3[1]11与312空间向量及其加减与数乘运算课件.ppt

1、3.1.13.1.1空间向量空间向量及其及其加减加减运算运算复习回顾：平面向量1、定义：既有大小又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母 表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。AB相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD相反向量相反向量:长度相等但方向相反的向量长度相等但方向相反的向量零向量零向量：长度为零的向量：长度为零的向量单位向量单位向量:长度等于长度等于1个单位的向量个单位的向量平行向量平行向量：方向相同或相反的非零向量：方向相同或相反的非零向量2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法

2、则aba ba ba (k0)ka (k0)ka (k0)k空间向量的数乘空间向量的加减法数乘空间向量的运算法则数乘空间向量的运算法则例如例如:a3a3a定义定义:abOABba结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2）

3、首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。01433221AAAAAAAAn加法结合律：)()(cbacbaabcab+c+()OABCab+abcab+c+()OABCbc+平面向量加法减法数乘运算运算律减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则)()(cbacbaabba空间向量及其加减与数乘运算空间向量加法交换律加法结合律数乘分配律减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则)()(cbacba加法结合律加法交换律abba数乘结合律：数乘结合律：()()aa 数乘结合律：数乘结合律：()()aa()abab数乘分配律()abab数乘:a,为正数,负数,零数乘:a

4、,为正数,负数,零练一练练一练 2：_CBABACABBCAB化简：ACCBAC._;_;DDADCDAACDAADCBAABCD中，则在平行六面体练一练练一练 3：ADBCCBADDC DA CD 练一练练一练 4：_)3(_)2(_)1(CBCAABDCBCABBCABCD化简：ADAD0P85 探究 始点相同的三个不共面的向量之和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量结论：例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)ABCDA1B1C1D1G11(1)1(2)()31(3)2A

5、BBCABADAAABADCC (1);ABBCAC 解：MABCDA1B1C1D1M(3)设设M是线段是线段CC1的中点的中点,则则)(311AAADAB121CCADABACCM AM(2)设设G是线段是线段AC1的三等分点的三等分点,则则113AC AGGABCDADBCACBD 空间四边形中，求证：ADBC)()(BDBCACAD=BDACBCAD证明：=0BDACBCADDCCD=3.1.23.1.2空间向量的空间向量的数乘运算数乘运算 共线向量（平行向量）共线向量（平行向量）（1）概念：如果表示空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合，则这些向量叫做共线向 量或平行向量 a a

6、平行于b,b,记作a ab bo a 规定规定:与任一向量与任一向量是共线向量是共线向量.（2）共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使a=b。lAPa 即，P,A,B三点共线。或表示为：(1).OPt OAtOB 练习练习:已知已知A A、B B、P P三点共线，三点共线，OO为直线为直线ABAB外一点外一点 ,且且 ，求，求 的值的值.OPxOAyOB xy 1、如果向量、如果向量e e1 1和和e e2 2是一平面内的两个不平是一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量行的向量，那么，该平面内的任一向量a与与 e1,e2有什么关系有什么关系?

7、如果如果e1和和e2是同一平面内的两个不平行的是同一平面内的两个不平行的向量，那么，该平面内的任一向量向量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟存在惟一的一对实数一的一对实数a a1 1，a a2 2，使使 a a1 e1 a2 e22、平面向量基本定理、平面向量基本定理复习：复习：共面向量共面向量:1.1.共面向量共面向量:平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.OAaa注意：注意：空间任意两个空间任意两个向量是共面的向量是共面的，但空，但空间任意三个向量就不间任意三个向量就不一定共面的了。一定共面的了。AabBCPp （1）必要性：必要性：如果向量如果向量p p与

8、向量与向量a a，b b共面，则通过平移一定可以使他们位于共面，则通过平移一定可以使他们位于同一平面内，由平面向量基本定理可知，同一平面内，由平面向量基本定理可知，一定存在唯一的实数对一定存在唯一的实数对x，y，使使p px a ay b b证明：证明：（2）充分性：充分性：如果如果p 满足关系式满足关系式p pxa ayb，则可选则可选定一点定一点O，作，作OAxa，OBACyb，于是，于是OCOAACxaybp，显然显然OA，OB，OC，都在平面，都在平面OAB内内，故故c，a，b共面共面BACOc共面向量定理的剖析共面向量定理的剖析 如果两个向量如果两个向量 a a，b b 不共线不共线

9、,向量向量p p与向量与向量a a，b b共面共面存在唯一的一对实数存在唯一的一对实数x x，y y，使，使 p px xa ay yb b p px xa ay yb b向量向量p p与向量与向量a a，b b共面共面(性质性质)(判定判定)OAabBCPp 已知点已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任内，并且对空间任意一点意一点O，,则则x的值为：的值为：OMxOAOBOC 111133331.1.0.3.3ABCD 已知已知A、B、C三点不共线，对平面外一点三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点，在下列条件下，点P是否与是否与A、B、C共面？共面？212(1);555OPOAO

10、BOC (2)22OPOAOBOC ；课本例题：如图，已知平行四边形课本例题：如图，已知平行四边形ABCD,从平从平面面AC外一点外一点O引向量引向量 ,求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.OEkOA OFkOBOGkOCOHkOD 例例2(课本例课本例)已知已知 ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG.BCDOEFGH证明：证明：四边形四边形ABCD为为 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k OCO

11、A kAC（）代（）代入入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 例例2 已知已知 ABCD，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG。证明：证明：由面面平行判定定理的推论得：由面面平行判定定理的推论得：EFOFOE kOBkOA()k OBOA kAB 由由知知EGkAC/EGAC/EFAB/EGAC面面面面ABCDOEFGH例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1

12、D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111 )1(解.1 1111xACCCCBABACxCCDAAB1111 )1(例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD.1x例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111(3)ACABAD 11()()()ADAB

13、AAABAAAD 12()ADABAA 12AC 111(3)ACABADxAC .2xABECFD)(21 )2()(21 )1(ACABAGBDBCAB练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中,点点E E、F F分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点,化简化简(1)EEFABB 原式FA 1FE+EB+AE+EC2=FEAAAA (2)原式=（）EF1.下列下列说明正确的是：说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共

14、线在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面空间的任意两个向量都共面(D)空间的任意三个向量都共面空间的任意三个向量都共面3.对于空间任意一点对于空间任意一点O，下列命题正确的是：，下列命题正确的是：(A)若若 ，则，则P、A、B共线共线(B)若若 ，则，则P是是AB的中点的中点(C)若若 ，则，则P、A、B不共线不共线(D)若若 ，则，则P、A、B共线共线OPOAt AB 3OPOAAB OPOAt AB OPOAAB