81二重积分的概念和性质课件.ppt

1、第八章第八章 二重积分二重积分Double Integral 8.1 二重积分的基本概念二重积分的基本概念8.2 二重积分的计算二重积分的计算CXWangCXWang,2014,2014一、问题的提出一、问题的提出二、二重积分的概念二、二重积分的概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质四、小结四、小结1 二重积分的基本概念二重积分的基本概念CXWangCXWang,2014,2014柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出CXWangCXWang,2014,201

2、4求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限分割、求和、取极限”的方法的方法.CXWangCXWang,2014,2014求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示CXWangCXWang,2014,2014求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示CXWangCXWang,2014,2014求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示CXWang

3、CXWang,2014,2014求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示CXWangCXWang,2014,2014求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示CXWangCXWang,2014,2014步步 骤：骤：xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体先分割曲顶柱体的底，并取典型的底，并取典型小区域，用若干小区域，用若干个小平顶柱体体个小平顶柱体体积之和近似表示积之和近似表示曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积CXWangCXWa

4、ng,2014,2014具体步骤如下：具体步骤如下：xzyoD),(yxfz 1.分割分割D 任意分成任意分成 n 个小闭区域个小闭区域1 ，,2 ，,n 其中其中 i 表示表示 第第 i 个小闭区域，也表示它的面个小闭区域，也表示它的面 积。对应的小曲顶柱体体积为积。对应的小曲顶柱体体积为.iV 2.取近似取近似在每个在每个 i 上任取一点上任取一点 ),(ii ，),(iiifV i .3.求和求和.),(1iiniifV 4.取极限取极限.),(lim10iiniifV ,max11n i ),(ii CXWangCXWang,2014,2014求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(i

5、i将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyoCXWangCXWang,2014,2014二、二重积分的概念二、二重积分的概念CXWangCXWang,2014,2014 niiiiDfdyxf10),(lim ),(dyxf),(CXWangCXWang,2014,2014对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：DDdvufdyxf ),(),(CXWangCXWang,2014,2014xzyoD),(yxfz i

6、 ),(ii xzyo),(yxfz Di ),(ii 二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值CXWangCXWang,2014,2014 在直角坐标系下用平行于坐标轴在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域的直线网来划分区域D，dxdyd 故二重积分可写为故二重积分可写为则面积元素为则面积元素为xyodxdyDDdxdyyxfdyxf),(),(CXWangCXWang,2014,2014性质性质当当 为常数时为常数时

7、，k.),(),(DDdyxfkdyxkf 性质性质 Ddyxgyxf),(),(.),(),(DDdyxgdyxf （二重积分与定积分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质三、二重积分的性质CXWangCXWang,2014,2014性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 性质性质 若若 为为D的面积，的面积，.1 DDdd 性质性质 若在若在D上上),(),(yxgyxf.),(),(DDdyxgdyxf 特殊地特殊地.),(),(DDdyxfdyxf )(21DDD 则有则有CXWangCXWang,20

8、14,2014 设设M、m分分别别是是),(yxf在在闭闭区区域域 D 上上的的最最大大值值和和最最小小值值，为为 D 的的面面积积，则则性质性质 设设函函数数),(yxf在在闭闭区区域域D上上连连续续，为为D的的面面积积，则则在在 D 上上至至少少存存在在一一点点),(使使得得性质性质（二重积分中值定理）（二重积分中值定理）DMdyxfm),(),(),(fdyxfD（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）xyo D性质性质8.设函数设函数),(yxfD 位于 x 轴上方的部分为D1,),(),()1(yxfyxf),(),()2(yxfyxfd),(Dyxf0d),(Dyxf当区域关于

9、 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍1D在 D 上d),(21Dyxf在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有1:,221 yxDD 为圆域如Dyxyxdd)(22Dyxyxdd)(1dd)(422Dyxyx0例例1.1.比较下列积分的大小比较下列积分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中2)1()2(:22yxD解解:积分域 D 的边界为圆周1 yx332)()(yxyx2)1()2(22yx它与 x 轴交于点(1,0),.1相切与直线 yx而域 D 位,1 yx从而d)(d)(32DDyxyx于直线的上方,故在 D 上 1y2xo1D例例2.

10、设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则,d31DxyI,d322DxyIDxyId3213的大小顺序为().)(;)(;)(;)(213123312321IIIDIIICIIIBIIIA提示提示:因 0 y 1,故;212yyyD故在D上有,03x又因323321xyxyxyyox1DCXWangCXWang,2014,2014在在D上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区区域域 D的的面面积积 ,abCXWangCXWang,2014,2014区域面积区域面积2 ,16)(1)

11、,(2 yxyxf在在D上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxM),(yxf的的最最小小值值5143122 m)2,1(yx 故故4252 I.5.04.0 I解解例例5.5.估计下列积分之值10:coscos100ddI22yxDyxyxD解解:D 的面积为200)210(2由于yx22coscos1001积分性质积分性质5100200I102200即:1.96 I 210101010D10011021xyo四、四、内容小结内容小结1.二重积分的定义二重积分的定义Dyxfd),(iiinif),(lim10)dd(dyx3.二重积分的性质二重积分的性质(与定积分性质相似与定积分性质相似)2.二重积分的几何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）