平面向量的线性运算 平面向量的加减法课件.ppt

1、温故知新温故知新零向量零向量长度等于长度等于 的向量，记作的向量，记作单位向量单位向量长度等于长度等于 的向量的向量平行向量平行向量(共线向量共线向量)方向方向 的非零向量的非零向量.向量向量a，b平行，记作平行，记作 .规定：零向量与任一向量规定：零向量与任一向量相等向量相等向量长度长度 且方向且方向 的向量的向量.向量向量a，b相等，记作相等，记作零零01个单位个单位相同或相反相同或相反ab平行平行相等相等相同相同ab向量的加法运算 台北台北香港香港上海上海从运动的合成看向量运算 在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，那么这两次位移之和是

2、什么？ABC位移位移ABBCAC+=创设情境创设情境兴趣导入兴趣导入王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60角方向行走200 m到达学校（C处）（如总效果是从家（A处）到达了学AC500m200m.ACABBC ACAB BC 位移叫做位移与位移的和，和，记作图）王涛同学这两次位移的校（C处）F1F2FEOOEF1+F2=F从力的合成看向量运算 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点；同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？F1F2FF是以是以F1与与F2为邻边所形成的为邻边所形成的

3、平行四边形的对角线平行四边形的对角线ABC向量的加法运算 运动的合成 力的合成ABBCAC+=F1F2FF1+F2=F 数的加法启发我们，从运算的角度看，数的加法启发我们，从运算的角度看，AC可以认为可以认为是是AB与与BC的和，的和，F可以认为是可以认为是F1与与F2的和，即位移、力的的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。合成可以看作向量的加法。向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则动脑思考动脑思考探索新知探索新知（1）ab与ba相等吗？请画出图来说明（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？动脑思考动脑思考探索新知探索新知A

4、CBaba+bab一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A叫做向量a与向量b的和和，ABBC ，abAC则向量依次作记作ab，即 abABBCAC （71）求向量的和的运算叫做向量的加法向量的加法上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则三角形法则 动脑思考动脑思考探索新知探索新知ADCB如图所示，ABCD为平行四边形，由于ADBC，根据三角形法则得 ABADABBCAC AB AC这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与AD的和这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则平行四边形法则 平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：(1)a0=0a=a

5、；a（a）=0；(2)ab=ba；(3)（ab）c=a（bc）aboABC力的合成可以看作向量加法的力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型平行四边形法则的物理模型baba求求作作向向量量已已知知向向量量,CABbaACbBCaABA则向量则向量作作在平面内任取一点在平面内任取一点作法：作法：,.21向量加法法则ababba ba 位移的合成可以看作向量位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型加法三角形法则的物理模型baOCbOBaOAO则则向向量量作作在在平平面面内内任任取取一一点点作作法法：,.21向量加法法则总结与拓展 向量加法的三角形法则:1.将向量平移使得它们 2.和

6、向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾 向量加法的平行四边形法则:1.将向量平移到 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线 三角形法则推广为多边形法则：探究一：当向量共线时，如何相加？ACab=+ABC(1)同向同向(2)反向反向ababABCACab=+aaa00规定：规定：探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，bR，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)向量的加法具备吗？你能否画图解释？abba()a bcabc(+)+向量加法满足交换律和结合律：向量加法满足交换律和结合律：以上两个运算律可以以上两个运算律可以推广推广到

7、任意多个向量到任意多个向量.巩固知识巩固知识典型例题典型例题 例例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度 ABDC速度，由向量加法的平行四边形法则，AD是船的实际航行速度，显然 ACAB 解解 如图所示，表示船速，为水流22ADABAC 22125=13 512tanCAD利用计算器求得 67 23CAD即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约67 23巩固知识巩固知识典型例题典型例题例例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1f2f与的大小 绳子的方向与垂线的

8、夹角为f1f2k1212cos，fffk12coskf解解 利用平行四边形法则，可以得到所以运用知识运用知识强化练习强化练习 2ADOA 1；1ABBCCD ；2OBBCCA 计算：向量的减法运算预备知识：相反向量 类比实数的相反数的概率，定义相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作;-a与a互为相反向量 规定：零向量的相反向量仍是零向量 所以:1、-(-a)=a；2、a+(-a)=(-a)+a=0；3、a=-b，b=-a，a+b=0 向量的减法：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量向量减法法则 要点:1.平移到；2.被减向量.abb)(bab

9、aabABOababbaabABOab.,baBAbOBaOAO则则作作点点作法：在平面内任取一作法：在平面内任取一探究三：当向量共线时，如何相减？(1)同向同向(2)反向反向bababa baba探究四：平行四边形法则的两条对角线ADCBabbaABADBDbaAC动脑思考动脑思考探索新知探索新知根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂成什么角度时，双臂受力最小？运用知识运用知识强化练习强化练习 2ADOA 1；1ABBCCD ；2OBBCCA 计算：动脑思考动脑思考探索新知探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差差即 a b=a(b)()=O

10、AOBOAOBOABOBOOABA 即 OAOBBA （72）观察图可以得到：起点相同的个向量，其起点是减向量b的终点，两个向量a、b，其差a b仍然是一终点是被减向量a的终点 aAabBbO设a ，b，则 OA OBa巩固知识巩固知识典型例题典型例题例例5 已知如图所示向量a、b，请画出向量a b BbOAba解解 如图所示，以平面上任一点OOB=b，连接BA，OA=a，为起点，作BA 为所求，即 则向量BA=a b 运用知识运用知识强化练习强化练习 2DBAC1；1ABAD；2BCBA 计算：创设情境创设情境兴趣导入兴趣导入3OCaaaaOABC3a是一个向量，其方向与a的方向相同,其模是

11、a的模的3倍，即|3a|=3|a|观察下图可以看出向量 与向量a共线，并且 OCa动脑思考动脑思考探索新知探索新知一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为|aa（73）a b ab（74）由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当 时，有 0|a若0，则当 时,a的方向与a的方向相同，当0 时，a的方向与a的方向相反 0 动脑思考动脑思考探索新知探索新知一般地，有 0a=0,0=0 数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算，容易验证，对于、，向量数乘运算满足如下的法则：任意向量a,b及任意实数 111aaaa，；2aaa ；3aaa；abab 向量加法及数乘运算在形式上与

12、实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的 请画出图形来，分别验证这些法则巩固知识巩固知识典型例题典型例题AB 例例6在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图，a，AOODADb，试用a,b表示向量、解解 ACab，BD b a，因为O分别为AC，BD的中点，所以 1122AOAC1212（ab）ab，1122 ODBD1212（b a）ab，1212ab和 1212ab 都叫做向量a，b的线性组合线性组合，或者说，AO OD、可以用向量a，b线性表示 巩固知识巩固知识典型例题典型例题，

13、一般地，ab叫做a,b的一个线性组合（其中均为实数），如果l a b，则称l可以用a，b线性表示线性表示 向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算向量的线性运算 运用知识运用知识强化练习强化练习计算：（1）3(a 2 b)2(2 ab)；（2）3 a 2(3 a 4 b)3(a b)（1）a 8b；（2）5b 当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量）位移等，这种量叫做向量（矢量）向量的大小叫做向量的模向量向量的大小叫做向量的模向量a,的模依次的模依次记作，记作，向量向量a与向量与向量b的模相等并且方向相同时，称向量的模相等并且方向相同时，称向量a与向量与向量b相等，记作相等，记作a=b AB aAB 向量、向量的模、向量相等是如何定义的？向量、向量的模、向量相等是如何定义的？自我反思自我反思目标检测目标检测作作 业业读书部分：阅读教材相关章节 实践调查：试着用向量的观点解释书面作业：教材习题.1组（必做）生活中的一些问题 教材习题.1组（选做）继续探索继续探索活动探究活动探究