线性代数4 习题课课件.ppt

1、.,.,21个个分分量量称称为为第第个个数数第第个个数数称称为为该该向向量量的的分分量量这这维维向向量量数数组组称称为为所所组组成成的的个个有有次次序序的的数数iainnaaanin分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量定义定义 aaaann21,即即称称为为列列向向量量维维向向量量写写成成列列的的形形式式 aaaannT,21 即即称称为为行行向向量量维维向向量量写写成成行行的的形形式式向量的相等向量的相等),2,1(),(),(2121nibababbbbaaaaiiTTnTnT 则则设设零向量零向量分量全为分量全为

2、0 0的向量称为零向量的向量称为零向量),2,1(0niaOaiT ),2,1(,0niaOaiT 中中至至少少有有一一个个不不为为负向量负向量).,(,),(2121aaaaaaaaanTTnT 且且的负向量记作的负向量记作向量向量向量加法向量加法),(:),(),(22112121babababababbbbaaaannTTTTnTnT 的加法为的加法为与与向量向量定义定义设设),(2211babababannTT 向量减法定义为向量减法定义为数乘向量数乘向量),(,21akakakakaknTT 定定义义为为简简称称数数乘乘向向量量称称为为向向量量的的数数量量乘乘法法的的乘乘积积与与向向

3、量量数数向量加法和数乘向量运算称为向量的向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运线性运算算，满足下列八条运算规则：，满足下列八条运算规则：;)1(加法交换律加法交换律);()()2(加法结合律加法结合律;,)3(O有有对任一个向量对任一个向量;)(,)4(O 有有存在负向量存在负向量对任一个向量对任一个向量;1)5(;)()()6(kllk 数乘结合律数乘结合律;)()7(kkk 数乘分配律数乘分配律.)()8(lklk 数乘分配律数乘分配律.,1,为零向量为零向量为数为数维向量维向量为为其中其中Olkn 除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：);,0(

4、,0 )1(为任意数为任意数为数零为数零其中其中kOkOO ;,0,)2(OkOk 或者或者则或者则或者若若.)3(xx有唯一解有唯一解向量方程向量方程若干个同维数的列（行）向量所组成的集合若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组叫做向量组定义定义.,:2122112121这这个个线线性性组组合合的的系系数数称称为为的的一一个个线线性性组组合合称称为为向向量量组组向向量量实实数数对对于于任任何何一一组组给给定定向向量量组组kkkAakakakkkkaaaAmmmmm 定义定义.,:22112121线线性性表表示示由由向向量量组组能能这这时时称称向向量量的的线线性性组组合合是是向向量量组

5、组则则向向量量使使存存在在一一组组实实数数如如果果和和向向量量给给定定向向量量组组AbAbakakakbkkkbaaaAmmmm 定理定理.),(),(2121的的秩秩的的秩秩等等于于矩矩阵阵件件是是矩矩阵阵线线性性表表示示的的充充分分必必要要条条能能由由向向量量组组向向量量baaaBaaaAAbmm 定义定义.,.,:,:2121两两个个向向量量组组等等价价则则称称这这能能相相互互线线性性表表示示与与向向量量组组若若向向量量组组线线性性表表示示能能由由向向量量组组则则称称向向量量组组线线性性表表示示向向量量组组组组中中的的每每个个向向量量都都能能由由若若及及设设有有两两个个向向量量组组BAA

6、BABbbbBaaaAsm定义定义.,0,:22112121否否则则称称它它线线性性无无关关是是线线性性相相关关的的则则称称向向量量组组使使为为零零的的数数如如果果存存在在不不全全给给定定向向量量组组AakakakkkkaaaAmmmm 定理定理.)(;),(,2121mARmaaaAaaamm 是是必必要要条条件件向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分于于向向量量个个数数的的秩秩小小条条件件是是它它所所构构成成的的矩矩阵阵线线性性相相关关的的充充分分必必要要向向量量组组定理定理.,.,:,:)1(12121也也线线性性无无关关则则向向量量组组线线性性无无关关向向量量组组若若反反言言之之也也

7、线线性性相相关关量量组组则则向向线线性性相相关关若若向向量量组组ABaaaaBaaaAmmm 若若向向量量量量添添上上一一个个分分量量后后得得到到向向即即向向量量设设.),2,1(,)2(,111bamjaaabaaajjjrrjjjrjjj .,.,:,:2121也也线线性性相相关关则则向向量量组组线线性性相相关关若若向向量量组组反反言言之之也也线线性性无无关关则则向向量量组组线线性性无无关关组组ABbbbBaaaAmm.,)3(时时一一定定线线性性相相关关向向量量个个数数小小于于当当维维数数维维向向量量组组成成的的向向量量组组个个mnnm.,:,:)4(2121且且表表示示式式是是唯唯一一

8、的的线线性性表表示示能能由由向向量量组组必必则则向向量量线线性性相相关关向向量量组组而而线线性性无无关关设设向向量量组组AbbaaaBaaaAmm定义定义满满足足个个向向量量中中能能选选出出如如果果在在设设有有向向量量组组,21aaarAAr;,:)1(210线线性性无无关关向向量量组组aaaAr,)1(1)2(都都线线性性相相关关个个向向量量的的话话中中有有如如果果个个向向量量中中任任意意向向量量组组 rArA.);(0的秩的秩称为向量组称为向量组量个数量个数最大无关组所含向最大无关组所含向简称最大无关组简称最大无关组无关向量组无关向量组的一个最大线性的一个最大线性是向量组是向量组那么称向量

9、组那么称向量组ArAA等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等定理定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩它的行向量组的秩定理定理设向量组设向量组B B能由向量组能由向量组A A线性表示，则向量线性表示，则向量组组B B的秩不大于向量组的秩不大于向量组A A的秩的秩推论推论推论推论).()(),()(,BRCRARCRBACnssmnm 则则设设推论推论（最大无关组的等价定义）（最大无关组的等价定义）设向量组是向量组的部分组，若向量组设向量组是向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，线性无关，且向量组能由向量组线性表示

10、，则向量组是向量组的一个最大无关组则向量组是向量组的一个最大无关组BABABBA.,;,:,VaRVaVbaVbVaV 则则若若则则若若数数乘乘两两种种运运算算中中可可以以进进行行加加法法及及是是指指在在集集合合所所谓谓封封闭闭定义定义设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，且非空，且集合集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集合合 为向量空间为向量空间VVVVn.,2,1,121 miRaxVaaaimiiim 空空间间为为所所生生成成的的向向量量由由向向量量组组一一般般地地定义定义.,212121的的子子空空间间是是就就称称

11、若若及及设设有有向向量量空空间间VVVVVV.子空间子空间的的都是都是间间维向量所组成的向量空维向量所组成的向量空任何由任何由RVnn定义定义.,)2(;,)1(,1212121维维向向量量空空间间为为并并称称的的维维数数称称为为向向量量空空间间的的一一个个基基就就称称为为向向量量空空间间向向量量组组那那么么线线性性表表示示中中任任一一向向量量都都可可由由线线性性无无关关且且满满足足个个向向量量如如果果为为向向量量空空间间设设rVVrVaaaaaVaaaVaaarVrrrr.0.0,OV量量空空间间只只含含一一个个零零向向量量维维向向的的维维数数为为那那么么若若向向量量空空间间没没有有基基.,

12、的的秩秩的的维维数数就就是是向向量量组组组组向向量量组组的的最最大大线线性性无无关关的的基基就就是是则则看看作作向向量量组组若若把把向向量量空空间间VVV向向量量空空间间的的构构造造.,2,1,121 riRaxVVVaaairiiir 可可表表示示为为则则的的一一个个基基是是向向量量空空间间若若向向量量组组的系数矩阵和未知量为的系数矩阵和未知量为记齐次线性方程组记齐次线性方程组)1(,0,0,0221122221211212111 xaxaxaxaxaxaxaxaxanmnmmnnnn向量方程向量方程)2(.)1(,21212222111211OAxxxxxaaaaaaaaaAnmnmmnn

13、 式可写成向量方程式可写成向量方程则则解向量解向量.)2(,)1(,)1(,1211111212111的的解解它它也也就就是是向向量量方方程程的的解解向向量量称称为为方方程程组组则则的的解解为为若若 nnnxxxx解向量的性质解向量的性质性质性质性质性质.)2(,)2(,2121的解的解是是也也则则的解的解为为若若 xxx.)2(,)2(11的解的解也是也是则则为实数为实数的解的解为为若若 kxkx 定义定义.)1(,)1(间间的的解解空空称称为为齐齐次次线线性性方方程程组组是是一一个个向向量量空空间间所所以以集集合合对对向向量量的的线线性性运运算算封封闭闭则则集集合合合合集集的的全全体体解解

14、向向量量所所组组成成的的为为方方程程组组设设SSS定理定理.,)(,rnSrARSOxAnnmnm 的维数为的维数为解空间解空间时时当系数矩阵的秩当系数矩阵的秩是一个向量空间是一个向量空间构成的集合构成的集合的全体解所的全体解所元齐次线性方程组元齐次线性方程组定义定义.)1(的的基基础础解解系系的的基基称称为为方方程程组组解解空空间间S)4()3(,22112222212111212111bAxbxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn 可写为向量方程可写为向量方程非齐次线性方程组非齐次线性方程组向量方程向量方程解向量的性质解向量的性质性质性质性质性质.)5(,)4(,21

15、21的的解解组组为为对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程则则的的解解为为若若OAxxxx .)4(,)5(,)4(的的解解也也是是方方程程则则解解的的是是方方程程的的解解是是方方程程若若 xxx解向量解向量向量方程向量方程 的解就是方程组的解就是方程组 的解向量的解向量)4()3(（）求齐次线性方程组的基础解系（）求齐次线性方程组的基础解系:,)(21可可按按下下面面步步骤骤进进行行不不妨妨设设为为个个解解向向量量解解系系含含线线性性无无关关的的那那么么方方程程组组的的一一个个基基础础程程组组中中未未知知数数的的个个数数为为而而方方的的秩秩若若齐齐次次线线性性方方程程组组 rnrnnrAROA

16、x 第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵变成行最简形矩阵;0000000000100010001,1,21,2,11,1 ccccccnrrrnrnrA即即个个分分量量的的第第于于是是得得号号个个分分量量反反列列前前将将第第第第二二步步,2,1,2,1:21rrnrrrn ;,2,11,2,22,121,1,21,11 cccccccccnrnnrnrrrrrrrr 第三步：将其余第三步：将其余 个分量依次组成个分量依次组成 阶阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系.100,010,00

17、1,2,12,2,22,121,1,21,11 cccccccccnrnnrnrrrrrrrr rn rn（）求非齐次线性方程组的特解（）求非齐次线性方程组的特解.,)()(矩矩阵阵使使其其成成为为行行最最简简形形进进行行初初等等行行变变换换增增广广矩矩阵阵那那么么对对数数为为而而方方程程组组中中未未知知数数的的个个的的秩秩若若非非齐齐次次线线性性方方程程组组BnrBRARbAx ,000000000000100010001,1,2,21,21,11,1 dccdccdccrnrrrnrnr将上述矩阵中最后一列的前将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为个分量依次作为特解的第特解的第 个分量，

18、其余个分量，其余 个分量全部取个分量全部取零，于是得零，于是得rrn r,2,1,0021 dddr 即为所求非齐次线性方程组的一个特解即为所求非齐次线性方程组的一个特解一、向量组线性关系的判定一、向量组线性关系的判定二、求向量组的秩二、求向量组的秩三、向量空间的判定三、向量空间的判定四、基础解系的证法四、基础解系的证法五、解向量的证法五、解向量的证法?,:,21221121其线性组和为零向量其线性组和为零向量也使得也使得的数的数是否存在一组不全为零是否存在一组不全为零一个自然的问题是一个自然的问题是那么那么零向量零向量一个特殊向量一个特殊向量其结果为向量空间中的其结果为向量空间中的时时线性组

19、合线性组合的结合物的结合物量空间中两种基本运算量空间中两种基本运算当我们考虑到向当我们考虑到向而言的而言的定的向量组定的向量组概念都是针对一个特概念都是针对一个特线性相关与线性无关的线性相关与线性无关的kkkkkkmmmm .0 ,0 ,;,;,.:221121 mmmkkkkkk才才有有时时当当指指的的是是当当且且仅仅所所谓谓不不存存在在该该向向量量组组线线性性无无关关则则称称若若不不存存在在则则称称该该向向量量组组线线性性相相关关若若存存在在关关与与线线性性无无关关的的概概念念然然而而然然地地提提出出了了线线性性相相也也就就自自这这样样存存在在或或不不存存在在答答案案只只有有两两种种.,:

20、,?),(,们们往往往往采采用用反反证证法法我我时时在在论论证证某某些些相相关关性性问问题题据据此此立立的的概概念念一一对对排排中中对对线线性性相相关关与与线线性性无无关关是是应应注注意意到到还还此此外外可可由由其其余余向向量量线线性性表表出出意意一一个个向向量量不不是是任任即即看看其其中中有有无无某某个个向向量量的的概概念念来来体体现现可可以以通通过过线线性性表表出出线线性性相相关关与与线线性性无无关关还还研究这类问题一般有两个方法研究这类问题一般有两个方法方法方法1 1从定义出发从定义出发 000,0212222121121112211aaakaaakaaakkkkmnmmmnnmm 令令

21、整理得线性方程组整理得线性方程组)(,0,0,0221122221121221111 kakakakakakakakakammnnnmmmm.,)(.,)(2121线线性性相相关关则则有有非非零零解解若若线线性性方方程程组组线线性性无无关关则则只只有有唯唯一一零零解解若若线线性性方方程程组组 mm 方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定系判定.,)(,)().(),(,21212121线线性性相相关关则则若若线线性性无无关关则则若若首首先先求求出出相相应应的的矩矩阵阵就就得得到到一一个个维维向向量量给给出出一一组组 mmmmmARmARARAn 例例研究下列

22、向量组的线性相关性研究下列向量组的线性相关性.201,520,321321 解一解一 000201520321,0321332211kkkkkk即即令令 整理得到整理得到)(.0253,022,03212131 kkkkkkk.,)(,0253022101)(321线线性性相相关关从从而而必必有有非非零零解解线线性性方方程程组组的的系系数数行行列列式式线线性性方方程程组组 解二解二,201,520,321321 ,253022101),(321 A矩阵矩阵 000220101253022101初等行变换初等行变换A.,32)(321线线性性相相关关故故向向量量组组 AR.)2(,:,22112

23、121线线性性相相关关都都有有使使对对任任何何向向量量为为零零的的数数存存在在不不全全证证明明线线性性相相关关设设 rttttttrrrr 例例2 2分析分析考考察察向向量量方方程程我我们们从从定定义义出出发发,0)(22112211 tktktkkkkrrrr即即向向量量方方程程0)()()(222111 tktktkrrr.,21因因此此可可得得如如下下证证明明恒恒有有非非零零解解每每个个而而使使得得对对数数是是否否有有某某组组不不全全为为零零的的 kkkr证明证明0,22112121 rrrrkkkkkk使使为为零零的的数数所所以以存存在在不不全全线线性性相相关关因因为为02211 xk

24、xkxkrr考考虑虑线线性性方方程程都都有有则则对对任任意意向向量量零零解解为为任任一一非非设设它它必必有有非非零零解解因因为为,),(,221 tttrr 0)(22112211 tktktkkkkrrrr0)()()(222111 tktktkrrr即即.,:,221121线线性性相相关关不不全全为为零零得得知知由由 tttkkkrrr .,:,2121一个最大线性无关组一个最大线性无关组成它的成它的个线性无关的向量均构个线性无关的向量均构中任意中任意证明证明的秩是的秩是已知向量组已知向量组rrss 例3例3证明向量组的一个部分组构成最大线性无证明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本

25、方法就是：关组的基本方法就是：分析分析根据最大线性无关组的定义来证，它往往还根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系与向量组的秩相联系证明证明.,),2,1(,212121rskrkiiiksiiirr否否则则这这向向量量组组的的秩秩大大于于相相关关线线性性向向量量组组的的于于是是对对于于任任意意个个线线性性无无关关的的向向量量中中的的任任意意是是设设不不失失一一般般性性 .,2121线线性性表表出出以以由由可可所所以以线线性性无无关关又又向向量量组组 iiikiiirr.,2121的的一一个个最最大大线线性性无无关关组组是是这这就就证证明明了了由由定定义义 siiir求一个向

26、量组的秩，可以把它转化为矩阵的求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的所排成的如果向量组的向量以列（行）向量的形式给如果向量组的向量以列（行）向量的形式给出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，而且可以求出最大线性无关组而且可以求出最大线性无关组若矩阵若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵经过初等行（列）变换化为矩阵 ，则则 和和 中任何对应的列（行）向量组都有相同的中任何对应

27、的列（行）向量组都有相同的线性相关性线性相关性ABAB.)1,4,6,2(),1,2,3,1(),1,1,1,0(),1,1,2,1(),0,0,1,1(54321的秩的秩求向量组求向量组 TTTTT例4例4解解 为阶梯形为阶梯形化化行变换行变换作初等作初等对对作矩阵作矩阵AAA,54321 1111042110631212101154321 A 1111042110421102101112rr 530000000042110210112423)1(rrrr 0000053000421102101134rr .54321U 记作记作,3)(ARA的的列列秩秩.3,54321的的秩秩为为故故向向

28、量量组组 00000530004211021011 )(54321 U,421无无关关组组线线性性的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大是是又又U .,421线线性性无无关关组组的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大也也是是所所以以A 判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合是否对于加法和数乘两种运算封闭若封闭，则构是否对于加法和数乘两种运算封闭若封闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空间成向量空间；否则，不构成向量空间.)1,0,0(3向向量量空空间间所所组组成成的的集集合合是是否否构构成成不不平平行行的的全全体体向向量量中中与与向向量量判判断断R

29、例例5 5解解.)1,0,0(3间间成成的的集集合合不不构构成成向向量量空空不不平平行行的的全全体体向向量量所所组组中中与与向向量量R),0)(1,0(),0,0(21 kkk 对对向向量量),1,0,0(,21均均不不平平行行于于 ).1,0,0(21 .)1,0,0(3封封闭闭所所组组成成的的集集合合对对加加法法不不不不平平行行的的全全体体向向量量中中与与向向量量因因此此R但但.向向量量空空间间故故所所给给向向量量集集合合不不构构成成例例证明与基础解系等价的线性无关的向量组证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系也是基础解系分析分析(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示方程组的

30、任一解均可由该向量组线性表示(1)该组向量都是方程组的解；该组向量都是方程组的解；(2)该组向量线性无关；该组向量线性无关；要证明某一向量组是方程组的基础解要证明某一向量组是方程组的基础解系，需要证明三个结论系，需要证明三个结论:0 AX证明证明.,0,212121ntaaaAXtnt 即即向向量量个个数数相相等等所所以以这这两两个个向向量量组组所所含含数数是是相相同同的的向向量量组组所所含含向向量量个个因因为为等等价价的的线线性性无无关关的的向向量量组组等等价价的的线线性性无无关关的的是是与与系系的的一一个个基基础础解解是是方方程程组组设设 .0 ,),2,1(,2121的的解解都都是是故故

31、合合仍仍然然是是原原方方程程组组的的解解而而解解的的线线性性组组的的线线性性组组合合可可以以表表示示成成知知由由向向量量组组的的等等价价关关系系易易 AXaaatiatti .,21线线性性无无关关由由题题设设知知aaat.,021212121线线性性表表示示也也可可由由故故线线性性表表示示均均可可由由由由向向量量组组的的等等价价性性线线性性表表示示可可由由则则的的任任一一解解为为方方程程组组设设aaaaaaAXtttt .0,21的的一一个个基基础础解解系系也也是是方方程程组组故故由由定定义义知知 AXaaat注注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取当线性方程组有非零解时，基础解系的取法不

32、唯一，且不同的基础解系之间是等价的法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的.1,1,)3(.1,)2(;,)1(:.,111而且组合系数之和为而且组合系数之和为个解的线性组合个解的线性组合都可以表示为这都可以表示为这的任一解的任一解方程组方程组个线性无关的解个线性无关的解的的是方程组是方程组线性无关线性无关证明证明解系解系是其导出组的一个基础是其导出组的一个基础的一个解的一个解是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组设设 rnXBAXrnBAXBAXrnrnrn 例7例7.0)(,0)1(0110 kkkkrnrn其中必有其中必有令令 证明证明.0,0,0,0210101 kBAXAXAXkkkkr

33、nrnrn所以所以矛盾矛盾的解的解齐次方程组齐次方程组是非是非而等式左边而等式左边的解的解必是必是其线性组合其线性组合故等式右边为故等式右边为的解的解是齐次方程组是齐次方程组由于由于有有否则否则 ,0,)(022110 rnrnkkkk则有则有式式代入代入将将.,0,0,21212121线性无关线性无关于是于是故有故有线性无关线性无关所以所以的基础解系的基础解系是是因为因为 rnrnrnrnkkkAX .,),2,1()2(再证它们线性无关再证它们线性无关的解的解都是都是知知由线性方程组解的性质由线性方程组解的性质BAXrnii 所以所以线性无关线性无关的证明知的证明知由由则则令令,)1(,0

34、)(,0)()(211110110 rnrnrnrnrnrnkkkkkkkk ,0,0,0,021210kkkkkkkrnrn.,0,21210线性无关线性无关故故得得解之解之 rnrnkkkk 可表为可表为则则的任一解的任一解为方程组为方程组设设XBAXX,)3(rnrntttX 2211)()(11 rnrntt)()()1(111 rnrnrntttt ,1,11001 ttttttrnrn则则令令都都可可以以表表示示为为的的任任一一解解故故XBAX .1),()(10110 ttttttXrnrnrn且且 注意注意(1)本例是对非齐次线性方程组的解本例是对非齐次线性方程组的解的结构作进

35、一步的分析和讨论，即非齐次线性方的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方程组一定存在着个线性无关的解，题中程组一定存在着个线性无关的解，题中(2)的证明表明了它的存在性的证明表明了它的存在性BAX 1 rn(3)对非齐次线性方程组，有时也把对非齐次线性方程组，有时也把如题中所给的个解称为的基础如题中所给的个解称为的基础解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为系数之和为1时，才是方程组的解时，才是方程组的解BAX BAX 1 rn(2)对齐次线性方程组，当时，对齐次线性方程组，当时，有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性有无穷多组解，其

36、中任一解可由其基础解系线性表示表示nrAR )(第四章测试题第四章测试题一、填空题一、填空题(每小题每小题5 5分，共分，共4040分分).,1,2,0,1,1,0,10,3,2,4,5,0,1,2.14321线性相关线性相关时时则则设设 kk .,0,3,1,4,3,5,0,2,0,2,1,0,3,1,2.24321线性无关线性无关时时则则设设 tt 则则该该向向量量组组的的秩秩是是已已知知向向量量组组,7,6,5,4,6,5,4,3,5,4,3,2,4,3,2,1.34321 则向量个数则向量个数线性表出线性表出均可由向量组均可由向量组维单位向量组维单位向量组,.42121snn ARA则

37、秩则秩已知已知1101001100001100001100101.5 ARA则秩则秩设设,3,2,1,321.7 的的一一个个极极大大无无关关组组是是向向量量组组7,6,5,46,5,4,3,5,4,3,2,4,3,2,1.84321 二、计算题二、计算题 .,4,5,2,3,3,4,1,2,2,1,8,5,0432.1321321 求求其中其中已知已知 则则该该方方程程的的系系数数矩矩阵阵为为础础解解系系为为其其基基以以方方程程组组,1,1,0,2,0,10.621 AX(每小题每小题8 8分，共分，共2424分分)?,321线线性性无无关关线线性性相相关关向向量量组组为为何何值值时时试试求

38、求出出 t .1,2,1,0,2,1,1,2,1,11,1,0,00,1,1,0,0,0,1,1,.3321321等价等价与向量组与向量组使向量组使向量组和和求实数求实数 baba 1,1,1,0,2,1,2,.2321 tt已已知知向向量量组组三、证明题三、证明题(每小题每小题8 8分，共分，共2424分分).0)det(,.1 ABnmmnBnmA试证明试证明且且矩阵矩阵为为矩阵矩阵为为设设 证明证明且秩且秩矩阵矩阵是是矩阵矩阵为为设设,.2snnBRsnBnnA .,2;0,01EABABAAB 则则若若则则若若 .4,:,4,3,;,;,.34532153214321321秩为秩为的的向量组向量组试证明试证明为为如果各向量组的秩分别如果各向量组的秩分别已知向量组已知向量组 IIIRIIRIRIIIIII四、向量组四、向量组 线性无关线性无关,问常数问常数 满足满足什么条件时什么条件时,向量组向量组线性无关线性无关321,ml,133221,ml(12(12分分).,.8 ;1 .7 ;112 .6 ;5 .5 ;.4 ;2 .3 ;.2 ;153 .1 21 sn任任意意实实数数一一、;22,1,0 .1 二、二、.,3,2 ;,3,2 .2321321线性相关线性相关时时当当线性无关线性无关时时当当 tt.0 .3 ba测试题答案测试题答案.1 lm四、四、