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1、by Chen ping 本章主要讨论采用极坐标时平面问题的解法。内容分为两本章主要讨论采用极坐标时平面问题的解法。内容分为两大部分大部分,首先推导极坐标中平面问题的基本方程首先推导极坐标中平面问题的基本方程,然后介绍几个然后介绍几个典型问题的极坐标解答典型问题的极坐标解答,如：如：A A 静力学方程式静力学方程式00yxyyxxyxfxyfyx2.边界条件 yxyyxyxxflmfml1.平衡微分方程式B B 几何方程几何方程yuxvyvxuxyyx,2.相容方程 用应变表示用应变表示的相容方程的相容方程 yxxyxyyx222221.位移与应变关系常体力02222yxyx用应力表示的相容方

2、程平平面应面应力力情况情况 )（平面应变情况平面应变情况）yfxfyxyfxfyxyxyxyxyx11122222222C C 物理方程物理方程1.平面应力问题 2.平面应变问题 变换公式xyxyyxxxyyEEE)1(21,1)1(1)1(2),1(122xyyxyxyyxxEEEE)1(2E)1(D D 由应力函数求由应力函数求解时所用公式解时所用公式 相容方程为 024422244yyxxyxyfxxfyxyyyxx22222 yxyyxyxxflmfml应力为 044-1 例如例如,对于对于(如汽轮机的叶轮如汽轮机的叶轮)、等构件等构件,问题及问题及之类构件之类构件,如果采用如果采用极

3、坐标来解极坐标来解,显然要比直角坐标系方便得多显然要比直角坐标系方便得多。在第在第3 3章我们研究了平面问题的直角坐标解答章我们研究了平面问题的直角坐标解答,在许多在许多情况下情况下,坐标系选得合适坐标系选得合适,就能使运算过程大为简化。就能使运算过程大为简化。yxyxM,Oyx平面内任一点的位平面内任一点的位置是用两个数置是用两个数表示表示),(),(yx单元体单元体Oyxodddydx径向坐标径向坐标(极径极径)环向坐标环向坐标(极角极角)直角坐标直角坐标单元体单元体长方体长方体 dxxxyxydxxxxxxyyxydyyyxyxdyyyyxyoyfxfCx方向 dx y方向 dyz方向设

4、为1极坐标极坐标分割为扇形单元体分割为扇形单元体 径向正应力径向正应力环向正应力环向正应力切应力切应力),(ddddddffdd单元单元坐标坐标极坐标极坐标分割为扇形单元体分割为扇形单元体 d2dd单元单元坐标坐标2d 将将微微分体所受各力投影到分体所受各力投影到微微分体中心的径向轴上分体中心的径向轴上,列出径向的平衡方程列出径向的平衡方程：4-1 ddd)(d2sin)(ddd2sindd2cos)(ddd02cosddfdd0)(22)()(ddfddddddddddddd很小很小4-1 4-1 极坐标极坐标中的中的平衡微分方程平衡微分方程02222)(2ddfdddddddddddddd

5、dddddddddd012fdd 将将微微分体所受各力投影到分体所受各力投影到微微分体中心的分体中心的切切向轴上向轴上,列出列出切切向的平衡方程向的平衡方程 021fdd01f0222)()()(ddfddddddddddddd0,0dd用用 代替代替 ,简化以后简化以后,除以除以dd,再略去微量再略去微量 对比直角坐标对比直角坐标021f02101ff00yxyyxxyxfxyfyx（4-1）4-2 在极坐标中在极坐标中,用用 代表径向正应变代表径向正应变(径向线段的径向线段的正正应应变变),),用用 代表环向正应变代表环向正应变(环向线段的正应变环向线段的正应变),),用用代代表切应变表切

6、应变(径向与环向两线段之间的直角的改变径向与环向两线段之间的直角的改变););用用u代表径向代表径向位位移移,用用u代表环向位移代表环向位移。uu极坐标极坐标扇形单元扇形单元位移描述位移描述 yx0drPABPABdB,P,dAuudyx0drPABPAB（a）各点环向坐标不变）各点环向坐标不变（b）各点径向坐标不变）各点径向坐标不变dAABB径向线段径向线段PAPA的正应变为的正应变为 a.a.各点环向坐标不变各点环向坐标不变uPP duuduuPAPPAAPAPAAPududuu)(环环向线段向线段PBPB的正应变为的正应变为 径向线段径向线段PAPA的转角为的转角为 0环环向线段向线段P

7、BPB的转角为的转角为 切应变切应变为为 PBPBBPdddu)(uPBPPBBduduu)(u1u1b b.各点径向坐标不变各点径向坐标不变uPP duuAAduuBB径向线段径向线段PAPA的正应变为的正应变为 0环环向线段向线段PBPB的正应变为的正应变为 u1PBPPBBduduu)(PBPBBP径向线段径向线段PAPA的转角为的转角为 环环向线段向线段PBPB的转角为的转角为 切应变切应变为为 如果沿径向和环向都有位移如果沿径向和环向都有位移，分别叠加而得分别叠加而得 PAPPAAPOPuuududuu)(uOPPP几何方程几何方程物理方程物理方程(平平面应力面应力)(4-2)(4-

8、3)uuuuuu11EGEE)1(21)(1)(102101ff各点环向各点环向坐标不变坐标不变各点径向各点径向坐标不变坐标不变平衡方程平衡方程（4-1）形式和直角坐标一致形式和直角坐标一致 直角坐标和极坐标是两种常用的坐标系直角坐标和极坐标是两种常用的坐标系,我们常常需要将物理量从一我们常常需要将物理量从一种坐标系转换到另一种坐标系。另一方面种坐标系转换到另一种坐标系。另一方面,极坐标系中的一切公式极坐标系中的一切公式,当当然可以如同直角坐标系中一样从头导出。但是我们也可以简化公式的然可以如同直角坐标系中一样从头导出。但是我们也可以简化公式的推导推导,直接通过直接通过坐标变换坐标变换关系关系

9、,从直角坐标系中的公式转换成极坐标中从直角坐标系中的公式转换成极坐标中的公式的公式。为此。为此,我们来建立直角坐标系和极坐标系之间的变换关系。我们来建立直角坐标系和极坐标系之间的变换关系。直角坐标直角坐标 极坐标极坐标 坐标变量的变换坐标变量的变换 位移（矢量）等的变换位移（矢量）等的变换 应力分量的应力分量的坐标坐标变换式变换式 导数的变换导数的变换变量变量变换变换xyarctgyx,2221.1.坐标变量的变换坐标变量的变换sin,cosyxyxyxM,oxyuvuud2.2.位移（矢量）等的变换位移（矢量）等的变换yxcossinsincosuuvuuusincossincosuvuvu

10、u极坐标应力函数极坐标应力函数,222222211111(4-5)不计体力不计体力用用坐标坐标变换方法推导变换方法推导直角坐标相直角坐标相容方程容方程导数的变换导数的变换02222yxxyyxarctan,222sin,cosyyxxsin/112222yyxyxyxxyxdxxxd211)(arctan 是是 ,的函数，的函数，也是也是 x,y 的函数的函数xxx 是是 ,的函数，也是的函数，也是 x,y 的函数的函数用用坐标坐标变换方法推导变换方法推导cos/112222xyxxxyyxyyxxxsin1cosyyycossin用用坐标坐标变换方法推导变换方法推导22xy1cossin21

11、1cossin222222222(a)(b)sin1cos1cossin211sincos2222222sincosxx(c)用用坐标坐标变换方法推导变换方法推导22222222211yx将（a）(b)两式相加，便得到：011222222用用坐标坐标变换方法推导变换方法推导0220)(yx应力分量用应力函数表示：应力分量用应力函数表示：将下图中的将下图中的x、y轴转到轴转到 的方向的方向,22211220220)(xyyxxy22020111)(22222222222coscossin2coscossin2siny极坐标应力分量（不计体力）极坐标应力分量（不计体力）01122222222222

12、22111114-4-4 4 应力分量的应力分量的坐标坐标变换式变换式直角坐标直角坐标极坐标极坐标根据三角板A的平衡条件,可以写出平衡方程 0cos1sinsin1cossin1sincos1cos1dsdsdsdsdsyxxyyx 0Fcossin2sincos22xyyx简化4-4-4 4 应力分量的应力分量的坐标坐标变换式变换式sin,cosml根据三角板三角板 A A的平衡条件,可以写出平衡方程 根据三角板三角板 B B的平衡条件 0F)sin(coscossin)(22xyxy 0Fcossin2cossin22xyyx4-4-4 4 应力分量的应力分量的坐标坐标变换式变换式cos,

13、sin-mlcossin2sincos22xyyxcossin2cossin22xyyx)sin(coscossin)(22xyxy2sin22cos2sin2cos222sin2cos22yxxyxyyxyxxyyxyx(4-7)(4-8)4-4-4 4 应力分量的应力分量的坐标坐标变换式变换式)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222xyyx4-5 指物体的指物体的是绕一是绕一轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。轴对称的，凡通过对称轴的任何面都是对称面。若应力是绕若应力是绕z z轴对称的，则在任一环向线上的各轴对称的，则在任一环向

14、线上的各点，应力分量的数值相同，方向对称于点，应力分量的数值相同，方向对称于z z轴。轴。4-5 应力轴对称：应力轴对称：即在一个半径的即在一个半径的圆圆周上周上,各点应力状各点应力状态是相同的。从对称条件可知态是相同的。从对称条件可知,剪应力剪应力=0,只有正只有正应应力力为为和和,且它们仅是坐标且它们仅是坐标的函数的函数,。yx0P0)()(d0)()(,uu轴对称应力轴对称应力几何几何方程方程物理物理方程方程(平面平面应力应力)uuu1uuu1)(1E)(1EEG)1(2102101ff平衡平衡微分微分方程方程0fdduu)(1E)(1E0)(1dd应力应力轴对轴对称称位移位移轴对轴对称

15、称)(0122dddd01222dddddddddddd1122与与 无关无关4-5 222222211111011222222 vuvuuv011ddddddddDCBA22lnln02)ln23(2)ln21(22CBACBA轴对称应力轴对称应力应力只是应力只是的函数的函数!221dddd推导见下页推导见下页附前页附前页011ddddddddEdddddd1FEddddlnGFEGdFEdd2)4ln2()ln(222GEFE)42(lnDCBA22lnlnHdGEFE)42(lnHEFEG22)834(ln2ln 2/ln2vuvuvuuv4ln2ln22d轴对称应力相对应的应变和位移轴

16、对称应力相对应的应变和位移将应力分量代物理方程将应力分量代物理方程0)1(2ln)1(2)3(11)1(2ln)1(2)31(1122CBBAECBBAE)(1E)(1EEG)1(2102)ln23(2)ln21(22CBACBA4-5 CBBAECBACBAEE)1(2ln)1(2)31(112)ln23(2)ln21(1)(12224-5 应力分量代几何方程应力分量代几何方程轴对称应力相对轴对称应力相对应的应变和位移应的应变和位移01)1(2ln)1(2)3(111)1(2ln)1(2)31(1122uuuCBBAEuuCBBAEuuuuuuu11 ,代入求积分系数4-5 轴对称应力相对应

17、的应变和位移轴对称应力相对应的应变和位移)()1(2)31(2)1(ln)1(211fCBBAEuuCBBAEu)1(2)3()1(212代入代入1lnlndvuvuvuuvlnCBBAEuu)1(2ln)1(2)3(1112CBBAEu)1(2ln)1(2)31(112代几何代几何34-5 轴对称应力相对应的应变和位移轴对称应力相对应的应变和位移)(4fEBu)()(41fdfEBu0)()(1)()(111fdfddfddf01uuu)()1(2)31(2)1(ln)1(211fCBBAEu4-5 轴对称应力相对应的应变和位移轴对称应力相对应的应变和位移dfddfddff)()()()(1

18、1移项移项左边是左边是 的函数，右边是的函数，右边是 的函数，两边必为同一常数的函数，两边必为同一常数Fddff)()(11 Fdfddf0)()(22fddfsincos)(KIfFHf)(1上式解为上式解为常微分方程常微分方程常系数齐次线性微分方程 01111 yayayaynnnn单重实根单重实根xe单重复根单重复根xexeixxsin ,cos r 重实根重实根xrxxexxee1,r 重复根重复根,sin ,cos;sin ,cos;sin ,cos 11xexxexxxexxexexeixrxrxxxx 特征根情况特征根情况相应的线性无关解相应的线性无关解4-5 轴对称应力相对应的

19、应变和位移轴对称应力相对应的应变和位移cossin)(KIFdf)()(41fdfEBucossin4KIHEBucossin4sincos)1(2)31()1(ln)1(211KIHEBuKICBBAEu 平衡平衡几何几何协调协调平面平面应力应力平面平面应变应变物理物理方程方程0fdduu0)(1dd)(1)(1EE)1()1(2 EE轴对称应力轴对称应力02)ln23(2)ln21(22CBACBA轴对称应力相对应的位移轴对称应力相对应的位移cossin4sincos)1(2)31()1(ln)1(211KIHEBuKICBBAEu4-6 半径为r，外半径为R，受内压力q1及外压力q221

20、,0)(,0)(qqRrRr(b)22122)ln21(2)ln21(qCRBRAqCrBrA圆筒体是多连体圆筒体是多连体考察位移单值条件考察位移单值条件4-6(7)cossin4KIHEBuEB111182,时，环向位移相差在0B拉梅拉梅 (G.LameG.Lame)解答解答 2222212212222,)(rRRqrqCrRqqRrA222221222222222122221111,1111qRrrqrRRqRrrqrRR4-6(7)如果只有内压力作用如果只有内压力作用 122221222211,11qrRRqrRR02q122122,qrqrR具有圆孔的无限大薄板，或具有圆具有圆孔的无限

21、大薄板，或具有圆形孔道的无限大弹性体形孔道的无限大弹性体4-6(7)如果只有如果只有外外压力作用压力作用 01q222222222211,11qRrrqRrr应力分布应力分布4-6(7)如果圆筒是埋在如果圆筒是埋在无无限大弹限大弹性体中性体中,受有均布压力受有均布压力q CACA2222CACA2222无无限大限大弹性体弹性体圆圆筒筒,E,EOq首先首先,在圆筒的内面在圆筒的内面,有边界条件有边界条件 其次其次,在距离圆筒很远之处在距离圆筒很远之处,按照圣维南原理按照圣维南原理,应当几应当几乎没有应力乎没有应力,于是有于是有 再次再次,在圆筒和无限大弹性体的接触面上在圆筒和无限大弹性体的接触面

22、上,应当有应当有 4-6(7)qr)(,22qCrA0)(,0)(02CRR)()(4-6(7)222RACRAsincos)11(2111sincos)11(211122KICAEuKICAEu位移条件位移条件圆筒、无圆筒、无限大弹性体限大弹性体(平面应变问题平面应变问题)sincos)21(21sincos)21(21KIACEuKIACEu4-6(7)RRuu)()(sincos)21(21sincos)21(21KIRARCEKIRACRE位移条件位移条件圆筒、无圆筒、无限大弹性体限大弹性体接触面上接触面上sincos)21(21sincos)21(21KIACEuKIACEuRARCERACRE)21(21)21(21任何任何 都应当成立，有都应当成立，有Rr)1()21(1)21()1()21(1)1()21(1)1()21(1)1()21(1 222222222222nrRnRnqnrRnnRnqnrRnnRnq4-6(7)0)21(222RARACnGGEEn)1()1(简化简化，0C(4-15)圆筒、无圆筒、无限大弹性体限大弹性体应力分量表达式应力分量表达式(4-16)OqRARCERACRE)21(21)21(21