2022年全国高中数学联赛一试模拟试题.docx
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1、2022年全国高中数学联赛模拟卷(一试)一、填空题(共8小题,每题8分,共64分)1. 对所有正实数a,b,c,d,都满足(a3a3+15bcd)12axax+bx+cx+dx,则x=2. 若sin1=a,则i=1881sinisin(i+1)=3. 若经过点M(2,1)作直线l,交椭圆x216+y24=1于A,B两点,若M恰好为AB的三等分点,则l的斜率为_4. 将集合1,2,n任意划分成2个自己,其中必有一个子集中拥有2017个正整数x1,x2x2017,i=12016xi=x2017,则满足条件的最小正整数n=_5. 有四条长度为1的线段和两条长度为x 的线段,六条线段能够成一个三棱锥,
2、则x的取值范围为_6. k=1n(2k+1)4+(2k+1)2+1(2k)4+(2k)2+1 =44,则n=_7. 空间中有2017个点,讲每两点间线段的中点染上红色,则红点个数的最小值为_8. an=2+1n+12)n,n0,则n=11an-1an+1=_二、解答题(第9题16分,第10题20分,第11题20分)9.n2为正整数,ai,bi均为非负实数(i=1,2n),求证:(nn-1)n-11ni=1nai2+(1ni-1nbi)2i=1n(ai2+bi2)1n10.设数列an满足a1=7,a2=7,an2+5=an-1an+1n2, ,证明:若an+(-1)n为素数,则必存在整数k,使得n=3k.11.已知AB、CD是椭圆过焦点F的两条弦,AC,BD交于M,AD,BC交于N,若ABCD任意两点所在直线斜率都存在,求证:MFN是直角。2
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