4第四节用根轨迹分析系统性能课件.ppt
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- 第四 节用 轨迹 分析 系统 性能 课件
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1、1/6/20231第四节 控制系统的根轨迹分析法1/6/20232 利用根轨迹,可以对闭环系统的性能进行分析和校正v 由给定参数确定闭环系统的零极点的位置;v 分析系统的瞬态和稳态性能;v 根据性能要求确定系统的参数;v 对系统进行校正。1/6/20233一、瞬态性能分析和开环系统参数的确定 利用根轨迹可以清楚的看到开环根轨迹增益或其他开环系统参数变化时,闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。以二阶系统为例:开环传递函数为)2()(2sssGnk闭环传递函数为2222)(nnnsss共轭极点为:nnjs22,11在s平面上的分布如右图:nnj21闭环极点的张角 为:1222cos,)()1(
2、cosnnn所以 称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。1/6/20234 我们知道闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下:%100%100%21ctgee)(33为极点实部nst若闭环极点落在下图中红线包围的区域中,有:3%sctgte和nnj21 的关系如下图和%0306090020406080100%1/6/20235上述结论也可应用于具有主导极点的高阶系统中。如下例:例4-12单位反馈系统的开环传递函数为:若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量 ,试确定开环放大系数。)6)(4()(sssksGgk%18%AB解:首先画出根轨迹如右。根据计算知道:根轨迹与
3、虚轴的交点为 ,这时的临界增益 当 时,闭环系统不稳定。240gpk240gk241/6/20236下面计算超调量和阻尼角的关系。由于:%,100%ctge当 时解得:%18%37.61 这是一个三阶系统,从根轨迹上看出,随着 的增加,主导极点越显著。所以可以用二阶系统的性能指标近似计算。gk在根轨迹图上画两条与实轴夹角为 的直线,与根轨迹交与A、B两点。则A、B两点就是闭环共轭主导极点,这时系统的超调量小于18%。通过求A、B两点的坐标,可以确定这时的根轨迹增益 ,进而求得开环放大系数k。60gk046A123j设A点坐标为:,则:j360 tg(1)相角条件为:3216412011tgtg
4、(2)1/6/20237由(1),(2)式解得:1.2,2.1共轭主导极点为:。1.22.12,1jsnjjmiiksTsksG11)1()1()(开环传递函数以 的形式表示时,k称为开环放大系数。显然 的关系为:,式中 不计为0极点。gkk与jigpzkkjp所以,开环放大系数:824.164776.43k 由于闭环极点之和等于开环极点之和,所以另一个闭环极点为:。该极点是共轭复极点实部的6倍多。6.73s0324320024208223xxkxxxg解得:776.43gk也可令xjxs3代入特征方程jsx1.22.1,2.1实部方程虚部方程0241023gksss1/6/20238例:单位
5、反馈系统的开环传递函数为22)4()1()(ssKsGgk画出根轨迹能否通过选择Kg满足最大超调量%5%的要求?能否通过选择Kg满足调节时间ts2秒的要求?能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp10的要求?解:画根轨迹实轴无根轨迹渐近线 2.5,q=45,135与虚轴交点=2,Kgp=1001/6/202391/6/202310能否通过选择Kg满足最大超调量%5%的要求?当取阻尼角为45的主导极点时,%5%的要求。由根轨迹可见阻尼角为45的线与根轨迹相交,可求得主导极点为s=0.8+0.8j,另一对极点为s=4.2+0.8j相差5.25倍,满足主导极点的要求。能否通过选择Kg满足调节时间ts2秒
6、的要求?能否通过选择Kg满足位置误差系数Kp10的要求?要求ts2秒,即要求3/2,1.5。由根轨迹可知主导极点的实部1,所以不能通过选择Kg满足ts2秒的要求。所以不能通过选择Kg满足Kp10的要求。25.616)(lim0gpkspKsGK1/6/202311问题增加开环零点改变根轨迹,因而改变闭环极点。那么是否改变闭环零点?当两个系统的根轨迹相同并选择相同的闭环极点时,这两个系统的瞬态响应是否一样?1/6/202312二、利用根轨迹求解代数方程的根 例 求如下代数方程的根0204323sss解:为了将此题作为一个根轨迹问题来考虑,应将上式变换成根轨迹方程的形式。因式中无根轨迹增益,变换结
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