74角动量的耦合课件.ppt

1、角动量的耦合角动量的耦合 考虑电子自旋后，那么一个电子就涉及两个角考虑电子自旋后，那么一个电子就涉及两个角动量：轨道角动量与自旋角动量。两个角动量如何动量：轨道角动量与自旋角动量。两个角动量如何相加，就是所谓的两个角动量的耦合问题。角动量相加，就是所谓的两个角动量的耦合问题。角动量耦合是一个很重要但又非常复杂的理论，本讲主要耦合是一个很重要但又非常复杂的理论，本讲主要讨论两个角动量耦合（轨道与自旋角动量、自旋与讨论两个角动量耦合（轨道与自旋角动量、自旋与自旋角动量等）的一般理论。自旋角动量等）的一般理论。首先,来看轨道与自旋角动量的耦合 7.4 两个角动量的耦合一、基本对易关系一、基本对易关系

2、以 表示体系的两个角动量算符，它们满足角动量的一般对易关系：21,JJ)24.7(.)14.7(,222111JiJJJiJJ 和 是相互独立的，因而 的分量和 的分量都是可对易的：1J2J1J2J)34.7(0,21JJ以 表示 与 之和：J1J2J21JJJJ称为体系的总角动量，它满足角动量的一般对易关系：)44.7(JiJJ即,xyzyzxzxyJJi JJJi JJJi J证明:21JJJ则有关系：121212xxxyyyzzzJJJJJJJJJ所以121211122122112212,00,xyxxyyxyxyxyxyxyxyzzzJJJJJJJJJJJJJJJJJJi Ji Ji

3、J此外，还有一些其他的对易关系：)54.7(0,0,0,0,0,22221222212JJJJJJJJJJzz二、无耦合与耦合表象二、无耦合与耦合表象以 表示 和 的工同本征矢：11,mj21JzJ1)64.7(.,)1(,111111112111121mjmmjJmjjjmjJz)74.7(.,)1(,222222222222222mjmmjJmjjjmjJz以 表示 和 的共同本征矢：22,mj22JzJ2因为 相互对易，所以它们的共同本征矢：zzJJJJ222121,)84.7(,22112211mjmjmjmj组成正交归一的完全系。以这些本征矢作为基矢的表象称为无耦合表象，在这个表象中

4、，都是对角矩阵。zzJJJJ222121,另一方面算符 也是相互对易的，所以它们有共同本征矢 ,j 和 m 表明 和 的对应本征值依次为 和 :22212,JJJJzmjjj,212JzJ2)1(jjm)94.7(,)1(,2121212212mjjjmmjjjJmjjjjjmjjjJz 组成正交归一完全系，以它们为基矢的表象称为耦合表象。mjjj,21概括起来讲如下：1、无耦合表象基底：22112211mjmjmjmj 只对 作用，zJJ121,11mj只对 作用。zJJ222,22mj221122211222112222211222211122111221121122112111mjmjm

5、mjmjJmjmjjjmjmjJmjmjmmjmjJmjmjjjmjmjJzz2、耦合表象基底：不能区分角动量1和2了！mjjj21mjjjmmjjjJmjjjjjmjjjJmjjjjjmjjjJmjjjjjmjjjJz21212122122122221222121121211113、无偶合表象基底与偶合表象基底的变换 对于确定的j1和j2,在 维子空间，)(121221jj21121 2121112(7.4 10)jjmmi jmjmjj j jmCj m j m上式中 称为矢量耦合系数或克来布希高登（ClebschGordon）系数ijm mC无耦合表象耦合表象三、三、的本征值的本征值21

6、JJJ对于确定的 和 ，总角量子数 的取值系列为 1j2jj)124.7(,1,212121jjjjjjj例如，电子的轨道和自旋的总角动量 2121llj当0l21j0l当J2J1J称为角量子数条件 。jjj21可证明 m=m1+m2 的取值系列为：j212121,1,jjjjjjj例例1 有自旋轨道相互作用情况有自旋轨道相互作用情况考虑自旋轨道作用的氢原子考虑自旋轨道作用的氢原子,体系体系HamiltonHamilton量为量为SLrrVHHH )()(2220 (1)证明证明 L,S与与 H 不再对易。不再对易。(2)证明证明J=L+S与与 H 对易。对易。解解:(1)可以证明,xxxxy

7、yzzxxxxyyxzzyxyzxzyzzyLS LLS LS LS LLS LLS LLS LS LLS LLS i LS i L xxyyzzSLS LS LS L则则 L,S与与 H 不再对易。不再对易。所以所以 与与 不对易不对易.SLSL解解:(2)由由SLJ 可有,0JS L22212SLJLS容易证明则则 J与与 H 对易。对易。对1111,2112121jlmljmzlmlmlmlmYsllmYlmlmYYll 12j l 其中1210 1201 对111,21112121jlmljmzlmlmlmlmYsllmYlmlmYYll 12j l 对112121jljmlmlmlm

8、lmYYll12j l 可得出11112121121221212jjjzljmzzljmlmlmlmlmljmJLSlmlmmYmYlllmlmYYllm对112121jljmlmlmlmlmYYll12j l 同理 22212111121211jjljmlmlmljmlmlmLl lYml lYlll l222222()234JL SLSL SLLzzLLLL又则222223434zzLLLJLLL求在下列状态下,的可能测值2,zJ J解:1221 1Y12111Y对状态12111Y11,2lsj的可能值只有两个,3/2与此1/2又因11,2smm则32jm 由此可推断32j 所以,的可能取值2J322154同理,对状态11,2lsj的可能值只有两个,3/2与此1/2又因11,2smm 则32jm 由此可推断32j zJ的可能取值1221 1Y所以,的可能取值2J2154zJ的可能取值32