北京市2022-2023学年高三“极光杯”跨年线上测试数学试题含答案.pdf

1、数学试题 第 1 页（共 5 页）20222023 年度“极光杯”跨年线上测试 数 学 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。1.3i12i A.1i B.1 i C.17i5 D.17i5 2.设集合 2,1,2,3A

2、，|220Bxx，则AB A.2,1 B.2,3 C.2 D.2,2,3 3.在研究急刹车的停车距离问题时，通常假 定停车距离等于反应距离（1d，单位：m）与制动距离（2d，单位：m）之和.如图 为某实验所测得的数据，其中“KPH”表 示刹车时汽车的初速度v（单位：km/h）.根据实验数据可以推测，下面四组函数中 最适合描述1d，2d与v的函数关系的是 A.1dv，2dv B.1dv，22dv C.1dv，2dv D.1dv，22dv 数学试题 第 2 页（共 5 页）4.甲、乙、丙三人参与推理游戏，在某轮发言中，已知：若甲发言为真，则乙发言为真；若甲发言为假，则丙发言为假.则下列判断正确的是

3、 A.若乙发言为真，则丙发言为真 B.若乙发言为真，则丙发言为假 C.若丙发言为真，则乙发言为真 D.若丙发言为真，则乙发言为假 5.记等差数列na的前n项和为nS，已知515S，735S，则1a A.2 B.1 C.0 D.1 a6.设双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的右顶点为A，左、右焦点分别为1F，2F，P是 C在第一象限的一点，满足112|PFFF，2|PFPA，则C的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.5 7.已知正三棱锥PABC的侧棱长为6，底面边长为2 3，则以P为球心，2 为半径的球面与正三棱锥表面的交线长为 A.33 B.23 C.32 D.22 a8.设a，b，

4、(0,1)c满足sinab，cosbc，tanca，则 A.2acb，2acb B.2acb，2acb C.2acb，2acb D.2acb，2acb 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.已知(1,0)A，(3,2)B，(2,1)C，ABC的外接圆为M，则 A.点M的坐标为(1,1)B.M的面积是5 C.点(4,3)在M外 D.直线23yx与M相切 10.设函数()cos|sin|f xxx，则 A.()f x是偶函数 B.()f x的最小正周期为 C.()f

5、 x的值域为 1,2 D.()f x在(,)4单调递增 数学试题 第 3 页（共 5 页）11.在正方体1111ABCDABC D中，动点P从A出发，先沿体对角线1AC运动到1C，再沿面对角线1C D运动到D后停止.则在点P的运动过程中 A.直线1AP和AB所成的角先减小后增大 B.直线1AP和平面11CB D所成的角先减小后增大再减小 C.经过B，D，P三点的平面截正方体所得截面的面积先增大后不变 D.点P到B，1D两点的距离之和先减小后增大再减小 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。12.设随机变量2(1,)XN，21YX，()()1P XaP Ya，则a _.13

6、.在8(1)xx的展开式中，有理项的系数之和为_.（用数字作答）14.已知椭圆221:19xCy和双曲线22222:1xyCab(0,0)ab有相同的焦点1F，2F，点P是1C和2C的一个交点.若点Q满足1PQF是正三角形且2|6QF，则b _.四、解答题：本题共 7 小题，共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（10 分）已知非零平面向量a，b的夹角为3，|1aab.（1）证明：|3|abb；（2）设tR，求|tab的最小值.16.（10 分）如图所示为圆锥SO，已知其侧面的展开图是圆心角为 2，面积为的扇形.（1）求圆锥SO的体积；（2）设A和B是底面圆周上两点，且平

7、面SOA平面 SOB，求二面角ABSO的余弦值.数学试题 第 4 页（共 5 页）17.（12 分）“西电东送”是我国西部大开发的标志性工程之一，也是我国实现全国电力资源优化配置的一项重要的战略举措.某工厂对同一型号的 20 根电缆依次进行耐压测试，测得数据如下：156.0 225.5 132.0 246.7 867.9 86.4 610.4 125.7 150.4 117.6 201.9 207.2 189.8 585.8 153.1 565.4 511.0 567.0 222.3 141.5 为了检验这组观测值是否取自于同一总体，可以采用游程检验.设1x，2x，nx为依时间顺序连续得到的一

8、组样本观测值序列.记样本中位数为em，把序列中小于em的观测值替换为 0，大于或等于em的观测值替换为 1，这样就得到了一个仅由 0 和 1 两个元素组成的序列，其中以 0 为界的一连串的 1 或以 1 为界的一连串的 0 称为一个游程.例如序列 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0，它有 5 个 0 的游程和 4 个 1 的游程，总游程数为 9.当总游程数过小或过大时，可以认为这组数据受到非随机因素的干扰，反之则可以认为这组数据是随机取自于同一个总体.（1）求这组数据 0 的游程数；（2）已知总游程数R满足(6)(16)0.025P RP R，则是否有95%的把握认为这 20

9、根电缆是随机取自于同一总体？（3）使用总游程数进行检验有什么优缺点？请简要说明.18.（12 分）记ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2AB，32bc.（1）求tantanCB；（2）若ABC的周长为510，求ABC的面积.19.（12 分）设0m，数列na满足212nnnaama，nN.（1）若13a，2m，证明lg(1)na 是等比数列，并求na的通项公式；（2）若11am，证明：121112naaa.数学试题 第 5 页（共 5 页）20.（12 分）设O为坐标原点，直线ykxb(0)b 与抛物线2:2C xpy(0)p 相交于M，N两点，C在M，N两点处的切线相交于点P

10、，当4b 时，OMON.（1）求C的标准方程；（2）设C的焦点为F，证明：PMFFPN.21.（12 分）设函数()3sin22sin3 cosf xxxxax，aR.（1）若()f x在(0,(0)f处切线的倾斜角为4，求a；（2）若()f x在(,)单调递增，求a的取值范围；（3）证明：对任意nN，2221cos2cos4cos2cos20nnxxxxn.跨年测试参考答案 第 1 页（共 5 页）2022-2023 年度“极光杯”跨年线上测试 数学参考答案 一、选择题 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.D 8.A 二、选择题 9.BC 10.ACD 11.AB 三、填空题

11、 12.53 13.128 14.3 四、解答题 15.解：（1）由|1aab可得 22221aaa bb，所以22 0a bb.又因为a，b的夹角为3，故 11|22 a babb.联立两式可得2|0bb，结合b是非零向量可得|1b.所以222|21 1 13 abaa bb，则|33|abb.（2）22222213|21()24tttttt abaa bb，所以当12t 时，2|tab取最小值34，即|tab取最小值32.跨年测试参考答案 第 2 页（共 5 页）16.解：（1）设圆锥SO的母线长为l，底面圆半径为r，则其侧面展开图是半径为l，弧长 为2 r的扇形.由条件可知22rl，1(

12、2)42lr，解得4l，1r.则2215SOlr，圆锥SO的体积为21533Vr h.（2）由圆锥的性质，SO 平面OAB，则SOOA，SOOB.又平面SOA平面SOB，所以OAOB，从而OA，OB，OS两两垂直.以O为原点，OA，OB，OS分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Oxyz.可以得到(1,0,0)A，(0,1,0)B，(0,0,15)S.设平面ABS和平面OBS的一个法向量分别为1111(,)x y zn，2222(,)xyzn.则1100ABASnn，即11110150 xyxz，令11z 可得1(15,15,1)n；2200OBOSnn，即220150yz，令21z 可得

13、2(1,0,0)n.所以121212|15465cos,|3131 n nn nnn.又因为二面角ABSO为锐二面角，所以其余弦值为46531.17.解：（1）这组观测值的中位数是1(201.9207.2)204.552em.把序列中小于em的观测值替换为 0，大于或等于em的观测值替换为 1，得到序列 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0.其中 0 的游程数为 7.（2）这组观测值的总游程数为 13.由题设知(616)0.95PR，因此有95%的把握认为这 20 根电缆是随机取自于同一总体.（3）优点：操作容易，计算量小；不受总体分布的限制.缺点：对

14、样本信息使用不充分；游程的取值为整数，易产生误差.（答案不唯一，言之有理即可）跨年测试参考答案 第 3 页（共 5 页）18.解：（1）因为32bc，由正弦定理得3sin2sinBC.又因为2AB，所以4sinsin22sincossincos3ABBBCB.在ABC中，ABC，所以sinsin()sin()sincosABCBCBCsincosCB，则1sincossincos3BCCB.而coscos0BC，所以tan3tanCB.（2）一方面，2tantan4tantantan()tan()tantan13tan1BCBABCBCBCB，另一方面，22tantantan21tanBABB

15、，所以15tan5B.进而有6sin4B，10cos4B，所以102 cos2abCb.由题设可知，5105102abcb，则2b.故ABC的面积213 1063 15sin2844SacBb.19.解：（1）当13a，2m 时，2122nnnaaa.所以211(1)nnaa，两边取常用对数得1lg(1)2lg(1)nnaa.又因为1lg(1)lg20a，所以lg(1)na 是首项为lg2，公比为 2 的等比数列.则1lg(1)2lg2nna，1221nna.所以na的通项公式为1221nna，nN.（2）当1m 时，212nnnaaa，所以21(1)10nnnaaa，故na为递增数列.所以2

16、n时，221122naaaa.因此212320nnnnaaaa，则12nnaa，从而当2n时，1112nna.所以112121111112222nknknaaa.跨年测试参考答案 第 4 页（共 5 页）20.解：（1）设11(,)M x y，22(,)N xy.联立直线与C的方程，消去x得2220 xpkxpb.由韦达定理，122xxpk，122x xpb.特别地，当4b 时，128x xp.因为OMON，所以0OM ON，即21212121221()81604x xy yx xx xpp.解得2p ，所以C的标准方程为24xy.（2）C在M处的切线为11111(|)()()2x xyyyx

17、xxx，即21124xxyx；同理，C在N处的切线为22224xxyx.联立两条切线方程可得P的坐标为1212(,)24xxx x.由抛物线的定义，211|114xMFy ，222|114xNFy ，则 22222212|(1)(1)1(42)4(1)44xxMFNFkbbkb.而222|(2)(1)PFkb，所以2|PFMFNF.另一方面，212121121(,1)(,1)244coscos,|(1)4xxx xxxFP FMPFMFP FMxFPFMFP 2321121211222111(1)(1)1441644|(1)|(1)44xx xx xxx xbxxFPFPFP；同理，1cosc

18、os|bNFPPFMFP，所以NFPPFM.在NPF和PMF中，|PFMFNFPF，NFPPFM，故NPFPMF.因此有PMFFPN成立.跨年测试参考答案 第 5 页（共 5 页）21.解：（1）()6cos26cos3 cos2sin3 sinfxxxxxxa.依题意，(0)12tan14fa，所以11a .（2）()6cos26cos3 cos2sin3 sinfxxxxxxa 6cos24(cos3 cossin3 sin)2(cos3 cossin3 sin)xxxxxxxxxa 28cos24cos42(2cos21)(6)xxaxa.若6,)a，()0fx，()f x在(,)单调递

19、增，符合题意；若(12,6)a，则存在(0,)3使得16cos2(1)22a，此时()fx在(,)3取负值，则()f x在(,)3单调递减，不合题意；若(,12a ，则()120fxa，()f x在(,)单调递减，不合题意.综上所述，若()f x在(,)单调递增，则a的取值范围是6,).（3）由（2）可知，x R，8cos24cos460 xx，即4cos22cos430 xx.以2x，4x，232nx替换上式中的x，可得 4cos42cos83xx，4cos82cos163xx，22214cos22cos23nnxx.累加以上各式可得 22214cos26(cos4cos8cos2)2cos23(22)66nnxxxxxnn.又因为cos21x ，21cos21nx，所以有 2221cos2cos4cos8cos2cos20nnxxxxxn.