河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试数学（理）含答案.pdf

1、2023 届高三第一学期12月月考届高三第一学期12月月考数学试卷（理科数学试卷（理科）考试时间：120 分钟试卷满分：150 分本试题卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试题卷上答题无效。考试结束后，只收答题卷.第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。本试题卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试题卷上答题无效。考试结束后，只收答题卷.第 I 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，

2、共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合Ax2x2 x15 0，B 3,1,1,3,5，则AB（）A1,3B3,1,1C1,1D1,1,32南宋数学家在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前 7 项分别为 1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第 20 项为（）A172B183C191D2113已知sin2123，则5cos 26（）A79B59C59D794已知平面向量a，b满足3a，1 3b，211a

3、b，则a在b上的投影为（）A3B1C2D65若函数 log20,1af xaxaa在区间1,3内单调递增，则 a 的取值范围是（）A2,13B20,3C21,3D2,36如图，在直三棱柱111ABCABC-中，122AAABAC，且,ABAC D E分别是棱1,BC BB的中点，则异面直线1AD与1C E所成角的余弦值是（）A2 69B66C579D3067 已知函数 e2elnexf xxx，若e2e2021e2022e2023202320232023ffff1011()ab，其中0b，则1|2|aab的最小值为（）A34B32C54D228在平面直角坐标系中，已知点2 0M，10N ，动点

4、Q xy，满足2QMQN，过点31，的直线与动点Q的轨迹交于A，B两点，记点Q的轨迹的对称中心为C，则当ABC面积取最大值时，直线AB的方程是（）A4yxB4yx C24yxD24yx 9已知抛物线22xpy0p 的焦点为 F，A，B 是抛物线上两动点，且AF的最小值为1，M 是线段 AB 的中点，2,3P是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）A2p B若8AFBF，则 M 到 x 轴的距离为 3C若2AFFB ，则3AB DAPAF的最小值为 410 已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左，右顶点分别是1A，2A，圆222xya与C的渐近线在第一象限的交点为M，直线1AM交C的右

5、支于点P，若2MPA是等腰三角形，且2PA M的内角平分线与y轴平行，则C的离心率为（）A2B2C3D511已知0 x是函数 22eexxf x的图象与函数 1lng xxxx的图象交点的横坐标，则020elnxx（）A2Bln2Cln2D212已知函数 2221,0log,0 xxf xx x，若关于 x 的方程2()()4 0f xmf x 有 6 个不同的实数根，则 m 的取值范围是（）A13(,5),43 B13,43C134,(5,)3D134,3第第 IIII 卷卷二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.把答

6、案填在答题卷的相应位置把答案填在答题卷的相应位置.1322204xxdx_14在三棱锥 PABC 中，2 3PAABPBAC，AC平面 PAB，则三棱锥 PABC 的外接球 O 的体积为_15已知函数 cos0,2fxx，当4x 时函数 fx能取得最小值，当4x时函数 yf x能取得最大值，且 fx在区间5,18 26上单调，则当取最大值时的值为_.16已知函数ln(),()exxf xg xxx，若存在12(0,),Rxx，使得12fxg xk成立，则下列命题正确的有_当0k 时，121xx当0k 时，212e2exx当0k时，121xx当0k时，21ekxx的最小值为1e三、解答题：本大题

7、共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17已知数列 na的前n项和为nS，且23122nSnn，递增的等比数列 nb满足：1418bb，2332b b(1)求数列 na、nb的通项公式；(2)设 na、nb的前n项和分别为nS，nT，求nS，nT18在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2 coscoscosaAbCcB(1)求A；(2)若ABC的面积为6 3，2 7a，求ABC的周长19 春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输

8、压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间 t 相关，时间 t（单位：小时）满足024t，tN.经测算，当1624t 时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数 5160 人，当016t 时，候车人数会减少，减少人数与(16)tt成正比，且时间为 6 点时，候车人数为 3960 人，记候车厅候车人数为()f t.(1)求()f t的表达式，并求当天中午 12 点时，候车厅候车人数；(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为()3160320f tPt，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?20如图，已知四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 为正方形，二面角 S-AB-D 为

9、直二面角，SAB=SBA，点 M 为线段 AD 的中点.(1)证明：SDMC；(2)若 SA=AB，点 N 是线段 BD 上靠近点 B 的三等分点，求直线 SA 与平面 SMN所成角的正弦值.21已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12，点0,2G与椭圆的左右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于34，试探求OMN的面积是否为定值，并说明理由.22已知函数 lnlnf xxax，其中0a 且1a(1)讨论函数 fx的单调性；(2)若 1elnfxaa在0,上恒成立，求实数 a 的

10、取值范围32023 届届高三第一学期12月高三第一学期12月月考月考理科数学答案理科数学答案1D2C3C4B5B6A7A8A9C10B11A12A13831428 731521617【详解】（1）当1n 时，1131222aS，当2n时，221313111312222nnnaSSnnnnn，又3112，满足上式故 na的通项公式为31nan，设等比数列 nb的公比为q，因为1418bb，231432bbb b，所以41,b b可看作方程218320 xx的两根，解得：14216bb或14162bb，因为等比数列单调递增，所以14162bb舍去，故31682q，解得：2q=，故 nb的通项公式为

11、12 22nnnb；（2）因为31nan，所以13nnaa，故 na为等差数列，由等差数列求和公式得：212313222nnSn aannnn，由等比数列求和公式得：12 1 2221 2nnnT.18(1)3A(2)102 7【详解】（1）因为2 coscoscosaAbCcB，由正弦定理可得：2sincossincossincosAABCCB，所以2sincossinAAA，因为sin0A，所以1cos2A，由于0A，所以3A（2）由于6 3ABCS，所以1sin6 32bcA，解得24bc 在ABC中，由余弦定理可得：2222cosabcbcA，整理得2252bc，所以2()252bcb

12、c，所以10bc故三角形的周长为102 7labc19【详解】（1）当016t 时，设()5160(16)f tktt，(6)3960f，则20k，516020 16,(01)5160,1624tttf ttNt .(12)516020 1244200f，故当天中午 12 点时，候车厅候车人数为 4200 人.（2）10020,(016)2000320,1624tttPtNtt ，当016t 时，1001002020 2400Ptttt，当且仅当10t 时等号成立；当1624t 时，200032040324P；又403400，所以10t 时，需要提供的矿泉水瓶数最少.20【详解】（1）取 AB

13、 的中点 O，连接 SO，DO，因为SABSBA，所以SASB，所以SOAB.2又二面角SABD为直二面角，所以SO 平面 ABCD，且MC 平面 ABCD,所以SOMC.在正方形 ABCD 中，O，M 分别为 AB，AD 的中点，所以DAOCDM，所以ODMMCD，又90MCDDMC，所以ODMDMC 90，所以MCDO.因为ODOSO，OD 平面 SOD，OS 平面 SOD，所以MC 平面 SOD，又SD 平面 SOD，所以MCSD.（2）取 CD 的中点G，连接 OG，由（1）可知 OB，OS，OG 两两垂直.以O为坐标原点，OB，OS，OG 所在直线分别为x轴y轴z轴建立如图所示的空间

14、直角坐标系.不妨设 AB=2，则(1,0,0)A，(1,0,0)B，(0,0,3)S，1,1,0M，(1,2,0)D 1,1,3SM ，1,0,3,AS ，(2,2,0)BD ，2,1,0BM ，则12 2,033 3BNBD ，41,033MNBNBM .设平面 SMN 的法向量为(,)nx y z，由题意得3041033n SMxyzn MNxy ，令1y，得13,1,44n.设直线 SA 与平面 SMN 所成的角为，则2222221310 13445sin513103144AS nn AS ，故直线 SA 与平面 SMN 所成角的正弦值为55.21【详解】（1）解：椭圆2222:1(0)

15、xyCabab离心率为12，即12cea，点0,2G与椭圆的左右顶点可以构成等腰直角三角形，2a，1c，3b，故椭圆C的方程为22143xy.（2）解：由直线与椭圆交于M，N两点，设11,M x y，22,N xy，则联立22,1,43ykxmxy得222348430kxkmxm，22222(8)16 34348 430kmkmkm，则2243km122834kmxxk，21224334mx xk22121212121212121212OMONkxmkxmk x xmk xxmyyy ykkxxx xx xx x22222222224383434344343kmk mmkmkmm.22243m

16、k，2222212224 34 3 43111342mkmMNkxxkkkm.原点O到l的距离21mdk，2224 31132221OMNMNmmSdkmk为定值.22(1)答案见解析(2)e,3【详解】（1）lnlnf xxax定义域为0,，1lnfxax，当01a时，ln0a，故 1ln0fxax恒成立，此时 lnlnf xxax在0,上单调递减，当1a 时，令 1ln0fxax，解得：1lnxa，令 1ln0fxax，解得：10lnxa，故 fx在10,lna上单调递减，在1,lna上单调递增，综上：当01a时，fx在0,上单调递减；当1a 时，fx在10,lna上单调递减，在1,lna

17、上单调递增.（2）解：由题意得lnln1elnxaxaa在0,上恒成立，即ln1eelnxxaa，令1x，故ea，接下来进行充分性证明：令 leelnnaxxg x，则 ee ln11xagx，令 0gx，解得：1lnxa，故当10,lnxa时，0g x，当1,lnxa时，0gx，故函数 leelnnaxxg x 在10,lnxa上单调递减，在1,lnxa上单调递增，故 leelnnaxxg x 在1lnxa处取得极小值，也是最小值，minln ln11lnle nelnagaxgaa，故只需证明ln ln1elnlnaaaa恒成立，当ea 时，令 lnexm xxx，故 21 ln0 xm

18、xx，即函数 m x在e,上单调递减，故 1eem am，即ln1eaa，故1elnaa，而由ea 可知0lln lnnaa，故ln ln1elnlnaaaa恒成立，所以，实数a的取值范围是e,（18）（12 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效高三数学答题卡第 2 页（共 6 页）（19）（12 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效（17）（10 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效班级姓名考场座号2022-2023 学年学年高高三三第一学期第一学期月考月考数学答题卡（理）数学答题卡（理）(1)(2)(3)(

19、4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)二、填空题二、填空题（共 20 分）(13)（5 分）(14)（5 分）(15)（5 分）(16)（5 分）三、解答题三、解答题（共 70 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效高三数学答题卡第 1 页（共 6 页）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效高三数学答题卡第 3 页（共 6 页）一、选择题一、选择题（共 60 分）注意事项：1.答题前，考生先将条形码粘贴在“贴条形码区”，并将本人学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在相应位置。2.答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水

20、签字笔书写；作图时，可用 2B 铅笔，笔迹要清晰；选择题填涂时，必须用 2B 铅笔按图示规范填涂。3.请在题号所示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷纸上答题无效。4.保持卡面清洁、完整，严禁折叠或在答题卡上作任何标记，严禁使用涂改液和修正带。贴条形码区按此文字方向粘帖考生号（20）（12 分）（21）（12 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效（22）（12 分）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效高三数学答题卡第 4 页（共 6 页）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效高三数学答题卡第 5 页（共 6 页）请在各题目答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答题无效高三数学答题卡第 6 页（共 6 页）