5第五节稳定性和代数稳定判据课件.ppt

1、1/6/20231第五节 系统的稳定性和代数稳定判据1/6/20232一、稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件 稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。1/6/20233定义一：俄国学者李亚普诺夫意义下的渐进稳定性定义：如果线性系统受到扰动的作用而使被控量产生偏差，当扰动消失后，随着时间的推移，该

2、偏差逐渐减小并趋向于零，即被控量趋向于原来的工作状态，则称该系统为渐进稳定，简称稳定。反之，若在初始扰动的影响下，系统的被控量随时间的推移而发散，则称系统不稳定。该定义说明，由于扰动的作用，使系统的工作状态发生变化，如果系统的状态能恢复到原来的工作状态，则系统是稳定的。稳定的定义1/6/20234定义二：在有界输入有界输出（Bouned-Input-Bounded-Output)意义下的稳定性定义。若线性系统在有界的输入量或干扰量的作用下，其输出量的幅值也是有界的，则称系统是稳定的，否则如果系统在有界输入作用下，产生无界输出，则称系统是不稳定的。有界输入有界输出稳定性的概念是考虑在输入影响下系

3、统的行为。尽管在引出稳定性的定义时提到了输入作用和扰动作用，但对线性定常系统来说，不论是在李亚普诺夫，还是在有界输入有界输出的意义下，系统稳定与否完全取决于系统本身的结构和参数，稳定性是系统本身的一种特性，而与输入作用无关。输入量不影响输出量的瞬态项，只影响输出量的稳态项。稳定的定义1/6/20235设系统或元件的微分方程为：)()()()()()(0)1(1)(0)1(1)(txbtxbtxbtyatyatymmmmnnn上式右边第一项为零状态解，对应于由输入引起的响应过程。第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程。011101110111)()(asasassXasasasbsbs

4、bsbsYnnnnnnmmmm式取决于初始条件的多项)()()()(01110111sXbsbsbsbsYasasasmmmmnnn+取决于初始条件的多项式稳定的充要条件和属性)0,);10(,mjbniaji式中：x(t)输入，y(t)输出为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零）：)()()(21tytyty其时域解为：1/6/20236)2()()(22110111221kkknkjnjnnnspsasasassY式取决于初始条件的多项式取决于初始条件的多项211222121)(nkkkkkkkkkknjjjsscsbpsatectebeatykktnkkkktnkknjtpjkk

5、kkj2121121sin1cos)(221稳定的充要条件和属性当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。1/6/20237 线性控制系统稳定的充分必要条件 两种稳定性定义虽然表述不同，但在本质上是一致的。由于系统的稳定性与外界条件无关，因此，可设线性系统的初始条件为零，输入作用为单位脉冲信号 ，这时系统的输出便是单位脉冲响应 。这相当于在扰动信号作用下，输出信号偏离原来工作状态的情形。根据李亚普诺夫意义下的稳定性定义，当时间趋于无穷大时，若脉冲响应收敛于原来的工作状态，即：则线性控制系统是稳定的。下面讨论系统稳定性与系统极点之间的关系

6、:由于系统的输入为单位脉冲信号 ，则系统的输出为：)(t)(ty0)(limtyt1211221)2()()()(njnlnlnlljmiigsspszsksY1)(sR1/6/20238211222121)()(nlnlnlllnllnlllnjjjssCsBpsAsY01sin1cos)(22112121tteCteBeAtynllnltlnllnltlnjtpjnllnllj，部分分式展开得：单位脉冲响应为：可见，若 ，则式中 和 应该为负数。而 和 分别为系统的实数极点和共轭复数极点的实部，表明若要使单位脉冲响应收敛于零，系统的极点均应有负的实部。则线性系统稳定的充分必要条件可描述为：

7、系统的所有极点必须位于 左半平面。0)(limtytjpnlljpnlls1/6/20239 系统的特征根中只要有一个正实根或一对具有正实部的共轭复根，则其脉冲响应函数就呈发散形式，系统不可能再回到原来的工作状态，这样的系统就是不稳定系统。也就是说，对于不稳定系统，特征方程至少有一个根位于 右半平面，在这种情况下，系统的输出对任何输入都是不稳定。如果特征方程有一对共轭根在虚轴 上，而其它根均位于 左半平面，这样的系统称为临界稳定系统，临界稳定系统的输出根据输入的不同，或等幅振荡或发散，因此，在工程实际上视临界稳定系统为不稳定系统。s)(js1/6/202310q 线性系统稳定的充要条件：系统特

8、征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。如果特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长；如果特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。上述两种情况下系统是不稳定的。1/6/202311充要条件说明 如果特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何状态下平衡，称为随遇平衡状态；如果特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡状态（或临界稳定状态）。从控制工程的角度认为临界稳定状态和随遇平衡状态属于不稳定。稳定区不稳定区临界稳定mIeRS平面1/6/202312

9、再来讨论有界输入有界输出意义下的稳定性定义。同样假设系统的单位脉冲响应为 ，则系统在任意输入信号 的作用下，输出响应 可表示为 与 的卷积，)(ty)(tr)(ty)(ty)(trdtryty)()()(0如果 有界，即存在常数 使得：)(trrMrMtr|)(|dyMdtrydtrydtrytyr0000)()(|)()()()()(|)(|由于：可见，若 绝对可积，即 有界或存在常数 ，使得：)(tydtty0)(MMdtty0|)(|则输出响应 必定是有界的)(ty1/6/202313MMtyr|)(|若 无界，则不能保证输出响应 有界。因此得出结论为：若系统的单位脉冲响应函数为 ，则当

10、且仅当积分：dtty0)()(ty)(tydtty0)(时，即该积分有界时，系统在有界输入有界输出意义下稳定。01sin1cos)(22112121tteCteBeAtynllnltlnllnltlnjtpjnllnllj，由单位脉冲响应式，可知有界输入有界输出意义下稳定的充分必要条件是系统的全部极点均位于s左半平面。显然，在有界输入有界输出稳定性意义下得出的稳定的充分必要条件与在李亚普诺夫稳定性意义下得出的充分必要条件是一致的。可将对系统稳定性的判别转化为对系统特征根大小的判别或计算。1/6/202314)2)(1()1(2)(ssss闭环传递函数为：的系统是稳定的，因为该系统的闭环极点 都

11、在s左半平面。2121ss，)4)(3)(1()2(10)(sssss闭环传递函数为：的系统是不稳定的，因为 为正实数极点，位于 右半平面，与此相对应的时间响应分量按 的规律随时间无限增大。3sste311)(2ss闭环传递函数为：的系统是临界稳定系统，它有一对虚轴上的闭环极点 ，其零输入响应为频率 的等幅振荡，因此在工程上认为该系统不稳定。js2,11例子：1/6/202315注意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的结构参数有关，与输入输出信号无关；只与极点有关，与零点无关。稳定的充要条件和属性 对于一阶系统，只要 都大于零，系统是稳定的。,01001aasasa10,aa 对于

12、二阶系统，2022112,1012224,0aaaaasasasa只有 都大于零，系统才稳定。（负实根或实部为负）210,aaa 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描述的代数稳定性判据。特征方程的系数同号是系统稳定的必要条件。若特征方程的系数不同号或有缺项，则系统不稳定。应此对于特征方程系数同号的系统，还要通过特征根来判断系统的稳定性。1/6/202316二、劳思赫尔维茨稳定性判据（一）、劳思判据 设线性系统的特征方程为 则该系统稳定的充要条件为：q 特征方程的全部系数为正值；q 由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。00111asasasannnn劳思阵的前两行由特征方程

13、的系数组成。第一行为1，3，5，第二行为2，4，6，项系数。劳斯判据劳思阵如右：04321ssssssnnnnn132132132153142gdddcccbbbaaaaaannnnnn1/6/2023171132132132153142gfdddcccbbbaaaaaannnnnn014321sssssssnnnnn以下各项的计算式为：132113121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab154115142nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab176117163nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab劳斯判据1/6/2023181132132132153142gfdddcccbb

14、baaaaaannnnnn014321sssssssnnnnn劳斯判据11231121311bababbbbaacnnnn11351131512bababbbbaacnnnn11471141713bababbbbaacnnnn141413131312121211ccbbcdccbbcdccbbcd依次类推。可求得,.)2,1,.(,igfeiii1/6/202319劳斯判据例子例：特征方程为：，试判断稳定性。0012233asasasa解：劳斯阵为：0123ssss000203120213aaaaaaaaaa稳定的充要条件为：0123,aaaa00321aaaav 均大于零v且1/6/2023

15、20特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：q 用一个正数去乘或除某整行，不会改变系统的稳定性结论；q劳斯阵第一列所有系数均不为零，但也不全为正数，则系统不稳定。表示s右半平面上有极点，右极点个数等于劳斯阵列第一列系数符号改变的次数。例：系统的特征方程为：054322345sssss012345ssssss0050093205905.15.0532411-1 3 0（2）1 0 0（）329劳斯阵第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个极点在s的右半平面。劳斯判据特殊情况1/6/202321劳斯判据特殊情况q 劳思阵某一行第一项系数为零，而其余系数不全为零。导致劳思阵下一列无法计算。q

16、 处理办法：用很小的正数 代替零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。若第一次零（即 ）与其上项或下项的符号相反，计作一次符号变化。例：0122234ssss01234sssss001002201)(002211122令 则 故第一列不全为正，系统不稳定，s右半平面有两个极点。22 0122,221/6/202322q 劳斯阵某行系数全为零的情况。表明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少有下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。劳斯判据特殊情况处理办法：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程，对此辅助方程式对s求导所得方

17、程的系数代替全零的行。大小相等，位置径向相反的根可以通过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数的。)1)(1)(1)(1(442jsjsjsjss例如:)2)(25)(1(5025482422223451ssssssss1/6/202323劳斯判据特殊情况例：0161620128223456ssssss0123456sssssss016122016122162081 从第一列都大于零可见，系统是稳定的。但要注意此时还要计算大小相等位置径向相反的根再来判稳。由辅助方程求得：0)4)(2(22ss2,2,4,32,1jsjs辅助方程为：，求导得：，或 ，用1，3，0代替全零行即可。08624 ss0

18、1243ss033ss 此时系统是临界稳定的。控制工程上认为是不稳定的。00080003100830123456sssssss0000086108611620811 3 01/6/202324（二）、胡尔维茨判据胡尔维茨判据设系统的特征方程式为：0.0111asasasannnn则系统稳定的充要条件是：，且由特征方程系数构成的胡尔维茨行列式的主子行列式全部为正。0na胡尔维茨行列式的构造：主对角线上的各项为特征方程的第二项系数 至最后一项系数 ，在主对角线以下各行中各项系数下标逐次增加，在主对角线以上各行中各项系数下标逐次减小。当下标大于n或小于0时，行列式中的项取0。1na0a0425316

19、4275310000000000aaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnn胡尔维茨行列式：nn1/6/202325胡尔维茨判据以4阶系统为例使用胡尔维茨判据：001223344asasasasa胡尔维茨行列式为：0241302413000000aaaaaaaaaa稳定的充要条件是：014a、0,0214232413231aaaaaaaaa、0,000413024133aaaaaaa1/6/202326胡尔维茨判据的另一种形式系统稳定的充要条件（林纳特-戚伯特Lienard-Chipard定理）：若 或 ，则系统稳定。),0(01niai、,.),5,3,1(02jj、,.)6,

20、4,2(0jj胡尔维茨判据的另一种形式：式中，为胡尔维茨主子行列式。采用这种形式的判据可减少一半的计算工作量。j1/6/202327（三）劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用q 判定控制系统的稳定性例3-4 系统的特征方程为：，判断系统的稳定性。05432234ssss解：排列劳斯阵如下：00500605104253101234sssss因为，且劳斯阵第一列不全为正，所以，系统不稳定。由于劳斯阵第一列有两次符号变化，所以系统在s右半平面有两个极点。)40(,0iai1/6/202328例3-5：系统的特征方程为：试用胡尔维茨定理判稳。014.02.005.0001.0234ssss解：系统的特征方程

21、为：0100040020050234ssss列胡尔维茨行列式如下：10002001004005000100020010040050,0501,02001400502040050010002001040050301,01000434a且所以，系统是稳定的。注意：由于 所以根据Lienard-Chipard定理，只要计算 这样可以减小一半的计算量。,0ia。、即可或42311/6/202329例3-6系统的特征方程为：该系统稳定吗？求出每一个极点并画出极点分布图。04623482422345sssss解：劳斯阵如下0004648223241345sss 行全为零。由前一行系数构成辅助方程得：3s2

22、324)(46482)(2424sssQsssQ或其导数为：将4，48或1，12代替 行，可继续排列劳斯阵如下：sssQ484)(33s002300100231201212324223241012345ssssss 劳斯阵第一列系数全为正，所以系统稳定因为 行全为零，所以特征方程可能有特殊的根。求解如下：)50(,0iai1,230)1)(23(,0)(4,32,122jsjssssQ，有令3s1/6/202330设剩余的一个根为-p。则：，整理得：0)2324)(24ssps0232324242345pspsspss比较系数得：-p=-2极点分布如下：23j23j1 j1 j2注意：劳斯判据

23、实际上只能判断代数方程的根是在s平面左半闭平面还是在右半开平面。对于虚轴上的根要用辅助方程求出。若代数方程有对称于虚轴的实根或共轭复根，则一定在劳斯表的第一列有变号，并可由辅助方程求出。1/6/202331q 分析系统参数变化对稳定性的影响 利用劳斯和胡尔维茨稳定性判据还可以讨论个别参数对稳定性的影响，从而求得这些参数的取值范围。若讨论的参数为开环放大系数K，则使系统稳定的最大K称为临界放大系数 。pK例3-7已知系统的结构图，试确定系统的临界放大系数。)2)(1(sssk解：闭环传递函数为：ksssksssksssks23)2)(1(1)2)(1()(23特征方程为：02323ksss1/6

24、/202332劳斯阵：kkkssss0363210123要使系统稳定，必须系数皆大于0，0k劳斯阵第一列皆大于0，6006032kkkk有6Kp所以，临界放大系数特征方程为：02323ksss1/6/202333q 确定系统的相对稳定性（稳定裕度）利用劳斯和胡尔维茨稳定性判据确定的是系统稳定或不稳定，即绝对稳定性。在实际系统中，往往需要知道系统离临界稳定有多少裕量，这就是相对稳定性或稳定裕量问题。利用实部最大的特征方程的根 p（若稳定的话，它离虚轴最近）和虚轴的距离 表示系统稳定裕量。若p处于虚轴上，则 ，表示稳定裕量为0。0 作 的垂线，若系统的极点都在该线的左边，则称该系统具有 的稳定裕度

25、。一般说，越大，稳定程度越高。可用 代入特征方程，得以z为变量的新的特征方程，用劳斯-胡尔维茨判据进行判稳。若稳定，则称原系统具有 的稳定裕度。s zs1/6/202334例已知系统的结构图，为使系统特征方程的根都位于s=-1的左边，试确定k值的取值范围。)5)(3(sssk解：闭环特征方程为：现以 s=x-1代入上式，得015823ksss082523kxxx劳斯阵：8051885210123kkkxxxx要使系统稳定，必须系数皆大于0，8k劳斯阵第一列皆大于01888180518有kkkk188 k所以，此时k的取值范围为1/6/202335例系统特征为：，可知它是稳定的。令 则：0685

26、23sss1 zs022,06)1(8)1(5)1(2323zzzzzz即010122110123zzzz1z 行全为零，以它上面的行组成辅助方程，其解为特殊根。对辅助方程求导，用其系数代替 行。辅助方程为：，其系数为1，0。其解为：1z0222z12,1jz ，有一对共轭虚根，所以系统是临界稳定的。系统的稳定裕度恰为1。设另一个根为z=-p，则特征方程为：(z2+1)(z+p)=0。解得：p=2，各极点在s平面的位置如下：sz1 j131 j1/6/202336 讨论相对稳定性除了考虑极点离虚轴远近外，还要考虑共轭极点的振荡情况。对于共轭极点，其实部反映响应的衰减快慢，虚部反映响应的振荡情况

27、。对于极点 ，对应的时域响应为 。所以，越小，衰减越慢，越大，振荡越激烈。如下图示意：dj)sin(tedtddj可用共轭极点对负实轴的张角 来表示系统的相对稳定性。当 时，表示极点在虚轴上，系统为临界稳定。越小，稳定性越高。相对稳定性越好。901/6/202337三、结构不稳定系统 及其改进措施仅仅调节参数无法稳定的系统称为结构不稳定系统。结构不稳定系统及其改进措施0HaU1Q1K3K)1(2TssKsK4H2Q-杠杆和放大器的传递函数执行电机的传递函数进水阀门的传递函数控制对象水箱的传递函数放大器电动机减速器进水阀门电位器连杆浮子实际水位水池出水+-例：如图所示的液位控制系统1/6/202

28、338结构不稳定系统及其改进措施闭环传递函数为：432124321)1()(KKKKTssKKKKs4321KKKKK 令：0)1(2KTss闭环特征方程为：023KsTs展开为：KaaaTa0123,0,1,方程系数：由于 ，不满足系统稳定的必要条件，所以系统是不稳定的。这也可从劳斯表看出。01a劳斯表：KKTKTssss100123 由于无论怎样调节参数K和T都不能使系统稳定，所以是一个结构不稳定的系统。欲使系统稳定，必须改变原系统的结构。1/6/202339结构不稳定系统及其改进措施 由图可看出，造成系统结构不稳定的原因是前向通路中有两个积分环节串联，而传递函数的分子只有增益K。这样，造

29、成系统闭环特征方程缺项，即s一次项系数为零。因此，消除结构不稳定的措施可以有两种，一是改变积分性质；二是引入开环零点，补上特征方程中的缺项。0HaU1Q1K3K)1(2TssKsK4H2Q-1/6/202340结构不稳定系统及其改进措施 改变积分性质：用反馈包围积分环节，破坏其积分性质。0HaU1Q1K3K)1(2TssKsK4H2Q5K0HaU1Q1K3K)1(2TssKsK4H2Q5K积分性质的破坏将改善系统的稳定性，但会使系统的稳态精度下降。1/6/202341结构不稳定系统及其改进措施 引入开环零点0H1Q1s)1(321TssKKKsK4H2Q0H1Q)1(321TssKKKsK4H

30、2Qs 速度反馈 比例+微分1/6/202342结构不稳定系统及其改进措施闭环传递函数为：)1()1()1()(2sKTsssKs闭环特征方程为：023KsKsTsKaKaaTa0123,1,方程系数：劳斯表：KTKKKTssss)(10123引入比例+微分控制后，补上了特征方程中s一次项系数。故只要适当匹配参数，满足上述条件，系统就可稳定。稳定的充分必要条件为：即0ia0,0,0KT0)(TKT 即1/6/202343例：倒立摆系统当忽略转动惯量J时 MluMlgmMdtd)(22MlgmMsMlsUs)(1)()(2MlgmMsMlgmMsMl)()(1此时若输入bau0)(22MlgmMadtdMlbdtd0Mlb当 ，时系统稳定。0)(MlgmMa1/6/202344小结q线性系统稳定的充要条件q劳斯代数稳定性判据（劳斯阵，各种特殊情况下劳斯阵的排列和判稳方法）q胡尔维茨代数稳定性判据q劳斯-胡尔维茨稳定性判据的应用 判稳 系统参数变化对稳定性的影响系统的相对稳定性 结构不稳定系统及其改进措施