特征值和特征向量、矩阵的相似对角化课件.ppt
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- 关 键 词:
- 特征值 特征向量 矩阵 相似 角化 课件
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1、为阶方阵,为阶方阵,为数,为数,为维非零向量,为维非零向量,A 若若则则称为称为的的特征值特征值,称为称为的的特征向量特征向量()()并不一定唯一;并不一定唯一;,阶方阵阶方阵的特征值,就是使齐次线性方程组的特征值,就是使齐次线性方程组特征向量特征向量 ,特征值问题只针对方阵;,特征值问题只针对方阵;0 0EA x 有非零解的有非零解的值,即满足值,即满足的的都是都是方阵方阵的特征值的特征值0EA 一个特征向量只能属于一个特征值;一个特征向量只能属于一个特征值;一个特征值有无穷个特征向量;一个特征值有无穷个特征向量;若若),1(riAii ,则,则)()(1111rrrrkkkkA 定义定义
2、设设n n阶方阵阶方阵,nnijaA 则则nnnnnnaaaaaaaaaAEf 212222111211)(称为方阵称为方阵A A的的特征多项式特征多项式.0EA 称以称以为未知数的一元次方程为未知数的一元次方程为为的的特征方程特征方程,0)(XAE 称为称为特征方程组特征方程组.注:注:n n阶方阵阶方阵A A的特征多项式为的特征多项式为 的的n n次多项式,次多项式,n n阶方阵阶方阵A A在复数范围内有在复数范围内有n n个特征值个特征值.例例1 1求矩阵求矩阵 5412A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.求求n n阶方阵阶方阵A A的特征值与特征向量的步骤:的特征值与特征向量的步骤
3、:1.计算特征多项式计算特征多项式AE 2.2.求出特征方程求出特征方程0 AE 的根的根n ,21即为即为A A的特征值的特征值3.3.求方程组求方程组0)(XAEi 的基础解系即为的基础解系即为A A的属于的属于特征值特征值 的线性无关特征向量,基础解系的线性组合的线性无关特征向量,基础解系的线性组合即为全部特征向量即为全部特征向量.i 例例2 2 求矩阵求矩阵 201011043A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.例例3 3 求矩阵求矩阵 312222211A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.注:比较例注:比较例2 2和例和例3 3的结果可得如下结论:的结果可得如下结论:属于某一
4、特征值的线性无关的特征向量可能不止一个属于某一特征值的线性无关的特征向量可能不止一个.121122(2);nnnaaa12(1);nA 设阶方阵的特征值为设阶方阵的特征值为 ijAa 12,n 则则当是当是的特征值时,的特征值时,的特征多项的特征多项12,n 式可分解为式可分解为 fEA 12n 112121nnnnn 令令0,得得A 121nn 即即12.nA 定理定理 一个一个n n阶方阵与其转置矩阵有相同的特征值阶方阵与其转置矩阵有相同的特征值.因为行列式因为行列式它的展开式中,主对角线上元素的乘积它的展开式中,主对角线上元素的乘积 1122nnaaaEA 是其中的一项,由行列式的定义,
5、展开式中的其它项至是其中的一项,由行列式的定义,展开式中的其它项至多含个主对角线上的元素,多含个主对角线上的元素,含的项只能在主对角线上元素的乘积项中含的项只能在主对角线上元素的乘积项中1nn 与与 11122nnnnEAaaa 故有故有比较比较,有,有121122.nnnaaa111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 因此,特征多项式中因此,特征多项式中方阵方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的主对角线上的元素之和称为方阵的的迹迹.记为记为 .iiitr Aa 阶方阵阶方阵可逆可逆的个特征值全不为零的个特征值全不为零.若数若数为可逆阵的为可逆阵的的特征值,则的特征值,则则则 为为
6、 的特征值的特征值1 1A 则则 为为 的特征值的特征值k kA则则 为为 的特征值的特征值1A A 则则 为为 的特征值的特征值m mA单位阵单位阵的一个的一个特征值为特征值为定理定理、若、若为可逆阵为可逆阵的特征值,则的特征值,则1213A 的一个特征值为()的一个特征值为()、证阶方阵、证阶方阵的满足,则的满足,则的特征值为的特征值为2AA 或或、三阶方阵、三阶方阵的三个特征值为、,则的三个特征值为、,则211020413A ()()311751662B 223EA、求下列方阵的特征值与特征向量、求下列方阵的特征值与特征向量互不相等的特征值所对应的特征向量线性无关。互不相等的特征值所对应
7、的特征向量线性无关。互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征互不相等的特征值对应的各自线性无关的特征向量并在一块,所得的向量组仍然向量并在一块,所得的向量组仍然线性无关。线性无关。一、定义一、定义定义定义设设、都是阶矩阵,若有可逆矩阵都是阶矩阵,若有可逆矩阵,使得使得1,PAPB 则称则称是是的的相似矩阵相似矩阵,或者说矩阵,或者说矩阵与与相似相似称为对称为对进行进行相似变换相似变换,1,PAP 对对进行运算进行运算可逆矩阵可逆矩阵称为把称为把变成变成的的相似变换矩阵相似变换矩阵记作:记作:二、性质二、性质(1 1)反身性:反身性:(2 2)对称性:对称性:(3 3)传递性:传递性:;,则,则
8、;,则,则;R AR B=AB 定理定理4.64.6 若阶矩阵若阶矩阵与与相似,则相似,则推论推论若阶矩阵若阶矩阵与对角矩阵与对角矩阵1212(,)nndiag 相似,相似,12,n 就是就是的个特征值的个特征值则则(1)(2)与与有相同的特征多项式和特征值有相同的特征多项式和特征值(3))()(BtrAtr(4)若能寻得相似变换矩阵若能寻得相似变换矩阵使使1PAP 对阶方阵对阶方阵,称之为称之为把方阵把方阵对角化对角化三、可相似对角化的条件三、可相似对角化的条件定理定理4.64.6的推论说明,的推论说明,如果阶矩阵如果阶矩阵与对角矩阵与对角矩阵相相似,似,那么,使得那么,使得1PAP 的矩阵
9、的矩阵又是怎样构成的呢?又是怎样构成的呢?则则的主对角线上的元素就是的主对角线上的元素就是的全部特征值的全部特征值设存在设存在可逆,可逆,1PAP 使得使得 12,nPppp 若若 APP有有 121212,nnnA pppppp 1122,nnppp 于是有于是有(1,2,),iiiApp in 因为因为可逆,可逆,故故0(1,2,),ipin于是于是12,nppp是是的个线性的个线性无无关的特征向量。关的特征向量。反之,反之,即即(1,2,),iiiApp in 设设12(,),nPppp 可逆,且可逆,且则则12,nppp若若有个线性无关的特征向量有个线性无关的特征向量121122(,)
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