衡水中学2020届高考数学（理）二轮专题训练：第13炼 利用数学模型解决实际问题专项训练（解析版）.doc

1、 第 13 炼 利用数学模型解决实际问题 1、如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB 的延长线上， N在AD的延长线上，且对角线MN过C 点。已知3AB 米，2AD 米。 （1）设xAN （单位、米） ，要使花坛AMPN的面积大于 32 平方米，求x 的取值范围； （2）若)4 , 3x（单位、米） ，则当,AM AN的长度分别是多少时，花坛 AMPN的面积最大？并求出最大面积。 （1 解、NDCNAM NDDC ANAM 3 2 DC ANDC ANx AM NDANADx 2 3 2 AMPN x SANAM x 依题意可得、 2 2 3 323326

2、400 2 x xxx x 解得、 8 2,8, 3 x （2）解、设 2 3 2 x f x x )4 , 3x 44 32=324 22 f xxx xx 设2tx，则1,2t 则 4 34yt t ，根据对勾函数可得、1t 时，y达到最大值，即27y 此时13tx ，所以 3 3,9 2 x ANAM x 答、当3,9ANAM时，四边形AMPN的面积最大，为 2 27m 2、时下网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的 套题每日的销售量 y （单位、 千套） 与销售价格:x（单位、 元/套） 满足的关系式 2 46 2 m yx x ， 其中26

3、,xm为常数已知销售价格为 4 元/套时，每日可售出套题 21 千套 （1）求m的值； （2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题 2 元（只考虑销售出的套数） ，试确定销售价 格x的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大 （保留 1 位小数） 解、 （1）将4,21xy代入关系式可得、 2 214 4610 2 m m （2 解、依题意所获利润 210 2246 2 f xxyxx x 化简可得、 32 456240278f xxxx 26x 2 121122404 3106fxxxxx 令 0fx ，即解不等式31060xx 26x 解得 10 3 x f x在 10 2, 3

4、单调递增，在 10 ,6 3 单调递减 f x在 10 3 x 取得最大值，即3.3x 3、某人销售某种商品，发现每日的销售量y（单位、kg）与销售价格x （单位、元/kg）满足关系式 159, 6 177 , 96 ,)9( 6 150 2 xx x xxa x y， 其中a 为常数.已知销售价格为 8 元/kg 时， 该日的销售量是 80kg. （1）求a的值； （2）若该商品成本为 6 元/kg，求商品销售价格x为何值时，每日销售该商品所获得的利润最大. 解、 （1）当8x 时， 2150 8089 86 a ，解得、5a 2150 59,69 6 177 ,915 6 xx x y x

5、x x （2 解、设商品利润为 f x，则有 6f xxy，由第（1）问可得、 2150 659,69 6 6 177 6,915 6 xxx x f xxy xxx x 当69x时， 2 150596f xxx 则 2 592691579fxxxxxx 令 0fx ，由6,9x 解得、67x f x在6,7单调递增，在7,单调递减 7170f xf 当915x时， 2 2 17763186f xxxx f x在9,15单调递减 9150f xf 79ff max170f x 4、已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料 200 千克，配料的价格为1.8元/千克， 每次购买配料需

6、支付运费 236 元，每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下、7 天以内（含 7 天） ，无论重量度搜好，均按 10 元/天支付，超出 7 天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天 0.03 元/千克支付 （1）当 9 天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？ （2）设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数关系式，并 求出该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 解、 （1）第 8 天剩余配料为2 200400（千克） 第 9 天剩余配料为200千克 该厂用于配料的保管费为、700.03 4000.03 20088P （元

7、） （2）当7x 时，36010236236370yxxx 当7x 时，3602367067621yxxx 2 3321432xx 综上所述、 2 236370 ,7 3321432,7 x x y xxx 设W为平均每天支付的费用，则 2 236370 ,7 3321432 ,7 x x yx W xxx x x 当7x 时， 236370236 370 x W xx ，当7x 时， min 2826 404 7 W 当7x 时， 432144144 332133213 2321393Wxxx xxx 等号成立条件、 144 12xx x min 393W（元） 5、甲，乙两校计划周末组织学

8、生参加敬老活动，甲校每位同学的往返车费是 5 元，每人可为 3 位老人 服务，乙校每位同学往返车费是 3 元，每人可为 5 位老人服务，两校都有学生参加，甲校参加活动的学 生比乙校至少多 1 人，且两校同学往返总车费不超过 45 元，如何安排甲，乙两校参加活动的人数，才 能使收到服务的老人最多？此时受到服务的老人最多有多少人？ 解、设甲校人数为x，乙校人数为y，依题意，, x y应满足的条件为、 5345 1 , xy xy x yN 目标函数 3 35 55 z zxyyx ，通过数形结合可得。 动 直线l经过M时，z取得最大值 53456 : 15 xyx M xyy 6,5M max 3

9、543zxy 6、如图，某海滨浴场的岸边可近似地看成直线，位于岸边 A 处的救生员发现海中 B 处有人求救，救生 员没有直接从 A 处游向 B 处，而是沿岸边自 A 跑到距离 B 最近的 D 处，然后游向 B 处，若救生员在岸边 的行进速度为 6 米/秒，在海中的行进速度为 2 米/秒，45BAD。 （1）分析救生员的选择是否正确； （2）在 AD 上找一点 C，使救生员从 A 到 B 的时间为最短，并求出最短时 间 解、 （1）从图形可得、 300 300 2 sin45 AB ，所以 1 300 2 150 2 2 t （s） 而300ADBD，所以 2 300300 200 62 t （

10、s） 12 tt，所以救生员的选择是正确的 （2）设CDx，则 22 300BCx，设所用时间为 f x 22 300300 62 xx f x 22 2222 1123003 62 2 3006 300 xxx fx xx 令 0fx ，即解不等式 2222 330003300xxxx 222 9300xx 2 2 300 8 x，解得、75 2x f x在0,75 2单调递减，在75 2,300单调递增 min 75 250100 2f xf（秒） 答、当75 2CD 时，救生员所用的时间最短，为50100 2秒 答、甲，乙两校参加活动的人数分别为 6 和 5 时，受到服务的老人最多，最多

11、为 43 人 7、某人有楼房一幢，室内面积共计 180m 2，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为 18m2， 可住游客 5 名，每名游客每天住宿费 40 元；小房间每间面积为 15m 2，可以住游客 3 名，每名游客每天 住宿费 50 元；装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需要 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于 装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，每天能获得最大的房租收益？（注、设 分割大房间为x间，小房间为y间，每天的房租收益为z元） ，求, x y各为多少时，每天能获得最大的房 租收益？每天能获得最大的房租收益是多少？ 解、依题意可

12、得对, x y的约束条件为、 18151806560 100060080005340 , xyxy xyxy x yNx yN ，所求目标函数为200150zxy 作出可行域，依图可得、直线过3,8M或0,12M时，z最大，即 max 18000z 答、当大房间为 3 间，小房间为 8 间；或者不设大房间，小房间为 12 间时，收益最大，最大值为18000 元 8、某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半 径是R的圆面，该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界 4ABAD万米，6BC 万米，2CD 万米 （1）请计算原棚户区建筑用地

13、ABCD的面积及圆面半径R的值 （2）因地理条件的限制，边界,AD CD不能变更，而边界,AB BC可以调整，为了 提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改 造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值 解、 （1）在ABC中，由余弦定理可得、 222 2cosACABBCAB BCB 在ADC中，由余弦定理可得、 222 2cosACADDCAD DCD 因为四边形ABCD内接于圆 180BD coscosBD 所以由可得、 2222 462 4 6cos42242cosBB 解得、 1 cos60 2 BB 120D 11 sinsin 22 ABCDABC

14、ADC SSSAB BCBAD DCD 11 46sin6024sin1208 3 22 （万平方米） 由余弦定理可得、 222 2cos28ACABBCAB BCB 2 7AC 2 74 21 2 sin33 2 AC R B 2 21 3 R （2）设,APx CPy，可知 APCDAPCADC SSS 由（1）可知2 3 ADC S 若要APCD面积最大，只需 APC S最大 113 sinsin 224 APC SAP CPPAP CPBxy 在APC中，由余弦定理可得、 222 2cosACAPPCAP PCP 即 2222 282cos6028xyxyxyxy 22 2xyxy 2

15、2 282xyxyxyxy，即28xy 当且仅当xy时，等号成立 33 2 32 3289 3 44 APCD Sxy 所以四边形APCD的最大面积为9 3万平方米 9 、 如 图 是 一 块 平 行 四 边 形 园 地ABCD， 经 测 量 ， 20 ,10 ,120ABm BCmABC，拟过线段AB上一点E设计一条直路EF（点F在四边形 ABCD的边上，不计路的宽度） ，将该园地分为面积比为3:1的左，右两部分，分别种植不同的花卉， 设,EBx EFy（单位、m） （1）当点F与点C重合时，试确定点E的位置 （2）求y关于x的函数表达式 （3）试确定点,E F的位置，使得直路EF长度最短

16、解、 （1）当F与C重合时， 1 2 BEF SBE h（设h为平行四边形的高） ABCD SAB h 依题意可得、 1 4 BEFABCD SS即 11 24 BE hAB h 1 2 BEAB即E为AB的中点 （2）E在线段AB上 020x 当10,20x时，可得F在线段BC上 20 ,10 ,120ABm BCmABC 3 sin20 10100 3 2 ABCD SAB BCABC 1 25 3 4 EBFABCD SS 13 sin120 24 EBF SBE BFx BF 100 BF x 在BEF中 2 2222 100100 2cos2cos120EFBEBFBE BFEBFx

17、x xx 2 2 10000 100yEFx x 当0,10x时，点F在线段CD上，此时四边形EBCF为梯形或平行四边形 1 10sin60 2 EBCF SxCF，由 1 25 3 4 EBCFABCD SS得、 10CFx 当BECF时， 2 22 102102 10210 cos1202525EFxxxx 当BECF时， 2 22 101022 10102cos602525EFxxxx 即 2 2525yxx 综上所述可得、 2 2 2 10000 100,1020 2525,010 xx xy xxx （3）即求y的最小值 当10,20x时， 22 22 1000010000 1002

18、10010 3yxx xx 等号成立条件、 2 2 10000 10xx x 当0,10x时， 2 575 25 3 24 yx 等号成立条件、 5 2 x min 5 3y，此时2.5,7.5BECF 10、如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函 数sin0,0,0,4,0yAxAx 的图像，图像的最高点为1,2B ，边界的 中间部分为长 1 千米的直线段CD，且CDEF，游乐场的后一部分边 界是以O为圆心的一段圆弧DE （1）求曲线FGBC的函数表达式 （2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备 从入口G，修一条笔直

19、的景观路到O，求景观路GO的长度 （3）如图，在扇形ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ，平行四边形的一边在海岸线EF上， 一边在半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且POE，求平行 四边形休闲区OMPQ面 积的最大值及此时的值 解、 （1）由1,2B 可知2A ，4,0F 对于sinyAx，41412T 2 6T 此时2sin 6 yx ，由图像过1,2B 可得、 2sin2sin1 66 2 62 kkZ 2 = 3 曲线FGBC的函数表达式为 2 2sin 63 yx （2）由已知可得1 G y 221 2sin1sin 63632 GG xx 2 =2 636 G xk 或 25 =2 636 G xk 解得、3 12 G xk 或1 12 G xk ，由4,0 G x 可得、3,1G 10OG （3）由图可知，3,1OCCD 2, 6 DOCOD 过P作 1 PPx轴于 1 P 在 1 Rt OPP中 1 sin2sinPPOP 在OMP中 sin120sin 60 OPOM 2 3 sin 602cossin sin1203 OP OM 1 2 32 32 3 2cossin2sin2sin2cos2 333 OMPQ SOMPP 4 32 3 sin 2,0, 3633 2 626 时， OMPQ S的最大值为 2 3 3