江苏省苏州市2019-2020学年第二学期调研试卷高三（数学）试卷含附加题+答案.docx

1、 江苏省苏州市 20192020 学年高三第二学期调研试卷 数学试卷 2020.03 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题 卡相应位置上 1已知1,3,4A ，3,4,5B ，则AB_ 2若复数z满足(12 )34i zi （i是虚数单位） ，则|z _ 3执行如图所示的算法流程图，输出的S的值是_ 4若数据 2，x，2，2 的方差为 0，则x _ 5在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的 5 个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中 随机取 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是_

2、6先把一个半径为 5，弧长为6的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水 倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗） ，正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心 圆锥，则此球的半径为_ 7若双曲线 22 1 54 xy 的左焦点在抛物线 2 2ypx的准线上，则p的值为_ 8在ABC所在的平面上有一点P，满足PAPBPCAB，则 PA PB PB PC _ 9已知直线2ykx与曲线lnyxx相切，则实数k的值为_ 10已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ，直线 6 3 yb与椭圆C交于,A B两点，若OAOB，则椭圆 离心率的值等于_ 11已知

3、正项数列 n a的前n项和为 n S， 2 1 2a ，且当2n时， 1 n a 为 n S和 1n S 的等差中项，则 32 S的值 为_ 12设，为锐角，tantan(1)aa，若的最大值为 4 ，则实数a的值为_ 13 在平面直角坐标系xOy中， 已知A，B为圆 22 :()(2)4Cxay上两个动点， 且2 3AB 若 直线: lyx 上存在点P，使得PAPBOC，则实数a的取值范围为_ 14已知函数( ) x f xe，若函数 2 ( )(2)( )2 |2| ( ) a g xxf xa x f x 有 6 个零点，则实数a的取值 范围为_ 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 9

4、0 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 15 （本小题满分 14 分） 已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin()sin1ABC （1）求sincosAB的值； （2）若2ab，求sinA的值 16 （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 111 ABCABC中，90ABC ， 1 ABAA，,M N分别是AC， 11 BC的中点 求证： （1）/ /MN平面 11 ABB A； （2） 1 ANAB 17 （本小题满分 14 分） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab

5、的右焦点为(1,0)F， 并且点 2 1, 2 在椭圆上 （1）求椭圆C的方程； （2）设斜率为k（k为常数）的直线l与椭圆交于A，B两点，交x轴于点( ,0)P m，Q为直线2x 上的 任意一点，记QA，QB，QP的斜率分别为 1 k， 2 k， 0 k若 120 2kkk，求m的值 18 （本小题满分 16 分） 如图，PQ为某公园的一条道路， 一半径为 20 米的圆形观赏鱼塘与PQ相切， 记其圆心为O， 切点为G 为 参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两 点，其中C、O、G三点共线且满足CACB，记道路CA、CB长之和为L （1）设

6、ACO，求出L关于的函数关系式( )L； 设2 ABx米，求出L关于x的函数关系式( )L x （2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造 价最少 19 （本小题满分 16 分） 设( ) x f xaea， 2 ( )g xaxx（a为与自变量x无关的正实数） （1）证明：函数( )f x与( )g x的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线； （2）是否存在实数k，使得 ( ) ln1 f xak x axx 对任意的 1 , 2 x 恒成立，若存在，求出k的取值 范围，否则说明理由 20 （本小题满分 16 分） 定义：对于

7、一个项数为 * 2,m mmN的数列 n a，若存在 * kN且km，使得数列 n a的前k项和 与剩下项的和相等（若仅为 1 项，则和为该项本身） ，我们称该数列是“等和数列” 例如：因为32 1， 所以数列 3，2，1 是“等和数列” 请解答以下问题： （1）判断数列 2，4，6，8是否是“等和数列” ，请说明理由； （ 2）已 知等差 数列 n a共有r项 （3r，且r为 奇数 ） ， 1 1a ， n a的 前n项和 n S满 足 1 (1)(1)(1) nn nSnSn nn r 判断 n a是不是“等和数列” ，并证明你的结论 （3） n b是公比为q项数为 *, 3m mNm的等

8、比数列 n b， 其中2q 判断 n b是不是 “等和数列” ， 并证明你的结论 高三数学练习卷 附加题 21 【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题作答若多做，则按作答的前两小题评分解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修 4-2：矩阵与变换 在平面直角坐标系xOy中，直线20xy在矩阵 1 2 a A b 对应的变换作用下得到的直线仍为 20xy，求矩阵A B选修 4-4：极坐标与参数方程 在极坐标系中，直线l的极坐标方程为() 3 R 以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角 坐标系，曲线C的参数方程为 2sin , 1cos2 x y （为参数） 求直

9、线l与曲线C交点P的直角坐标 C选修 4-5：不等式选讲 已知, ,x y z均为正数，且 1113 112xyyz ，求证：4910xyz 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 （本小题满分 10 分） 如图，在三棱锥DABC中，DA平面ABC，90CAB ，且1ACAD，2AB ，E为BD的 中点 （1）求异面直线AE与BC所成角的余弦值； （2）求二面角A CEB的余弦值 23 （本小题满分 10 分） 在自然数列 1，2，3，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余nk个元素变动位置，得到不同的 新数列由此产生

10、的不同新数列的个数记为( ) n P k （1）求 3(1) P； （2）求 4 4 0 ( ) k P k ； （3）证明 1 1 00 ( )( ) nn nn kk kP knPk ，并求出 0 ( ) n n k kP k 的值 参考答案与评分标准 一、填空题 13,4 25 37 42 5 3 10 6 3 9 76 8 1 2 91ln2 10 2 2 118 1232 2 13 22 2, 22 2 14 2 , 1 21 e e 二、解答题 15 （1）因为ABC，所以sin()sinABC， 从而1sin()sinsin()sin()ABCABAB (sincoscossin

11、)(sincoscossin)ABABABAB 2sincosAB， 故 1 sincos 2 AB ； （2）由2ab及正弦定理得，sin2sinAB， 故 1 sincos2sincossin2 2 ABBBB， 且sin2sin1AB，所以 1 sin 2 B， 又易得ab，从而AB，故0, 6 B ，即20, 3 B ，所以2 6 B ， 即 12 B ， 此时 62 sin2sin2sin2sincoscossin 124646462 A 16 （1）证明：取AB的中点P，连结PM， 1 PB 因为M，P分别是AB，AC的中点， 所以/PMBC，且 1 2 PMBC 在直三棱柱 11

12、1 ABCABC中， 11 / /BCBC， 11 BCBC， 又因为N是 11 BC的中点， 所以 1 / /PMB N，且 1 PMB N 所以四边形 1 PMNB是平行四边形， 所以 1 / /MNPB， 而MN 平面 11 ABB A， 1 PB 平面 11 ABB A， 所以/ /MN平面 11 ABB A （2）证明：因为三棱柱 111 ABCABC为直三棱柱，所以 1 BB 面 111 ABC， 又因为 1 BB 面 11 ABB A， 所以面 11 ABB A 面 111 ABC， 又因为90ABC ，所以 1111 BCB A， 面 11 ABB A 面 11111 ABCB

13、 A， 11 BC 平面 111 ABC， 所以 11 BC 面 11 ABB A， 又因为 1 AB 面 11 ABB A， 所以 111 BCAB，即 11 NBAB， 连结 1 AB，因为在平行四边形 11 ABB A中， 1 ABAA， 所以 11 ABAB， 又因为 111 NBABB，且 1 AB， 1 NB 面 1 AB N， 所以 1 AB 面 1 AB N， 而AN 面 1 AB N， 所以 1 ABAN 17解： （1）因为椭圆C的两个焦点为 1( 1,0) F 和 2(1,0) F，点 2 1, 2 在此椭圆上 所以 22 22 22 2(1 1)0(1 1)02 2,1

14、 22 ac 所以1,2,2 11cab 所以椭圆方程为 2 2 1 2 x y （2）由已知直线:()l yk xm，设 11 ,A x y， 22 ,B x y， 0 2,Qy， 由 2 2 (), 1, 2 yk xm x y 得 22222 124220kxmk xk m 所以 222 1212 22 422 , 1212 mkk m xxx x kk 因为 10200 120 12 , 222 yyyyy kkk xxm 且 120 2kkk， 所以 10200 12 2 222 yyyyy xxm ， 整理得 0 12 211 20 222 kkmy mxx ， 因为点 0 2,Q

15、y不在直线l上，所以 0 20kkmy， 所以 12 211 0 222mxx ，整理得 1212 2(2)40x xmxxm， 将 2 12 2 4 12 mk xx k ， 22 12 2 22 12 k m x x k 代入上式解得1m ， 所以1m 18解： （1）在Rt CDO中，ACO，所以 20 sin CO ， 所以 20 20 sin CG 在Rt AGC中， 20 20 2020sin sin coscossincos CG AC ， 所以 4040sin ( )2 sincos LAC 其中0, 2 设ACy，则在Rt AGC中 22 CGyx，由Rt CDO与Rt AG

16、C相似得， COOD CAAG ， 即 22 2020yx yx ，即 22 2020xyxxy， 即 22 20()xyxxy，即20x yxxy 即 2( )400()xyxxy， 化简得 3 2 400 400 xx CAy x ， 3 2 2800 ( )2 400 xx L xCA x 其中(20,)x （2）选择（1）中的第一个函数关系式 4040sin40(1sin ) ( )2 sincossincos LAC 研究 22 322 22 40 cos sincos(1sin ) cossin40 sinsincos ( ) (sincos )(sincos ) L 323222

17、 222 40 sin2sin140 sinsinsin140(sin1) sinsin1 (sin cos )(sin cos )(sin cos ) 令( )0L，得 51 sin 2 令 0 51 sin 2 ，当 0 0,时，( )0L，所以( )L递减； 当 0, 2 时，( )0L，所以( )L递增，所以当 51 sin 2 时， L取得最小值，新建道路 何时造价也最少 （说明；本题也可以选择（1）中的第二个函数关系式 3 2 2800 ( ) 400 xx L x x 求解，仿此给分） 19 （1）证明：因为 0 (0)0, (0)0faeag，所以 2 ( ), ( ) x f

18、 xaea g xaxx的图像存在一个公 共的定点(0,0)O 因为( ) x fxae，( )2g xax，所以(0)fa，(0)ga，所以在定点(0,0)O处有一条公切线，为 直线yax （2）假设存在实数k，使得 ( ) ln1 f xak x axx 对任意的 1 , 2 x 恒成立， 即存在实数k使得ln x kexxx对任意的 1 , 2 x 恒成立 令 1 ( )ln, 2 x h xexxx x ， 则 1 ( )ln2, 2 x h xexx ， 令 1 ( )ln2, 2 x m xexx ，则 111 ( ), 2 x x xe m xex xx ， 因为0,0 x xe

19、，且, x yx ye在 1 , 2 x 上单调递增， 所以 x yxe在 1 , 2 x 上单调递增， 因为 1 1 2 1 2 12 10,110 22 e ee ， 所以存在唯一实数 0 1 ,1 2 x ，使得 0 0 10 x x e ，即 0 0m x，且 0 0 x xe， 所以( )h x在 0 x处取得最小值 000 00 ln2ln2 xxx h xexee 0 1 2 0 139 220 224 x exeee， 所以( )ln x h xexxx在 1 , 2 x 上单调递增， 所以 1ln21 ( ) 22 h xhe ， 因为ln x kexxx对任意的 1 , 2

20、 x 恒成立，所以 ln21 2 ke ， 所以存在 ln21 , 2 ke 使得 ( ) ln1 f xak x axx 对任意的 1 , 2 x 恒成立 20解： （1）2( 4)6( 8) ， 数列 2，4，6，8是“等和数列” （2）由 * 1 (1)(1), nn nSnSn nnN ，两边除以(1)n n ，得 1 1 1 nn SS nn ，即 1 1 1 nn SS nn ， 所以，数列 n S n 为等差数列且 1 1 1 S ，11 n S nn n ， 所以， 2 n Sn 假设存在k使得数列 n a的前k项和与剩下项的和相等， 即 krk SSS，所以2 kr SS 2

21、2 2kr* 在*中，因为r为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边 2 2k一定是偶数， 所以*不可能有解，从而假设错误， n a不是“等和数列” （3）设 n B为 n b的前n项和 假设 n b是“等和数列” ， 则存在 * kN且km，使得 kmk BBB成立，即2 km BB， 于是 11 211 11 km bqbq qq 成立，即21 km qq 因为2q，所以 1 212 kkk qqq ， 又mk，即1mk，所以 1km qq ， 所以21 km qq ，与21 km qq 产生矛盾 所以假设不成立，即 n b不是“等和数列” 21A 解：设( ,)P x y是直线20

22、xy上任意一点，其在矩阵 2 aa A b 对应的变换下得到 1 22 axxay bybxy 仍在直线上， 所以得220xaybxy， 与20xy比较得 11 21 b a ， 解得 0 1 b a ，故 11 02 A B 解：直线l的普通方程为3yx， 曲线C的直角坐标方程为 2 1 ( 2,2) 2 yxx ， 联立解方程组得 0, 0 x y 或 2 3, 6. x y 根据x的范围应舍去 2 3, 6, x y 故P点的直角坐标为(0,0) C 证：因为, , x y z均为正数，所以1x，1y ，1z 均为正数， 由柯西不等式得 2 111 (1)4(1)9(1)(123)36

23、111 xyz xyz ， 当且仅当 222 (1)4(1)9(1)xyz时，等式成立 因为 1113 1112xyz ， 所以 2 (1)4(1)9(1) 3624 3 xyz， 所以4910xyz 22解：因为DA平面ABC，90CAB ，所以可以以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标 系Axyz 因为1ACAD，2AB ， 所以(0,0,0),(1,0,0), (0,2,0),(0,0,1)ACBD， 因为点E为线段BD的中点， 所以 1 0,1, 2 E （1） 1 0,1,(1, 2,0) 2 AEBC ， 所以 24 cos, 5|,|5 5 4 AE BC AE BC AEB

24、C ， 所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为 4 5 （2）设平面ACE的法向量为 1 ( , , )nx y z， 因为 1 (1,0,0),0,1, 2 ACAE ， 所以 1 0nAC， 1 0nAE，即0x 且 1 0 2 yz，取1y ，得0,2xz ， 所以 1 (0,1, 2)n 是平面ACEE 的一个法向量 设平面BCE的法向量为 2 ( , , )nx y z， 因为(1, 2,0)BC ， 1 0, 1, 2 BE ， 所以 2 0nBC， 2 0nBE， 即20xy且 1 0 2 yz，取1y ，得2,2xz， 所以 2 (2,1,2)n 是平面BCE的一个法向量 所以

25、 12 12 12 35 cos, 559 n n n n n n 所以二面角A CEB的余弦值为 5 5 23 （1）因为数列 1，2，3 中保持其中 1 个元素位置不动的排列只有 1，3，2 成 3，2，1 或 2，1，3，所以 3(1) 3P； （2） 4 444444 0 ( )(0)(1)(2)(3)(4) k P kPPPPP 011112 433424 019860124C C CC CC ； （3）把数列 1，2，n中任取其中k个元素位置不动，则有 k n C种；其余nk个元素重新排列，并且使 其余nk个元素都要改变位置，则有( )(0) k nnn k P kC P， 故 00 ( )(0) nn k nnn k kk kP kkC P ，又因为 1 1 kk nn kCnC ， 所以 11 111 0000 ( )(0)(0)( ) nnnn kk nnn knn kn kkkk kP kkC PnCPnPk ， 令 0 ( ) n nn k akP k ，则 1nn ana ，且 1 1a 于是 23411231 234 nnn a a aaaaaana ， 左右同除以 2341n a a aa ，得2 3 4! n ann 所以 0 ( )! n n k kP kn