隐函数的求导方法课件整理 .ppt

1、目录 上页 下页 返回 结束 第九章 一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程02CyxC 0 时,不能确定隐函数2)方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论本节讨论:精品课件目录 上页 下页 返回 结束 23sin25xyxxe4ln(1)xyx精品课件目录 上页 下页 返回 结束(,)0F x y()yy x221xy()yy x221xy21yx2 1yx 或者精品课件目录 上页 下页 返回 结束 1

2、22 yx21xy21xy精品课件目录 上页 下页 返回 结束 xyyx6 33又如)(xyy 但很难显化笛卡尔叶形线精品课件目录 上页 下页 返回 结束 xyyx6 33)(xyy 个单值函数曲线可以局部地确定一轴的点附近在切线不平行于y精品课件目录 上页 下页 返回 结束 xyyx6 33值函数可以确定三个不同的单）程（或者它代表的图形在不同的范围内，此方精品课件目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.1.设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y=f(x),)(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，

3、仅就求导公式推导如下：具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数精品课件目录 上页 下页 返回 结束 0)(,(xfxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则精品课件目录 上页 下页 返回 结束 57230(),dyyyxxyy xdx求57(,)23F x yyyxx6121xFx 452yFydydxxyFF 6412152xy 6412152xy精品课件目录 上页 下页 返回 结束 57230(),dyyyxxyy xdx求57(23)

4、0yyxx465 2 1210y yyx 6412152xyy精品课件目录 上页 下页 返回 结束 57230(),dyyyxxyy xdx求57(23)(0)d yyxxd4652210y dydydxx dx 解出：6412152dyxdxy精品课件目录 上页 下页 返回 结束 若F(x,y)的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFF)(yxFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF)(yxFFxxydd则还可求隐函数的 yxFFxydd精品课件目录 上页 下页 返回 结束 由一个三元方程确定的隐函数由一个三元方程确定的隐函

5、数二元显函数：23sin5x yzx yxyeln()xyzxy精品课件目录 上页 下页 返回 结束 二元隐函数：(,)0F x y z(,)zz x y三元方程二元隐函数：如2222xyzR(,)zz x y可以显化2222xyzR222zRxy222zRxy 精品课件目录 上页 下页 返回 结束 2222Rzyx222yxRz222yxRz精品课件目录 上页 下页 返回 结束),(2yxzzzeyxz函数无法显化，无法写成显精品课件目录 上页 下页 返回 结束 若函数),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数;则方程0),(zyxF在点)

6、,(00yx并有连续偏导数,),(000yxfz 定一个单值连续函数 z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足;0),(000zyxF,0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确精品课件目录 上页 下页 返回 结束 0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得(,)(,)0,zf x yF x y z设是方程所确定的隐函数则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在精品课件目录 上页 下页 返回 结束 2(,),zzzxyezzz x yxy求2(,)zF x y zxyez1xF 2yFy1zzFe zxxzFF11ze z

7、yyzFF21zye 精品课件目录 上页 下页 返回 结束 2(,),zzzxyezzz x yxy求2()zxxxyez10zxxe zz11xzze精品课件目录 上页 下页 返回 结束 2(,),zzzxyezzz x yxy求2()zd xyedz2zdxydye dzdz21zdxydydzezx11ze zy21zye 精品课件目录 上页 下页 返回 结束 22(,),zzxyezzz x yx y 求12,11zzzzyxeye2zx y()zyx1()1yze 2(1)(1)zyzee 2(1)zyze ze 32(1)zzyee 精品课件目录 上页 下页 返回 结束 解解令令则

8、则,4),(222zzyxzyxF ,2xFx,42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 精品课件目录 上页 下页 返回 结束(,)0(,),zzxaz ybzzz x yabxy求(,)dxaz ybz12()()d xazd ybz12()()dxadzdybdz1212()dxdyabdz12121()dzdxdyab112zxab212zyab1zzabxy精品课件目录 上页 下页 返回 结束 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F

9、、G 的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比 精品课件目录 上页 下页 返回 结束,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vuyxP),(,),(vuyxGvuyxF则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数),(,),(yxvvyxuu且有偏导数公式:在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:,0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数；,),(000yxuu),(000yxvv 精品课

10、件目录 上页 下页 返回 结束 vuvuGGFFvuGFJ),(),(定理证明略.仅推导偏导数公式如下：),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1(P85)xxGFyyGFxxGFyyGF精品课件目录 上页 下页 返回 结束 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu,

11、0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0解的公式 故得系数行列式xuvuvuGGFFvxvxGGFF精品课件目录 上页 下页 返回 结束 xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv精品课件目录 上页 下页 返回 结束,1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习:求yvyu,u

12、xvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设故有精品课件目录 上页 下页 返回 结束,1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu求解解法法2（微分法）（微分法）方程组两边同时微分方程组两边同时微分0udxxduvdyydv0udyyduvdxxdvdvudxvduxdyydvvdxuduydxy用用Gramer法则法则yxxyydudxvdyvxudxudy22()()udxvdyvdxudxyxyy2222xuyvxvyudxdyxyxy 精品课件目录 上页 下页 返回 结束 2222xuyvxvyudxdyxduyxy 22xuyvuxyx 22uxvyuyxy显然，利用全微

13、分法求偏导数更简便显然，利用全微分法求偏导数更简便精品课件目录 上页 下页 返回 结束 在点(u,v)的某一),(,),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1)证明函数组),(),(vuyyvuxx(x,y)的某一邻域内.),(,),(yxvvyxuu2)求),(,),(yxvvyxuu解解:1)令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG对 x,y 的偏导数.在与点(u,v)对应的点邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有连续偏导数的反函数精品课件目录 上页 下页 返回 结束 0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG),(),(

14、),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式两边对 x 求导,得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy则有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理 3 可知结论 1)成立.2)求反函数的偏导数.精品课件目录 上页 下页 返回 结束 uy0 xvxu1xuxvuxvxvy,0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得,1vxJyuuxJyv1精品课件目录 上页 下页 返回 结束 xuxvsin,cosryrx的反变换的导数.),(),(ryxJxrx同样有22yxyyr22yxxy所以由于vyJ 1uyJ 1cos

15、1rrsin1rcossinsincosrrryJ1cos22yxxryJ 122yxyrruv精品课件目录 上页 下页 返回 结束 1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.思考与练习思考与练习设,),(zyxzyxfz求.,yxzxxz精品课件目录 上页 下页 返回 结束 zx ),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf精品课件目录

16、上页 下页 返回 结束),(zyxzyxfz,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx第六节 由d y,d z 的系数即可得作业作业 P89 2,8，9,10(1);(3)精品课件目录 上页 下页 返回 结束)()(xzzxyy及,2e yxyx.ddxu求分别由下列两式确定:又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数,1.设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得1ddfxuuzyxx x0)()(eyxyyxyyxxezxzx)sin()1(z,xyy)sin()(e1zxzxzx,dsine0tttzx

17、x(考研)解得因此2fxy3)sin()(e1fzxzxx精品课件目录 上页 下页 返回 结束 zxFyFy0zFz fx)1(y)(,)(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数,求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得ffxfzyfx xzyFzFyF)0(zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(考研)精品课件目录 上页 下页 返回 结束 0),(),(zyxFyxfxz对各方程两边分别求微分:化简得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321

18、zFyFxFxfxfd)(xF d1可得精品课件目录 上页 下页 返回 结束 222111cybxacybxa解解:22111babax 2211bcbc2211caca22111babay 精品课件目录 上页 下页 返回 结束 德国数学家.他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独地奠定了椭圆函数论的基础.他对行列式理论也作了奠基性的工作.在偏微分方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积 分中.他的工作还包括代数学,变分法,复变函数和微 分方程,在分析力学,动力学及数学物理方面也有贡献.他在柯尼斯堡大学任教18年,形成了以他为首的学派.精品课件目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P89 2;8;9;精品课件