71lei1-多元函数的基本概念课件.ppt

1、2023-1-61高等数学多媒体课件华南农业大学理学院数学系牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）2023-1-62第第七章七章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用推广推广一元函数微分学一元函数微分学 多元函数微分学多元函数微分学 注意注意:善于类比善于类比,区别异同区别异同2023-1-63主主 要要 内内 容容第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第二节第二节 偏导数偏导数第三节第三节 全微分全微分 第四节第四节 多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法 第五节第五节 隐函数的微分法隐函数的微分法 第六节第六节 多元微分学在几何上的应用多元微

2、分学在几何上的应用 第七节第七节 方向导数与梯度方向导数与梯度 第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法 2023-1-64第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第七章第七章(Conception of functions of several variables)四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性一、平面点集一、平面点集 n 维空间维空间二、多元函数的概念二、多元函数的概念三、多元函数的极限三、多元函数的极限五、小结与思考练习五、小结与思考练习2023-1-651.平面点集平面点集 坐标平面上具有某种性质坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平的点的集

3、合，称为平面点集，记作面点集，记作 E=(x,y)|(x,y)具有性质具有性质P.例如，平面上以原点为中心、例如，平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有为半径的圆内所有点的集合是点的集合是222(,)|Cx yxyr一、平面点集一、平面点集 n 维空间维空间2023-1-66邻域邻域0P),(0 PU|0PPP .)()(|),(2020 yyxxyx 2023-1-67 )(0oPPU00 PP点集点集,),(0PPU称为点称为点 P0 的的 邻域邻域.例如例如,在平面上在平面上,),(),(0yxPU(圆邻域圆邻域)在空间中在空间中,),(),(0zyxPU(球邻域球邻域)说明：说明：若不

4、需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 ,也可写成也可写成.)(0PU点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为0PP)()(2020yyxx)()()(202020zzyyxx2023-1-68在讨论实际问题中也常使用方邻域在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为平面上的方邻域为0(,)(,)U Px y.0P因为方邻域与圆因为方邻域与圆邻域可以互相包含邻域可以互相包含.0,xx0yy2023-1-69(1)内点、外点、边界点内点、外点、边界点、聚点、聚点设有点集设有点集 E 及一点及一点 P:若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U(P)E,若存在点若存在点 P 的某邻域的某邻域 U

5、(P)E=,若对点若对点 P 的任一邻域的任一邻域 U(P)既含有既含有 E的点也含的点也含E则称则称 P 为为 E 的的内点内点；则称则称 P 为为 E 的的外点外点;则称则称 P 为为 E 的的边界点边界点 .有不是有不是E的点的点,显然显然,E 的内点必属于的内点必属于 E,E 的外点必不属于的外点必不属于 E,E 的的边界点可能属于边界点可能属于 E,也可能不属于也可能不属于 E.2.区域区域2023-1-610若对任意给定的若对任意给定的 ,点点P 的去心的去心),(PUE邻域邻域内总有内总有E 中的点中的点,则则称称 P 是是 E 的的聚点聚点.内点一定是聚点；边界点可能是聚点内点

6、一定是聚点；边界点可能是聚点；说明：说明：10|),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点 点集点集E的聚点可以属于的聚点可以属于E，也可以不属于，也可以不属于E10|),(22 yxyx例如例如,(0,0)是聚点但不属于集合是聚点但不属于集合1|),(22 yxyx例如例如,边界上的点都是聚点也都属于集合边界上的点都是聚点也都属于集合2023-1-611开集开集:如果点集如果点集E的点都是内点，则称的点都是内点，则称E为为开集开集.。为，因此的中每个点都是例如 21),(:112221EEyxyxE内点内点开集开集闭集：闭集：如果点集如果点集E的余集的余集 为开集

7、，则称为开集，则称E为闭集为闭集.;21|),(,22yxyx是集合例如开集开集既既非开集，非开集，也也非闭集非闭集.21|),(22yxyx集合22(,)|12;x yxy集是闭集合cE(2)开集、闭集开集、闭集2023-1-612连通集：连通集：如果点集如果点集E内的任何两点，都可用折线连接内的任何两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于起来，且该折线上的点都属于E，则称，则称E为为连通集连通集.例如：例如：.21 ),(222集合是闭区域yxyx闭区域：开区域闭区域：开区域连同它的连同它的边界边界一起所构成的点集称为一起所构成的点集称为闭区域闭区域.区域区域(或开区域或开区域)：连

8、通的连通的开集开集称为区域或称为区域或开区域开区域.例如：例如：.21),(222是区域集合yxyx（4）区域）区域2023-1-6130),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域开区域闭区域闭区域 xyo21xyoxyoxyo21例如，例如，在平面上在平面上2023-1-614 整个平面整个平面 点集点集 1),(xyx是开集，是开集，是最大的开域是最大的开域,也是最大的闭域；也是最大的闭域；但非区域但非区域.11oxy 对区域对区域 D,若存在正数若存在正数 K,使一切点使一切点 P D 与某定点与某定点 A 的距离的距离 AP K,则称则称 D 为为

9、有界有界区区域域,无界域无界域.否则称为否则称为有界集：有界集：对于平面点集对于平面点集E，如果存在某一正数，如果存在某一正数r，使，使得得 ，其中，其中O是坐标原点，则称是坐标原点，则称E为为有界集有界集.无界集：无界集：不是有界集的集合称为不是有界集的集合称为无界集无界集.(,)EU O r2023-1-615n 元有序数组元有序数组),(21nxxx),(21nxxx的全体称为的全体称为 n 维空间维空间,Rnn 维空间中的每一个元素维空间中的每一个元素称为空间中的称为空间中的kx数称为该点的第称为该点的第 k 个个坐标坐标.记作记作即即RRRRnnkxxxxkn,2,1,R),(21一

10、个一个点点,当所有坐标当所有坐标时，0kx称该元素为称该元素为 nR中的零元中的零元,记作记作 O.3.n 维空间维空间2023-1-616 设设x=(中任意两个中任意两个元素元素 ，规定，规定R112212(,),(,).nnnxyxy xyxyxxxx线性运算的集合线性运算的集合Rn称为称为n维空间维空间.2023-1-617的的距离距离记作记作2222211)()()(),(nnyxyxyxyx),(21nyyyy与点),(R21nnxxxx中的点,),(yxyx或规定为规定为 n n维空间中邻域、内点、边界点、区域、聚点等维空间中邻域、内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义概念也可定义

11、 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离3,2,1 n2023-1-618二、多元函数的概念二、多元函数的概念 引例引例:圆柱体的体积圆柱体的体积 定量理想气体的压强定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式,2hrV,(为常数）RVTRp)2(cbapcba0,0),(hrhr0,0),(TTVTV(,)0,0,0,.a b cabcabc)()(cpbpappShr2023-1-619,RnD DPPfu,)(或点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域;数集数集DP,Pfuu)(称为函数的称为函数的值域值域 .特别

12、地特别地,当当 n=2 时时,有二元函数有二元函数2R),(),(Dyxyxfz当当 n=3 时时,有三元函数有三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu映射映射R:Df称为定义称为定义在在 D 上的上的 n 元函数元函数,记作记作),(21nxxxfu定义定义1 设非空点集设非空点集2023-1-620例例1.1.求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为.,42|),(222yxyxyxD 2023-1-621二元函数的几何意义：二元函数的几何意义：设二元函数设二元函数z=f(x,y)的定义域为

13、的定义域为xoy面上的面上的某一区域某一区域D，对于，对于D上的每一点上的每一点P(x,y)，在空间在空间可以作出一点可以作出一点M(x,y,f(x,y)与它对应；当点与它对应；当点P(x,y)在在D中变动时，点中变动时，点M(x,y,f(x,y)就在空间就在空间作相应地变动，它的轨迹是一个曲面作相应地变动，它的轨迹是一个曲面.2023-1-622xzy221yxz定义域为定义域为1),(22 yxyx圆域圆域说明说明:二元函数二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面.,)sin(,yxz 又如的图形一般为空间曲面的图形一般为空间曲面 .12

14、R),(yx三元函数三元函数)arcsin(222zyxu定义域为定义域为1),(222zyxzyx图形为图形为4R空间中的超曲面空间中的超曲面.单位闭球单位闭球xyzo例如例如,二元函数二元函数2023-1-623三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义2 设设 n 元函数元函数,R),(nDPPf点点,),(0PUDP(),f PA则称则称 A 为函数为函数(也称为也称为 n 重极限重极限)当当 n=2 时时,记记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是是 D 的聚的聚若存在常数若存在常数 A,对一对

15、一记作记作，时的极限当0)(PPPf00(,)(,)lim(,)x yxyf x yA都有都有对任意正数对任意正数 ,总存在正数总存在正数 ,切切2023-1-624 (1)不研究不研究P0(x0,y0)处的状态，仅研究点处的状态，仅研究点 的过程中，函数的过程中，函数f(x,y)的变化趋的变化趋势势.所以，函数所以，函数z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)的极限与函数的极限与函数在点在点P0(x0,y0)有无定义无关有无定义无关.),(),(000yxPyxP(2)极限值极限值A应是一个确定的常数，它与应是一个确定的常数，它与P(x,y)趋近趋近P0(x0,y0)的方式无关的方式无关.

16、也就是说：也就是说：P(x,y)以任何方式以任何方式趋于趋于P0(x0,y0)时，函数都无限接近于时，函数都无限接近于A.注意：注意：（3）若当点）若当点),(yxP趋于不同值或有的极限不存在，趋于不同值或有的极限不存在，则可以断定函数极限则可以断定函数极限以不同方式趋于以不同方式趋于,),(000时yxP不存在不存在.函数函数2023-1-625)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：求证：(,)(0,0)lim(,)0.x yf x y证证:01sin)(2222yxyx故故(,)(0,0)lim(,)0 x yf x y,0 0),(yxf,022时当yx22yx 2

17、22yx ,取总有总有要证要证（课本（课本 例例5）例例2 设设2023-1-626例例3 考察函数考察函数0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf这也是一种特殊方式这也是一种特殊方式(2)当点当点P(x,y)沿沿y轴趋于点轴趋于点(0,0)时时,00lim),0(lim),(lim000 )0,0(),(yyxyxyfyxf解：解：(1)当点当点P(x,y)沿沿x轴趋于点轴趋于点(0,0)时时,(,)(0,0)00 0lim(,)lim(,0)lim00 x yxxyf x yf x这是一种特殊的趋近方式这是一种特殊的趋近方式当当 时时 的极限的极限.(,)(0,0)x y 202

18、3-1-627(3)当点当点P(x,y)沿直线沿直线y=kx趋于点趋于点(0,0)时时.1 limlim22222022 )0,0(),(的不同，极限值也不同随着kkkxkxkxyxxyxkxyyx.),(lim )0,0(),(不存在yxfyx2023-1-628例例4 求求:的聚点为解：函数的定义域为DPRyxyxD)2,0(),0|),(0 xxyyx)sin(lim)2,0(),（)sin(lim)2,0(),yxyxyyx（原式.221lim)sin(lim20yxyxyyxy2023-1-629例例5 5 求极限求极限 .)sin(lim222)0,0(),(yxyxyx解解,)s

19、in(lim22222)0,0(),(yxyxyxyxyx其中其中uuusinlim0,1 222yxyx y00,y .0)sin(lim222)0,0(),(yxyxyxyxu2 222)0,0(),()sin(limyxyxyxyxyxyx22)0,0(),()sin(lim2023-1-630四、四、多元函数的连续性多元函数的连续性定义定义3 设二元函数设二元函数 f(P)=f(x,y)的定义域为的定义域为D，为为D的聚点，且的聚点，且 .如果如果则称函数则称函数f(x,y)在点在点P0(x0,y0)处连续处连续.如果函数如果函数z=f(x,y)在定义域在定义域D上每一点都连续，则上每

20、一点都连续，则称函数称函数z=f(x,y)在定义域在定义域D上连续，或者称上连续，或者称f(x,y)是是D上上的的连续函数连续函数.),(000yxPDP 0 以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推以上关于二元函数的连续性概念，可相应地推广到广到n元函数元函数f(P)上上.),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx2023-1-631 二元函数在点二元函数在点P0(x0,y0)处的连续，要求有以下处的连续，要求有以下三三个条件成立，即：个条件成立，即：(1)函数函数z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)有定义，且点有定义，且点P0(x0,y0)是函数是函数z=f(x,y)

21、定义域的聚点定义域的聚点.(2)函数函数z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)有极限有极限.(3)函数函数z=z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)处的极限值等于该点处的极限值等于该点 函数值，即：函数值，即：),(),(lim00),(),(00yxfyxfyxyx2023-1-632定义定义4 设函数设函数f(x,y)的定义域为的定义域为D，是是D的聚点的聚点.如果函数如果函数f(x,y)在点在点 不连续，则称不连续，则称 为函数为函数f(x,y)的的间断点间断点.),(000yxP),(000yxP),(000yxP，yxyxyxxyyxf0 00 ),(222222例如函数例如

22、函数其中定义域其中定义域 ，O(0,0)是是D的聚点的聚点.f(x,y)当当 时的极限不存在，所以点时的极限不存在，所以点O(0,0)是该函是该函数的一个间断点；数的一个间断点；2RD 0),(yx2023-1-633 圆周圆周 上的点都是上的点都是D的的聚点，聚点，而而f(x,y)在在C上没有定义，当然上没有定义，当然f(x,y)在在C上各点都上各点都不连不连续，续，所以圆周所以圆周C上各点都是该函数的上各点都是该函数的间断点间断点.1|),(22yxyxC,11sin),(22yxyxf其定义域为其定义域为.1|),(22yxyxD又如函数又如函数2023-1-634 一元函数中关于极限的

23、一元函数中关于极限的运算法则，运算法则，对于多元函数对于多元函数仍然适用，根据多元函数的仍然适用，根据多元函数的极限运算法则，极限运算法则，可以证明可以证明多元连续函数的多元连续函数的和、差、积仍为连续函数；和、差、积仍为连续函数；连续函数连续函数的的商在分母不为零处仍连续；商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的多元连续函数的复合函复合函数也是连续函数数也是连续函数.2023-1-635 多元初等函数多元初等函数：由常数及具有不同变量的一元由常数及具有不同变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫骤所构成的

24、可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域2023-1-636(,)(0,0)1 1lim.x yxyxy 解解:原式原式2(,)(0,0)(1)1lim(1 1)x yxyxyxy 21(,)(0,0)1lim1 1x yxy 例例6（课本（课本 例例9）求求).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处处连连续续，于于是是点点在在的的定定义义域域的的内内点点，则则是是数数，且且是是初

25、初等等函函时时，如如果果一一般般地地，求求2023-1-637,0)1(K)()2(Pf,Mm;,)(DPKPf使在在 D 上可取得最大值上可取得最大值 M 及最小值及最小值 m;(3)对任意对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理有界性定理)(最值定理最值定理)(介值定理介值定理)闭域闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:定理：定理：若若 f(P)在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续,则则2023-1-638内容小结内容小结1.区域区域 邻域邻域:,),(0PU),(0PU 区域区域连通的开集连通的开集 空间nR2.多元函数概念多元函数概念n 元

26、函数元函数),(21nxxxf常用常用二元函数二元函数(图形一般为空间曲面图形一般为空间曲面)三元函数三元函数DP)(Pfu nR2023-1-639APfPP)(lim0,0,0 时，当00 PP有有)(APf4.多元函数的连续性多元函数的连续性1)函数函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2)闭域上的多元连续函数的性质闭域上的多元连续函数的性质:有界定理有界定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续一切多元初等函数在定义区域内连续3.多元函数的极限多元函数的极限2023-1-640作业作业习习 题题 7-1 P69-70 6(2)(3)(4)

27、(5);7(1)2023-1-641思考与练习思考与练习24242(,)(0,0)0limlim1x yyx yk yxyk y1.习题习题71 7（2）令令 x=k y，0 若令若令xy242(,)(0,0)limx yx yxy21220lim2yyy,则则 可见极限可见极限不存在不存在2023-1-6422.设设,),(222yxyxfxy求求.),(2yxfxy解法解法1 令令uyxvxy23vuy 3vuux),(vuf32)(2vuu32)(vu,2xyu yxv),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy2023-1-643,),(222yxyxfxy求求.),(2yxfx

28、y解法解法2 令令uvyx2vuxy2vy uvx),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf2.设设2023-1-644yxyxxx200limxxxx320lim)(lim320 xxx,1(,)(0,0)ln(1)limx yxyxxy是否存在？是否存在？解：解：xxy取所以极限不存在所以极限不存在.333,0,)1ln(yxyx利用yxxyxyx)1ln(lim003.2023-1-645),(yxf)0,0(),(,22yxyxyx)0,0(),(,0yx在全平面连续在全平面连续.证证:,)0,0(),(处在yx),(yxf为初等函数为初等函数,故连续故连续.又又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 22(,)(0,0)limx yxyxy0)0,0(f故函数在全平面连续故函数在全平面连续.由夹逼准则得由夹逼准则得4.证明证明