衡水中学2020届高考数学（理）二轮专题训练：专题24 恒成立问题-最值分析法专项训练（解析版）.doc

1、 专题 24 恒成立问题最值分析法专项训练 1、设 2 22f xxmx，当1,x 时， f xm恒成立，求m的取值范围 解、恒成立不等式为 2 220xmxm，令 2 22g xxmxm则对称轴为xm （1）当1m时， g x在1, 单调递增， min 11 220g xgmm 3m即3, 1m （2）当1m时， g x在1,m单调递减，在,m 单调递增 22 min 22021g xg mmmmm 1,1m 终上所述、3,1m 2、已知函数 2 ln x f xaxxa，对任意的 12 ,0,1x x ，不等式 12 1f xf xa恒成立， 则a的取值范围是_ 解、若不等式恒成立，则 1

2、2 max 1af xf x ， 1 f x与 2 f x差的最大值即为 f x最大值与 最 小 值 的 差 。 所 以 考 虑 求 2 ln x f xaxxa在0,1的 最 大 最 小 值 ， ln2ln1 ln2 xx fxaaxaaax， 若1a ， 则10 , l n0 x aa ， 所 以 1l n0 x aa，若01a，则10,ln0 x aa ，所以1 ln0 x aa。而20x ，所以无论a 为何值， 0fx ，则 f x在0,1单调递增。 maxmin 10lnf xf xffaa，从而 1lnaaa ，解得ae 答案、, e 3、已知函数 ln10f xaxa，在区间1,

3、e上， f xx恒成立，求a的取值范围 解、 f xx恒成立即不等式ln10axx 恒成立，令 ln1g xaxx 只需 min0g x即可， 10g 1 aax gx xx ，令 00 ax gxxa x （分析 g x的单调性） 当1a 时 g x在1,e单调递减，则 0 10g xg (思考、为什么以1a 作为分界点讨论？因为找到 10g，若要不等式成立，那么一定从1x 处起 g x要 增（不一定在1,e上恒增，但起码存在一小处区间是增的） ，所以1a 时导致 g x在1x 处开始单减，那么一定 不符合条件。由此请体会零点对参数范围所起的作用） 当1a 时，分xa是否在1,e中讨论（最小

4、值点的选取） 若1ae，单调性如表所示 x 1,a , a e g x + g x 10 1 0 g ae g e 1eae （ （1）可以比较 1 ,gg e的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦。由于最小值只会在1,xxe处取得， 所以让它们均大于 0 即可。 （2）由于1,xxe并不在1,e中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件） 若ae，则 g x在1,e上单调递增， 10g xg，符合题意 综上所述、1ae 4、 已知 1 1 ax x fxe x ，若对任意的0,1x，均有 1f x ，求a的取值范围 解、令 1 1 1 ax x g xe x ， 00g （ g x

5、从0x 起应单调递增） 2 2 2 1 ax axa gxe x 令 0g x ，即 22 202axaaxa 下面分情况讨论、 0a 时， 0g x 恒成立， g x在0,单调递增 0,1 ,00xg xg 0a 时， 2 22 1 a x aa 2 11 a 0,1x ， 0g x 恒成立， g x在0,单调递增 0,1 ,00xg xg 0a 时， 2 22 1 a x aa 2a 时， 2 2a x a 恒成立， g x在0,单调递增 0,1 ,00xg xg 2a 时， 2 22aa xx aa g x在 2 0, a a 单调减，在 2 ,1 a a 单调递增 2 0,(0)0 a

6、 xg xg a ，不符题意，舍去 综上所述、2a 5、 已知函数 2 1 x f xexax 对任意的0,x，均有 0f x ，求实数a的范围 解、 00f ( ) 21 x fxeax（不易直接出单调性，但是发现其中 00f，且 fx再求一次导，其 导函数容易分析单调性。进而可解） 00f 2 x fxea，令 0fx 即2 x ea，下面进行分类讨论、 （1）当0a 时， 0fx ， fx单调递增。 00fxf f x单调递增， 00f xf，满足条件 （此处为此题最大亮点，体会三点、单调性与零点是如何配合来确定 ,f xfx的符号的；每一步的目的 性很强， fx的作用就是以符号确定 f

7、 x的单调性，所以解题时就关注 fx的符号。而符号的确定同样要靠二 阶导数与一阶导函数的零点配合来得到； ,f xfx的零点是同一个，进而引发的连锁反应） （2）当0a 时，ln2xa（ln2a可正可负，而0,x，所以讨论 ln2a的符号） 当 1 ln200 2 aa时，ln2xa恒成立，即 fx恒大于零，则、 fx单调递增。 00fxf f x单调递增， 00f xf，满足条件 当 1 ln20 2 aa， 则0, ln 2xa时 ， 0fx 即 fx在0,ln2a单 调 递 减 ， 00fxf f x在0,ln2a单调递减， 00f xf，不符题意，故舍去 综上所述、 1 2 a 时，

8、0f x 恒成立 6、已知函数 ln1f xxax，aR （1）求函数 f x的单调区间 （2）若 ln 20 x fx x 对于任意的1,x恒成立，求a的取值范围 解、（1） 1 axa fx xx 0x 令 0fx 即0xa 当0a 时， 0fx 恒成立。 f x在0,单调递增 当0a 时，解得xa x 0, a , a g x + g x （2）解、恒成立不等式等价于 2 22ln2ln0xaxxxx 设 2 ( )22ln2lng xxaxxxx， 10g 1 421ln2gxxax x 1422 123gaa 0g x 恒成立， 10g 10g 否则若 10g，由于 g x连续 所以

9、必存在区间1,m使得 0g x ，即 g x在1,m单调递减 进而 0 1,xm， 0 10g xg，不符题意 （本质、 10g，所以要保证从1x 开始的一段小区间要单调增，进而约束导数符号） 3 2 a （这是a要满足的必要条件，最终结果应该是这一部分的子集，下面证 3 2 a 均满足条件或者寻找一个 更精确的范围） 下面证任意的 3 2 a 均满足条件。 构造函数 2 ( )23 ln2lnh xxxxxx（ 3 2 a 时的 g x） 则 ( )23ln0g xh xaxx 1,xg xh x ，若要 0g x 恒成立，只需证明 0h x 即可 10h 11 ( )43 1ln243ln

10、5h xxxxx xx 10h 2 222 41131431 40 xxxx hx xxxx 成立 h x在1,单调递增， 10h xh h x在1,单调递增， 10h xh成立 3 2 a 时， 1, ( )0xg xh x 恒成立，符合题意 3 2 a 7、 已知函数 2 1 2ln , 2 f xaxaxx aR ，若在区间1,上， 0f x 恒成立，求实数 a的取值范围 解、 1 120 2 faa 1 2 a 2 21112121 11 22 2 axxaxax fxaxa xxx 令 0fx ，即2110211axax （1） 1 210 2 aa 时，即 1 1 , 2 2 a

11、， 0fx 恒成立 f x在1,单调递减 10f xf 满足条件 （2） 1 2 a 时， 2 1 2ln 2 fxaxaxx ，考虑 44 ln0 2121 aa f aa ，不符题意，舍去 （注、这里需要对函数值进行估计，显然 1 0 2 a ，总有一个时刻， 2 1 2 2 axax 大于零，进而 0f x ， 所以考虑代入特殊值来说明。对于，所以构造时只需要 2 1 20 2 axax 即可，解得 4 1 21 a x a ，进而舍掉 1 2 a 的情况） 8、已知函数 1 x ax f x be ，曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为 2 10xeye。其 中2.71828e

12、为自然对数的底数 （1）求, a b的值 （2）如果当0x 时， 1 2 x k fx e 恒成立，求实数k的取值范围 解、 （1） 2 1 1 xx x a bebe ax fx be 22 1 1 11 a beabea f bebe ，切线方程、 22 1 11 e yx ee 22 1 11 a bee ，而 1 1 a f be 且在切线中， 1 1 y e 22 1 11 1 11 a bee a bee 解得、 1 1 a b 1 x x f x e （2）解、由（1）可得恒成立的不等式为、 2 21 1 xx xk ee 当0x 时， 2 2 21 211 1 xx xx xk

13、 xeke ee 2 1210 xx k exek 设 2 121 xx g xk exek，可得 00g 2 2 121 xx g xk exe 若 00g，则 0 0x，使得 0 0,xx时， 0g x g x在 0 0,x单调递减 则 0 0,xx时， 00g xg与恒成立不等式矛盾 00g不成立 00g 02 120gk解得、0k 下面证明0k 均可使得0x 时， 0g x 2 2 121211 xxxx gxk exeek ex 0k 1110 xx k exex 0g x g x在0,单调递增 00g xg，即不等式恒成立 当0x 时， 2 2 21 211 1 xx xx xk

14、xeke ee 2 12100 xx k exekg x 0k 同理， 2110 xx gxek ex g x在,0单调递增 00g xg 即0k 时不等式在,0x 恒成立 综上所述，0k 9、 设函数( )(1) x f xaex（其中2.71828e） ， 2 ()2gxxb x，已知它们在0x处有相同 的切线. （1）求函数( )f x，( )g x的解析式； （2）若对2,( )( )xkf xg x 恒成立，求实数k的取值范围. （1）解、由题意可知 ,f xg x在0x处有公共点，且切线斜率相同 ,f xg x在0x处有相同的切线. 00 00 fg fg 2 ,2 x fxaex

15、g xxb 22 24 aa abb 2 21 ,42 x f xexg xxx （2）解、令 2 2142 x F xkexxx，只需 min0F x 2224212 xx Fxkexxkex 2x 令 01 x Fxke 2,( )0xF x 均成立， 0220Fk 1k （上一步若直接求单调增区间，则需先对k的符号 进行分类讨论。但通过代入0x （ 0 1e ，便于计算） ，解得了k要满足的必要条件，从而简化了步骤。 ） 解得 11 ln x ex kk 2,x 下面根据 1 lnx k 是否在2,进行分类讨论、 2 1 ln2ke k F x在2,单调递增。 22 2min 2 222

16、0F xFkeek e 与已知矛盾（舍） 2 1 ln2ke k F x在2,单调递增。 22 2min 2 2220F xFkeek e 满足条件 2 1 ln21ke k 则 x 1 2,ln k 1 ln, k Fx F x 2 1 ln min 1111 ln2ln1ln4ln2 k F xFk e kkkk 11 lnln20 kk 恒成立，故满足条件 综上所述、 2 1,ke 10、设函数 2 ln ,fxxax aR （1）若xe为 yf x的极值点，求实数a （2）求实数a的取值范围，使得对任意的0,3xe，恒有 2 4f xe成立.注、e为自然对数的底数 解、 （1） 2 (

17、 ) 2ln=2ln1 xaa fxxaxxax xx xe是 f x的极值点 30 a feeaae e 或3ae，经检验符合题意 ,3ae ae （2）解、恒成立的不等式为 2 2 ln4xaxe，考虑选择最值法 当0,1x时，无论a为何值，不等式恒成立（ f x的单调区间必然含参数，首先将恒成立的部分剔除， 缩小x的取值范围以方便后期讨论） ( ) fx ( )= 2ln1 a fxxax x ，记 2ln1 a h xx x 2 2 ln4fxxaxe恒成立，所以 2 2 33ln34feeaee 22 33 ln3ln3 ee eae ee （通过特殊值代入缩小a的范围，便于分析讨论

18、） 110,2ln0hah aa 00 1,0xah x （解不出具体的极值点，但可以估计其范围，利用零点存在性定理，同时得到a与 0 x的关系、 00 0 210 a h xx x ) h x单调递增 00 1,0;,0xxh xxx ah x 00 1,0;,0;,0xxfxxx afxxafx x 0 1,x 0, x a , a fx f x 若 2 2 ln4fxxaxe，只需 2 2 000 2 2 ln4 33ln34 fxxaxe feeaee 由 00 0 2ln1 a h xx x 得 000 2lnaxxx代入得、 32 000 4ln41xxexe 000 2ln1,3

19、axxxe 由式得 22 33 ln3ln3 ee eae ee 综上所述， 2 3,3 ln3 e aee e 11、已知定义域为R的奇函数 f x，当0x 时， 0f xxaa a，且对xR ，恒 有 f xaf x，则实数a的取值范围是（ ） A. 0,2 B. 02, C. 1 0,16 D. 016, 答案、D 解析、利用对称性可作出 f x的图像，f xa可视为 f x的图像向左平移a个单位，则恒成立不 等式的几何含义为f xa的图像始终在 f x的上方，通过数形结合可得、若0a ，则 416aaa；若0a ，也满足 f xaf x。所以a的取值范围是 016, 12、已知函数 2

20、x f xx e，当1 ,1x 时，不等式 f xm恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A 1 , e B 1 , e C, e D, e 答案、D 解析、 若 mf x恒成立， 则 maxmf x， 2 22 xxx fxxex ex xe， 所以 f x在1,0 单调递减，在0,1单调递增。 1 1,1ffe e ，所以me 13、当2,1x 时，不等式 32 430axxx恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. 5, 3 B. 9 6, 8 C. 6, 2 D. 4, 3 答案、C 解析、2,0x 时，恒成立不等式等价于 2 3 43xx a x 2 3 min 43xx a x 设

21、2 3 43xx f x x 322 2 644 24343 9189 xxxxx xxxx fx xxx 2,0x f x在2, 1单调递减，在1,0单调递增 min 12f xf 当0x 时，可知无论a为何值，不等式均成立 当0,1x时，恒成立不等式等价于 2 3 43xx a x 2 3 max 43xx a x ，同理设 2 3 43xx f x x 4 91xx fx x f x在0,1单调递增 max 16f xf 6a 综上所述、6, 2a 14、设函数 3sin x f x m ，若存在 f x的极值点 0 x满足 2 22 00 xf xm ，则m的取值范围 是（ ） A.

22、, 66, B. , 44, C. , 22, D. , 11, 答案、C 解析、 3cos x fx mm ，令 0fx 可得、 cos0 2 xx kkZ mm 2 m xkm kZ 不等式转化为、 2 22 2 +3sin 2 m km m kmm m 整理后可得、 2 22 1 3 2 kmm kZ ，使得 2 2 1 13 2 km 若0k 且1k ，则 2 1 10 2 k ，不等式不能成立 只需0k 或1k 时，不等式成立即可 2 3 3, 22, 4 mm 15、设函数 21 x f xexaxa其中1a ，若存在唯一的整数 0 x，使得 0 0f x，则a的取 值范围是（ ）

23、 A. 3 ,1 2e B. 33 , 24e C. 33 , 24e D. 3 ,1 2e 答案、D 解析、210121 xx exaxaa xex 当1x 时，不等式不成立 当1x 时，可得 211 221 11 xxx x aeee xx ，与1a 矛盾，故不成立 当1x 时，可得 211 2 11 xx x aee xx 设 1 2 1 x g xe x 22 2311 2 1 11 xxx xx gxeee x xx g x在,0单调递增，在0,1单调递减 01g 唯一的整数 0 x使得 0 0f x即 0 ag x，又 1,01ag 0 0x g x在,0单调递增 1 33 1 2

24、2 age e 3 ,1 2 a e 16、已知定义在0,1上的函数 f x满足、 010ff 对所有的,0,1x y，且xy，有 1 2 f xfyxy 若对所有的,0,1x y， f xfyk恒成立，则k的最小值为（ ） A. 1 2 B. 1 4 C. 1 2 D. 1 8 答案、B 解析、不妨设01yx 当 1 2 xy时， 11 24 f xfyxy 当 1 2 xy时， 10f xfyf xffyf 11111 101 22224 f xffyfxyxy 1 4 k即 min 1 4 k 17、已知函数 2 ln() () xxb f xbR x ，若存在 1 ,2 2 x，使得

25、0f xxfx，则实数b的 取值范围是（ ） A 3 (, ) 2 B 9 (, ) 4 C(,3) D(,2) 答案、B 解析、 2 22 22 1 2ln 1ln xxbxxb xxbx fx xx 2 222 ln1ln221 0 xxbxxbxbx f xxfx xxx 问题转变为、 1 ,2 2 x ，使得 2 2210xbx ，即 2 max 21 2 x b x 2 max max 21119 2 222 24 x x xx 9 4 b 18、已知函数 2 ln1fxaxx，在区间0,1内任取两个不相等的实数, p q，若不等式 11 1 fpf q pq 恒成立，则实数a的取值

26、范围是（ ） A. 15, B. 6, C. ,15 D. ,6 答案、A 解析、不妨设01qp，则恒成立不等式等价于11fpf qpq 即11fppf qq，设 1g xf xx，则 g x在0,1单调递增 2 2 ln21ln231g xaxxxaxxx 23 2 a gxx x 0g x对0,1x恒成立，即 2 232276axxxx 设 2 276h xxx，可知 h x在0,1单调递增 115h xh 15a 19、已知 32 ln ,2f xxx g xxaxx ，若对任意的 0,22xf xg x恒成立， 则实数a的取值范围是_ 答案、2a 解析、恒成立不等式为、 2 2 ln3

27、21xxxax max 11 2ln3 2 axx x 设 1 2ln3g xxx x 2 222 31121321 3 xxxx gx xxxx 令 0g x 定义域0,x 310x 解得1x f x的单调区间为、 x 0,1 1, ( ) fx f x max 14g xg 2a 20、已知不等式xya xy对一切0,0xy恒成立，则a的取值范围是_ 答案、2a 解析、恒成立不等式为 xy a xy ，所以 max xy a xy ，由均值不等式可知、 22 222 xyxyxy xyxy ， 所以 2 2 xyxy xyxy ， 即2a 21、若不等式 2 211xa x 对满足11a

28、的所有a都成立，则x的取值范围是_ 答案、 2,1331,2 解析、恒成立不等式为、 2 1210a xx ，设 2 121f aa xx，则不等式恒成立只 需 2 2 1022031 102002 fxxx fxxx ，所以312x 解得 2,1331,2x 22、已知不等式组 2 2 430 680 xx xx 的解集是关于x的不等式 2 290xax解集的一个子集，则实数 a的取值范围是_ 答案、3a 解析、不等式组 2 2 430 680 xx xx 的解集为2,3，由子集关系可将问题转化为2,3x ，不等式 2 290xax恒 成 立 ， 从 而 9 2ax x 恒 成 立 ， 因

29、为 9 2f xx x 为 减 函 数 ， 所 以 33f xf ，从而3a 23、若不等式 2 1 2122 2 xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_ 答案、 1 1, 2 解析、若不等式恒成立，则 2 min 1 2212 2 aaxx 设 1 31, 2 1 2123, 2 2 31.2 xx f xxxxx xx 可知 min 15 22 f xf 22 151 22101, 222 aaaaa 24、 已知 2 2 43,0 23,0 xxx f x xxx ， 不等式2f xafax在 ,1a a 上恒成立，则a的取值范围是_ 答案、, 2 解析、 作出 f x的图像

30、可知 f x为减函数，所以恒成立不等式等价于 2xaax在,1xa a恒成立，即 max 221axa，解得、2a 25、 已知函数 | )( x exf， 对任意的) 1(, 1 mmx， 都有exxf )2(， 则最大的正整数m为_ 答案、4 解析、作出函数 2x g xe 和 h xex的图像，可知 11ghe， 2 444gehe， 3 555gehe，所以5m，即m的最大整数值为 4 26、关于x的不等式 2 130axxa的解集为, ，则实数a的取 值范围是_ 答案、 1 , 2 解析、问题转化为xR ， 2 130axxa恒成立 222 111 333 xxx a xxx ，设

31、2 1 ,1 1 4 12 3 1 0,1 x x g x x x x x 可得、 4 12, 62, 1 x x 1 0, 2 g x 1 2 a 27、已知函数 x e x xf | )(，1224)( 21 mmmxg xx ，若RexgfxM)(|，则 实数m的取值范围是 答案、2,0 解析、 ,0 ,0 x x x x e f x x x e ，作出函数图像可知若MR，则 1g x 12 ( )42211 xx g xmmm 恒成立 即 2 2 22220 xx mmm对xR 恒成立 设2 ,0, x tt， 22 220tmtmm恒成立 设 2 222 222h ttmtmmtmm

32、m，对称轴tm （1）当0m时， 2 min 2010h xh mmmm ，不符题意 （2）当0m时， 2 02020h xhmmm 综上所述、2,0m 28、已知 22 0,lnaf xaxxax，若不等式 32ef xe对任意1,xe恒成立，则实数 a的取值范围为_ 答案、1e 解析、令1x 可得、 11feae 2 2 2,0 xaxaa fxxaa xx 由1ae 可知、 f x在1,e上单调递增 22 11 1 213232 feae ae eaeaeaeef ee 1ae 29、已知0,0xy，若 2 28 7 yx mm xy 恒成立，则实数m的取值范围是_ 答案、8,1m 解

33、析 、 若 2 28 7 yx mm xy 恒 成 立 ， 则 2 min 28 7 yx mm xy ， 由 均 值 不 等 式 可 得 、 2828 28 yxyx xyxy ，所以 2 78mm解得、8,1m 30、若不等式12axy对满足 22 5xy的一切实数, x y恒成立，则实数a的取值范围是 _ 答案、6a或4a 解 析 、 由 22 5xy可 设 5 c o s ,0 , 2 5 s i n x y ， 恒 成 立 不 等 式12axy可 知 m a x12axy， 而25c o s2 5s i n5 s i n5xy， 所以15a解得、6a 或4a 31、已知0a ，函数 2 ( ), ( )lnf xaxx g xx. (1)若 1 2 a ，求函数 ( )2 ( )p xf xg x的极值； (2)是否存在实数a,使得( )()f xg ax恒成立？若存在,求出实数a的取值集合；若不存在，请说明理 由 解析