人教版九年级数学上册课件：垂直于弦的直径.pptx

1、垂直于弦的直径如图，是1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m你想知道怎么求出赵州桥主桥拱的半径吗？探究探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？归纳归纳把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴探究探究如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？

2、为什么？（1）是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE弧：原因：由圆的对称性可知，将圆沿着CD 折叠时，A会与B重合，所以相应的线段和弧相等归纳归纳垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推理垂径定理的推理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧书写规范书写规范运用垂径定理时，如何书写过程呢？CD是直径，CDAB AE=BE，类似的，若要运用垂径定理的推论，你会写过程了吗？CD是直径，AE=BE CDAB，几何语言表达几何语言表达垂径定理垂径定理CD是直径CDABAE=BE垂径定理的推理垂径定理的推理CD是直径AE=BECD

3、AB知二推三知二推三CD是直径CDABAE=BE其实垂径定理可以进一步地推广，以上五个条件中，只要其中任意两个成立，就可以得到另外三个结论这就是所谓的“知二推三”应用条件应用条件下列图形是否具备垂径定理的条件？是否是否概念辨析概念辨析判断下列说法的正误平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弦的直线必垂直弦垂直于弦的直径平分这条弦平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直线有无数条如果弦是直径会怎样？概念辨析概念辨析判断下列说法的正误弦的垂直平分线是圆的直径平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧 垂直平分线是直线直径是线段，能相等吗？如果弦是直径会怎样？

4、例题例题如图，在O中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC 于E，求证四边形ADOE是正方形证明：四边形ADOE为矩形，又AC=AB AE=AD 四边形ADOE为正方形.练习练习如图，AB是O 的直径，CD 为弦，CDAB于E，则下列结论中不成立的是（）ACOE=DOEBCE=DECOE=AED.C练习练习如图，连接 OA，OB，设 AO=BO，求证：AC=BD提示：作OEABE练习练习已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C，D 两点求证：ACBD提示：作OEABE练习练习已知：O 中弦ABCD求证：提示：作直径MNABMN例题例题如图，在O

5、 中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径解：作OEAB于点E，连接AO，在Rt AOE 中答：O的半径为5cm.总结：已知半径，弦长，圆心到弦的距离这三个中的任意两个，可以求第三个赵州桥拱半径问题赵州桥拱半径问题如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高在图中，AB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2R-7.218.7在RtOAD中，由勾股定理，得解得：R27.9（m）赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.归纳归纳对于一

6、个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：（1）d+h=r特别的，若已知h和a，则需要设未知数，列方程求解什么是垂径定理？如何利用垂径定理计算？垂径定理垂径定理已知弦长和弦弧距怎么求半径？已知弦长和弦弧距求半径已知弦长和弦弧距求半径练习练习如图，OEAB于E，若O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=_cm16练习练习如图，在圆O 中，半径r=13，弦AB=24，则圆心O 到AB的距离为_5练习练习如图，在圆O中，直径AB弦 CD 于点 M，AM=18，BM=8，则 CD 的长为 _24练习练习如图，圆O 的半径为

7、 5，弦AB=8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的最小值是 _3练习练习如图，CD是O 的直径，弦ABCD 于E，CE=1，AB=10，求直径CD 的长答案：CD=26练习练习一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为 1 m，水面宽 AB 为 1.6 m由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为 1.2 m，求水面下降的高度答案：0.2米练习练习某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为7.2 m，过O 作OC AB 于D，交圆弧于C，CD=2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？答案：半径是3.9m，MN

8、3，能通过.练习练习1如图，在O 中，弦AB 的长为8cm，圆心O 到AB 的距离为3cm，求O 的半径练习练习2如图，在O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，ODAB 于D，OEAC 于E，求证四边形ADOE 是正方形构造垂径求长度构造垂径求长度如图，在ABC中，已知ACB=130，BAC=20，以点 C 为圆心，CB 为半径的圆交 AB 于点 D，则 BD 的长为_提示：过点C 作BD 的垂径总结：要求弦长，就要想到作垂径，利用垂径定理什么情况下需要构造垂径？怎么构造垂径进行计算？构造垂径的技巧构造垂径的技巧平行弦间的距离平行弦间的距离已知圆O 的半径是 10 cm，弦ABCD，AB=12cm，CD=16cm，则 AB 与 CD 的距离是_总结：看到没图的问题，就要考虑到多解的可能14cm或2cm怎么求平行弦之间的距离？如果题目没给图，应该想到什么？与垂径定理有关的多解问题与垂径定理有关的多解问题总结总结这节课我们学会了什么？垂径定理垂径定理CD是直径CDABAE=BE垂径定理的推理垂径定理的推理CD是直径AE=BECDAB总结总结利用垂径定理计算的技巧对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：（1）d+h=r特别的，若已知h和a，则需要设未知数，列方程求解.