《垂直于弦的直径》教学2课件.ppt

1、OABCDE条件条件CD为直径为直径CDAB垂径定理的几何语言叙述垂径定理的几何语言叙述:CD为直径，为直径，AE=BE，AC=BC，AD=BD结论结论AE=BEAC=BCAD=BD垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧CDAB知识回顾：知识回顾：垂径定理的内容是什么？垂径定理的内容是什么？应用垂径定理的书写步骤应用垂径定理的书写步骤1 1定理：垂直于弦的直径平分弦定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.CDAB,CD是直径是直径,AE=BE,AC=BC,AD =BD.CAEBO.D应用垂径

2、定理的书写步骤应用垂径定理的书写步骤2 2定理：垂直于弦的直径平分弦定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.ODAB,AE=BE,AD =BD.OD过圆心过圆心，AEBO.D 应用垂径定理的书写步骤应用垂径定理的书写步骤3 3定理：垂直于弦的直径平分弦定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.OEAB,AE=BE OE过圆心过圆心，AEBO.判断下列图形，能否使用判断下列图形，能否使用垂径定理垂径定理？定理辨析定理辨析EDCOAB D C O A B E E O C D A BECOAB E D O A B E O A B1如图

3、，如图，O的半径为的半径为5cm，圆心，圆心O到弦到弦AB的的距离为距离为3cm，求弦，求弦AB的长的长例题：例题：E O A B(4)在半径为25cm的 O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是 CD是直径,最长弦长为_在RtOAC 中，应用垂径定理的书写步骤1答：O的半径为5cm.如图，O 中，弦AB 的长为8 cm，弓形ADB的高为2 cm，求 O 半径.已知 O 的半径为5，O 的两条平行弦AB6，CD8，那么AB 与CD 间的距离等于多少？(6)P为 O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；变式3：隐去（变式1）中的大圆，得右图连接OA，OB

4、，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？(1)已知AB、CD是 O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的两部分，则弦和圆心的距离为cm.AD =BD.4如图，AB为 O直径，E是弧BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_3、如图4，在 O中，AB为 O的弦，C、D是直线AB上两点，且ACBD求证：OCD为等腰三角形。求四边形OEPF的周长OE=(3)已知 O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 最长弦长为_你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？变式2：ACBD依然成立吗1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆

5、心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径例题：例题：解：解：OEAB222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：答：O的半径为的半径为5cm.118422AEAB 在RtAOE中在在 O中中 E O A B1.如图，如图，O 中，弦中，弦AB 的长为的长为8 cm，弓形，弓形ADB的高为的高为2 cm，求，求 O 半径半径.DABCO解解：连结：连结OA，过，过O 作作ODAB于于C交交 于于D，则则 ，cmABAC421 cmCD2 设设 ，则则 ，cmxOA cmxOC)2(在在RtOAC 中，中，222ACOCOA即即 x5222)2(4 xx答答：

6、O 的半径为的半径为5 cm.检测：检测：2 2、如图、如图4 4，在，在OO中，中，ABAB为为OO的弦，的弦，C C、D D是直是直线线ABAB上两点，且上两点，且0C0COD.OD.求证：求证：AC=BDAC=BDABCDOE应用垂径定理的书写步骤3(6)P为 O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；(3)已知 O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为应用垂径定理的书写步骤3定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.CD是直径,4如图，AB为 O直径，E是弧BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_应用垂径定理的

7、书写步骤3AB与CD 间的距离EF4+372、已知：如图，O 中，AB为 弦，C 为 弧AB 的中点，OC交AB 于D，AB=6cm，AC=BC,变式3：隐去（变式1）中的大圆，得右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？10 3 cm2、如图4，在 O中，AB为 O的弦，C、D是直线AB上两点，且0COD.(6)P为 O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；3、如图4，在 O中，AB为 O的弦，C、D是直线AB上两点，且ACBD求证：OCD为等腰三角形。AF=BF=3 CE=EB=4应用垂径定理的书写步骤24如图，AB为 O直径，E是弧BC中点

8、，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_OEAB，OFCD。3 3、如图、如图4 4，在，在OO中，中，ABAB为为OO的弦，的弦，C C、D D是直是直线线ABAB上两点，且上两点，且ACACBDBD求证：求证：OCDOCD为等腰三角为等腰三角形。形。ABCDOE4如图，AB为 O直径，E是弧BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_求四边形OEPF的周长如图，O 中，弦AB 的长为8 cm，弓形ADB的高为2 cm，求 O 半径.关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。(6)P为 O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的

9、最短弦长为_；如图，O 中，弦AB 的长为8 cm，弓形ADB的高为2 cm，求 O 半径.已知 O 的半径为5，O 的两条平行弦AB6，CD8，那么AB 与CD 间的距离等于多少？CD是直径,AC=BC,OEAB，OFCD。3、如图4，在 O中，AB为 O的弦，C、D是直线AB上两点，且ACBD求证：OCD为等腰三角形。(3)已知 O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m，过O 作OC AB 于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥

10、？AD =BD.最长弦长为_应用垂径定理的书写步骤2(4)在半径为25cm的 O中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是解：连结OA，过O 作ODAB于C交2、如图4，在 O中，AB为 O的弦，C、D是直线AB上两点，且0COD.CD是直径,ABCDO4 4、如图如图，两个圆都以点，两个圆都以点O O为圆心，小圆的弦为圆心，小圆的弦CDCD与大圆的弦与大圆的弦ABAB在同一条直线上。你认为在同一条直线上。你认为ACAC与与BDBD的的大小有什么关系？为什么？大小有什么关系？为什么？G 5.已知已知 O 的半径为的半径为5，O 的两条平行弦的两条平行弦AB6，CD8，那么，那么AB

11、 与与CD 间的距离等于多少？间的距离等于多少？ABDOC 解解:（1）若）若AB、CD 在圆心的同侧，过在圆心的同侧，过O 作作 OF AB 交交CD 于于E ABCDCDOE，连结，连结OA、OCAF=BF=3 CE=EB=4 F F E EOF=43522OE=EF=4-3=134522应用垂径定理的书写步骤34如图，AB为 O直径，E是弧BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_OEAB，OFCD。某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m，过O 作OC AB 于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱

12、桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m，过O 作OC AB 于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？(3)已知 O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为则 ，ABCD解：连结OA，过O 作ODAB于C交(6)P为 O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；判断下列图形，能否使用垂径定理？(3)已知 O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为设 ，则 ，定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的

13、两条弧.4如图，AB为 O直径，E是弧BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_已知 O 的半径为5，O 的两条平行弦AB6，CD8，那么AB 与CD 间的距离等于多少？求四边形OEPF的周长某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m，过O 作OC AB 于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？(6)P为 O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？（2）若）若AB、CD 在圆心在圆心O 的两侧的两侧同上，可求得同

14、上，可求得OF4、OE3AB与与CD 间的距离间的距离EF4+37MNCABD OFEOF=43522OE=EF=4-3=134522学会作辅助线学会作辅助线 6.如图，如图，P为为 O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点，PAAB2，PO5，求，求 O的半径。的半径。关于弦的问题，常常需要关于弦的问题，常常需要过过圆心作弦的垂线段圆心作弦的垂线段，这是一条，这是一条非常重要的非常重要的辅助线辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦圆心到弦的距离、半径、弦长长构成构成直角三角形直角三角形，便将问题，便将问题转化为直角三角形的问题。转化为直角三角形的问题。OBAP变式：变式：图中两圆为同心圆图中两圆为

15、同心圆变式变式3：隐去（变式：隐去（变式1）中的大圆，得）中的大圆，得右图连接右图连接OA，OB，设，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？D C O A B变式变式4：隐去（变式：隐去（变式1）中的大）中的大圆，得右图，连接圆，得右图，连接OC，OD，设，设OC=OD，AC、BD有什么关系？有什么关系？为什么？为什么？D C O A B变式变式1 1：ACAC与与BDBD有什么关系？有什么关系？D C O A B变式变式2 2：ACBD依然成立吗依然成立吗 N M D C O A B7如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，

16、两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB11 22AEAC ADAB，AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.8.8.已知：在已知：在OO中，弦中，弦ABCDABCD于于P P，OO的半径为的半径为5 5，AB=8AB=8，CD=6CD=6，OEABOEAB，OFCDOFCD。求四边形。求四边形OEPFOEPF的周长的周长OBADCFEP4 45 55 53 343 3(1)已知已知AB、CD是是 O中互

17、相垂直的弦，并且中互相垂直的弦，并且AB把把CD分成分成3cm和和7cm的两部分，则弦和圆心的距离为的两部分，则弦和圆心的距离为cm.(2)已知已知 O的半径为的半径为10cm，弦，弦MNEF,且且MN=12cm,EF=16cm,则则弦弦MN和和EF之间的距离为之间的距离为.(3)已知已知 O中，弦中，弦AB=8cm，圆心到，圆心到AB的距离为的距离为3cm，则此圆的半，则此圆的半径为径为(4)在半径为在半径为25cm的的 O中，弦中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是中点的距离是(5)O的直径的直径AB=20cm,BAC=30则弦则弦AC=(6)P为为

18、O内一点，内一点，OP=3cm，O半径为半径为5cm，则经过，则经过P点的最短点的最短弦长为弦长为_；最长弦长为最长弦长为_14cm或或2cm25cm10cm和和40cm10 3 cm8cm10cm随堂训练：随堂训练：1.1.填空填空 2、已知：如图，、已知：如图，O 中，中，AB为为 弦，弦，C 为为 弧弧AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D，AB=6cm，CD=1cm.求求 O 的半径的半径OA.DOABC3、如图为一圆弧形拱桥，半径、如图为一圆弧形拱桥，半径OA=10m，拱高为拱高为4m，求拱桥跨度，求拱桥跨度AB的长。的长。ACBDO4如图，AB为 O直径，E是弧BC中点，OE交

19、BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_?B?A?C?E?D?O某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2 m，过，过O 作作OC AB 于于D，交圆弧于交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO应用垂径定理的书写步骤应用垂径定理的书写步骤1 1定理：垂直于弦的直径平分弦定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.CDAB,CD

20、是直径是直径,AE=BE,AC=BC,AD =BD.CAEBO.D应用垂径定理的书写步骤应用垂径定理的书写步骤2 2定理：垂直于弦的直径平分弦定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.ODAB,AE=BE,AD =BD.OD过圆心过圆心，AEBO.D 应用垂径定理的书写步骤应用垂径定理的书写步骤3 3定理：垂直于弦的直径平分弦定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.OEAB,AE=BE OE过圆心过圆心，AEBO.小结小结:解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作过圆心作弦的垂线弦的垂线，连结半径连结半径等辅助线，为应用垂等辅助线，为应用垂径定理创造条件。径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO别忘记还有我哟！别忘记还有我哟！教材教材41页页 T4 T5作业：作业：