线斜率为 0 2 x k =，Q 点坐标为 0 (, 1)x - 0 2 FQ k x = - 1 FQ kk = -根据抛物线定义PFPQ= 1 l为 FQ 的垂直平分线 RFRQ=5QR + MR = FRMRFM+=故选 D. 12 【解析】由“保值函数”定义可知）（xf为区间ba,上的“保值函数”则）（xf在ba,上是 单调函数且在区间ba,

15、时其值域也为ba,，那么当函数）（xf为增函数时满足条件 xf x= （ ）在ba,上有两个不同的实数解ba,的函数）（xf就是“保值函数”，命题中 xxxf2)( 2 -，虽满足在10，上单调但值域为01，不是10，故为假命题；中由 1-）（ x xg2的图象可知其为区间10，上的“保值函数”故为真命题；中 x exxh 2 ）（则由mxxexh x ，在）（）（002 2 成立，所以）（xh为m，0上的增函 数，再由xex x 2 解得有两个根 2 2 1 1 , 0 x e x x，构造函数 x e x xk-）（ 1 ，易知 01, 0 2 1 ）（）（kk，由零点存在性定理知存在xe

16、xmx x 2 2 1 2 1 ），使，（成立，故 为真命题.综上所有真命题的序号为，答案为 D. 13414615216 216 15 【解析】连接DBBD、，则/DBBD，26DBBD DCOB为菱形，2 084454tan, 1628109DCB 6 2 23 2 084454tan 2 1 2 DB OC33CB 34 22 BCCBBBCC227 2 )3435(62 CCBB S梯形 7 2216266 2 1 32276 表 S . 16 【解析】由余弦定理得120A， 14 13 cosC,故 28 1 2 sin C . 30 2 90 22 ACB ,得150BIC,在BI

17、C中，由正弦定理得 7 2 sin14 C IB. 17 【解析】 （）设等差数列 n a的公差是d，由 421 3, 8aaa得： )38(38dd解得2d，所以nan210.6 分 （）设 2 11 )42( 4 )14( 4 nnnnan b n n ， 51 17 2 1 1 1 2 1 1 nn Tn 得到4n12 分 18 【解析】 （）点E为PD中点时直线PB与平面ACE平行. 证明：连接BD，交AC于点O,则点O为BD的中点， 因为点E为PD中点， 故OE为PDB的中位线，则PBOE /,OE平面 ACE,PB平 面ACE, 所 以PB与 平 面ACE平 行.5 分 （）根据题

18、意PBAC ，PA底面ABCD,AC底面ABCD，则有PAAC ， PPBPA,所以AC平面PAB,设xAC ， 3 3 2 1 2 2 1 3 1 11 2 1 3 1 2 xxVV PBCAACBP ，得1AC 法一：由（）可知PBOE /，又PBAC ，所以ACOE ， AC平面PAB，AB平面PAB,所以ACAB ， 如图二面角为钝角，那么ABOE，所成的角即为二面角EACB的补角， 4 PBA,PBOE /，所以ABOE，所成的角为 4 ， 因此二面角EACB的大小为 4 3 .12 分 C AB P D E O 法二：以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为zyx,轴，建立空间直角坐

19、标系，则 ) 2 1 , 2 1 , 2 1 (),1 , 0 , 0(),0 , 1 , 1(),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (),0 , 0 , 0(EPDCBA 显然平面ABC的法向量是) 1 , 0 , 0(AP 设平面ACE的一个法向量 n=）（zyx, )0 , 1 , 0(), 2 1 , 2 1 , 2 1 (ACAE 则 0 0 ACn AEn 即 0 0 2 1 2 1 2 1 y zyx ， 令1x，得 n=），（101， 设二面角EACB的大小为，则 2 2 ,coscos nAP nAP nAP 如图二面角为钝角，因此二面角EACB的大小为 4 3 .

20、12 分 19 【解析】 （）设“坡腰处一个插钎风蚀值小于 30”为事件 C ( )0.8 0.16 0.360.6P C +=.2 分 （）完成列联表如下： 标记不标记合计 坡腰302050 坡顶203050 合计5050100 根据列联表，计算得： 841. 34 50505050 )20203030(100 2 2 K 所以有 95%的把握认为，数据标记“*”与沙丘上插钎所布设的位置有关7 分 （） 1 0.08 5 0.16 15 0.36 25 0.24 35 0.12 45 0.04 5527.8()xcm=+= 2 0.04 5 0.12 15 0.24 25 0.32 35 0

21、.20 45 0.08 5532.6()xcm=+= 12 20xx-该固沙方法在坡顶和坡腰的固沙效果没有差异.12分 20 【解析】 C AB P D E x y z （）椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy +=.4 分 （）由可知(2,0), (0,3)AB- ，设 AM 的斜率为 k，则 BN 斜率也为 k 故直线 AM 的方程为(2)yk x=-，直线 BN 的方程为3ykx=- 由 22 3412 (2) xy yk x += =- 得 222 34(2)12xkx+-=，即 2222 (3 4)1616120kxk xk+-+-= 解得2x =或 2 2 816 3 4 k

22、x k - = + 2 22 81612 () 3 43 4 kk M kk - + ， 由 22 3412 3 xy ykx += =- 得 22 34(3)12xkx+-=，即 22 (3 4)8 30kxkx+-= 解得0x =或 2 8 3 3 4 k x k = + 2 22 8 34 33 3 () 3 43 4 kk N kk - + ， 2 2 2 1 2 2 2 2 22 2 2 4 33 3 3(43) 3 4 8 32(44 33) 2 3 4 12 3 3(44 33) 3 4 862(43) 3 4 k k k k kkk k k kk k k kk k - - +

23、= -+ - + - + -+ + = - + 2 12 3 1 4 kke = -=-.12 分 21 【解析】 ()因为32a时， , 2 1 2 1 ln3232 2 xxxxf）（所以，x x xf 32 32）（ 那 么32111）（，）（ff， 所 以 曲 线）（xf在）（，（11f处 的 切 线 方 程 为 ： ），（1132xy即：0132 yx.4 分 （）由题可知函数）（xf的定义域为，0 因为, 32 32 2 x axx x x a xf -）（由032 2 axx可得: 当0412a即3a时,有 2121 ,33,33xxaxax 又当)3 , 0(a时，满足0 21

24、 xx,所以有, 0,0 12 ）（）时）和（，（xfxxx 即）上）和（，）在（,0 12 xxxf为减函数; , 0, 12 ）（）时（xfxxx即）上，）在（ 12 xxxf为增函数. 0, 00 21 xxa时，有当,）（）（）时，（则xfxfxx, 00 1 为增函数, )(, 0, 1 xfxfxx）（）时（为减函数; 当003）（，时，xfa恒成立，所以），）在（0xf为减函数 综上可知： 时当0a，在），（a330上，）（xf为增函数， 在）（,33a上，）（xf为减函数； 当30 a时，在）和（，（,33330aa上，）（xf为减函数， 在）（aa33 ,33上，）（xf为增

25、函数； 当3a时，在），（0上，）（xf为减函数.8 分 （）因为）（xfy 有两个极值点， 21 xx则0 32 2 x axx xf）（ 有两个正根， 21 xx则有，0, 32, 0412 2121 axxxxa即），（ 30a, 所以7ln1 2 1 ln32 2 2 2 1212121 aaaxxxxaxxxfxf）（）（）（）（）（ 若要，）（）（axfxfln9 21 即要02lnlnaaaa 构造函数:2lnlnxxxxxg）（,则 x xxg 1 ）（ ln,易知），）在（30 xg上为增函数 且0 2 1 2ln2, 011）（）（gg,所以存在 0 000 1 ln021

26、 x xxgx即）（）使，（ 且）单调递减，（）（）时，（xgxgxx, 01 0 ）（）时（xgxgxx, 0)2 , 0 单调递增. 所以）（xg在），（ 21上有最小值为）（ 0 000000 1 32lnln)( x xxxxxxg, 又因为），（）则，（ 2 5 2 1 21 0 00 x xx,所以），（在）（210 00 xxg上恒成立, 即axfxfln9 21 ）（）（成立.12 分 22 【解析】 （）由条件可知直线l的普通方程为01- yx， 曲线 1 C的直角坐标方程为022 22 yxyx， 根据曲线 1 C的直角坐标方程可知 1 C为以) 1, 1 ( 为圆心，以2

27、为半径的圆， 圆心 1 C到直线l的距离 2 2 d, 所以弦6 2 2 22 22 ）（）（MN；.5 分 （II）因为曲线 2 C的参数方程为 sin2 cos2 y x （为参数，且，0） ， 又因为) 10(),01 (， BA，设曲线 2 C上点 P 的坐标为）（sin2 ,cos2P， 则）1,-（），（sin2cos211APAB，0 所以， 1 4 sin22）（ APAB ，0，则 1 4 sin 2 2 ）（ ， 所以1221,APAB.10 分 23 【解析】 （）由 413 1 43 11 413x x x x x x 或或 - -1 解得1 3 5 xxx或或-， 所以不等式的解集为 ），（），（1 3 5 .5 分 （II）因为当2 min ）（时1xfx， 又因为aaaaxxaaxxxg222222)(）（）（， 由题意RR 21 xx，使得）（）（ 21 xgxf成立， 则有 minmin ）（）（xgxf，即aa222所以有 22 222 02 ）（）（aa a ， 解之得04,a10 分