12-第1课时-直角三角形的性质与判定-大赛获奖课件.ppt

1、1.2 直角三角形第一章 三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 第1课时 直角三角形的性质与判定 1.复习直角三角形的相关知识，归纳并掌握直角三 角形的性质和判定.2.学习并掌握勾股定理及其逆定理，能够运用其解 决问题.（重点、难点）学习目标直角三角形的两个锐角互余.问题1 直角三角形的定义是什么？问题2 三角形内角和的性质是什么？有一个是直角的三角形叫直角三角形.三角形内角和等于180.这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.导入新课导入新课复习引入问题3 前面我们探究过直角三角形的哪些性质？在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.在直角三角形中，

2、如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30.讲授新课讲授新课直角三角形的性质与判定一问题：直角三角形的两锐角互余，为什么？问题引入根据三角形的内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”.如果一个三角形中有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？如图，在ABC中，A+B=90，那么ABC是直角三角形吗？在ABC中，因为 A+B+C=180，又A+B=90，所以C=90.于是ABC是直角三角形.勾股定理与逆定理二知识回顾勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.即a2+b2=c2.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理.acb勾弦股证明欣赏22111222

3、211222211112222212222111222222()()(2).sa b a baab bababsababcabcssabababcabc，bacbac1美国第二十任总统的证法：cabcabcabcab(a+b)2=c2+，a2+2ab+b2=c2+2ab，a2+b2=c2.大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为 ；(a+b)2c2+2利用正方形面积拼图证明：142ab142abc c2=+(b-a)2，c2=2ab+b2-2ab+a2，c2=a2+b2，a2+b2=c2.大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为 c2 +(b-a)23赵爽弦图14ab214ab2ca ca c

4、b aabbb如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形勾股定理反过来，怎么叙述呢？这个命题是真命题吗？为什么？ABC已知：如图,在ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:ABC是直角三角形分析：构造一个直角三角形与ABC全等，你能自己写出证明过程吗？例1 证明此命题：证明：作RtDEF,使E=90,DE=AC,FE=BC，则DE2+EF2=DF2(勾股定理)AC2+BC2=AB2(已知),DE=AC,FE=BC(作图),AB2=DF2，AB=DF，ABCDFE（SSS）C=E=90,ABC是直角三角形 DFE ABC归纳总结定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三

5、边的平方,那么这个三角形是直角三角形勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方互逆命题与互逆定理三议一议定理:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 下面两个定理的条件和结论有什么样的关系？一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件观察上面三组命题,你发现了什么?1.两直线平行,内错角相等；3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；2.内错角相等,两直线平行；5.一个三角形中相等的边所对的角相等；6.一个三角形中相等的角所对的边相等；说出下列命题的条件和结论：

6、在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.上面每两个命题的条件和结论恰好互换了位置命题“两直线平行，内错角相等”的条件和结论为：条件为：两直线平行；结论为：内错角相等因此它的逆命题为：内错角相等，两直线平行.归纳总结例2 指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.条件：一个三角形是直角三角形.结论：它的两个锐角互余.逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.典例精析(2)等

7、边三角形的每个角都等于60.条件：一个三角形是等边三角形;结论：它的每个角都等于60.逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60，那么这个三角形是等边三角形.（3）全等三角形的对应角相等.条件：两个三角形是全等三角形.结论：它们的对应角相等.逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题但是原命题正确，它的逆命题未必正确 例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题知识归纳知识归纳例3 举例说明下列命题的逆命题是假命题.（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等.逆命

8、题：如果两个角相等，那么这两个角是直角.例如10能被5整除，但它的个位数是0.（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数 能被5整除.逆命题：如果一个整数能被5整除，那么这个整数的个位数字是5.例如60=60，但这两个角不是直角.如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，但逆定理、互逆定理，一定是真命题.注意2：不是所有的定理都有逆定理.知识归纳当堂练习当堂练习1.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，现将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（）A.4

9、cm B.5 cm C.6 cm D.10 cm【解析】RtABC中，AB2=AC2+BC2=100，AB=10cm.BE=AB=5cm.12B 2.在你学过的定理中，有哪些定理的逆命题是真命题？试举出几个例子说明.(1)同旁内角互补，两直线平行.逆命题：两直线平行，同旁内角互补.真(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形.逆命题：如果一个三角形是等腰三角形，那么它有两个角相等.真直角三角形角的性质课堂小结课堂小结边的性质勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形定理1：直角三角形的两个锐角互余；定理2：有两个

10、角互余的三角形是直角三角形.互逆命题与互逆定理互逆命题互逆定理一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理第一个命题的条件是第二个命题的结论；第一个命题的结论是第二个命题的条件.概念概念见学练优本课时练习课后作业课后作业1.3 线段的垂直平分线第一章 三角形的证明导入新课讲授新课当堂练习课堂小结 第1课时 线段的垂直平分线 1.理解线段垂直平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点）学习目标导入新课导入新课问题引入某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于

11、何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC观察：已知点A与点A关于直线l 对称，如果线段AA沿直线l折叠，则点A与点A重合，AD=AD，1=2=90，即直线l 既平分线段AA，又垂直线段AA.lAAD21(A)讲授新课讲授新课线段垂直平分线的性质一 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.知识要点如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，到点A 与点B 的距离之间的数量关系ABlP1P2P3探究

12、发现P1A _P1BP2A _ P2BP3A _ P3B 作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合.从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)B APl活动探究 猜想：点P1，P2，P3，到点A 与点B 的距离分别相等 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？如图，直线lAB，垂足为C，AC=CB，点P 在l 上求证：PA=PB证明：lAB，PCA=PCB又 AC=CB，PC=PC，PCA PCB（SAS）PA=PBPABlC验证结论微课-证明线段垂直平分线的性质 线段

13、垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线的性质定理：总结归纳例1 如图，在ABC中，ABAC20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若DBC的周长为35cm，则BC的长为()A5cmB10cmC15cmD17.5cm典例精析C解析：DBC的周长为BCBDCD35cm，又DE垂直平分AB，ADBD，故BCADCD35cm.ACADDC20cm，BC352015(cm).故选C.方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长练一练：1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A

14、.6 B.5 C.4 D.32.如图所示，在ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .B10cmPABCD图图ABCDE图图定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.逆命题到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗？你能证明吗？线段垂直平分线的判定二想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论（1）当点P在线段AB上时，PA=PB，点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；（2）当点P在线段AB

15、外时，如右图所示.PA=PB，PAB是等腰三角形.过顶点P作PCAB，垂足为点C，底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即 PCAB，且AC=BC.直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.微课-线段垂直平分线的逆命题 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：应用格式：PA=PB，点P 在AB 的垂直平分线上PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.总结归纳例2：已知：如图ABC中，AB=AC，O是ABC内一点，且OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC.证明：AB=AC，A在线段BC的垂直平分线（到一条线

16、段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.同理，点O在线段BC的垂直平分线.直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.你还有其他证明方法吗？利用三角形的全等证明证明：延长AO交BC于点D，ABAC，AOAO，OBOC ，ABOACO（SSS）.BAO=CAO，AB=AC，AOBCOBOC ，ODOD ，RTDBORTDCO（HL）.BDCD.直线AO垂直平分线段BC.试一试：已知：如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA,EDOB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.ABOEDC证明：OE平分AOB,ECOA,EDOB,DE=CE(角平分线上的点到角

17、的两边的距离相等）.OE是CD的垂直平分线.当堂练习当堂练习1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是 （）AAB垂直平分CD；B CD垂直平分AB；CAB与CD互相垂直平分；DCD平分 ACB A2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，这样的点的组合共有种.无数3.下列说法：若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB；若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB；若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB其中正确的有 （填序号）.4.如图，ABC中，AB=AC,AB

18、的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.ABCDE165.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.证明：AC=BC，AD=BD，点C和点D在线段AB的垂直平分线上，CD为线段AB的垂直平分线.又 AB与CD相交于点O，AO=BO.课堂小结课堂小结线段的垂直平分的性质和判定性 质到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 内 容判 定内 容作 用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作 用见垂直平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂直平分线上见学练优本课时练习课后作业课后作业