32[1]-柯西积分公式课件.ppt

1、 第三节第三节 柯西积分公式及其推论柯西积分公式及其推论问题的提出0 ,.DzD设为一单连通域为中一点 ,d)(0 Czzzzf一一般般不不为为零零所所以以00()(),.f zf zDzzz如果在内解析 那末在不解析根据复围线积分性质知根据复围线积分性质知,该积分值不随闭曲线该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变的变化而改变,0.CDz为内围绕的闭曲线,00 zzzC的正向圆周的正向圆周半径为很小的半径为很小的为中心为中心取作以取作以积分曲线积分曲线 ,)(的连续性的连续性由由zf,)(0处的值处的值接近于它在圆心接近于它在圆心的缩小而逐渐的缩小而逐渐的值将随着的值将随着上函数上函数在在zzf

2、C )(.d)(d)(000缩缩小小将将接接近近于于 CCzzzzfzzzzf Czzzzfd)(00).(2d1)(000zifzzzzfC 一、柯西积分公式1定理定理3.1 ,(),=D+C,DC f zDD设区域 的边界是周线或复周线在 内解析 在上连续 则D.zC证明证明1()(),()2Cff zdzDiz这就是柯西积分公式.zD 对()()fFz设DzCKNoImage(),FDz则在 内除 外解析NoImage,KD使及其内部全含于 内,CK 对复周线由定理有()()CKffddzz(),f zD因为在 连续0,所以对只要 充分小,就有()(),()2ff zK()dCfz而()

3、dKfz()dKf zz()()dKff zz2()if z()()dKff zz()()dKff zzDzCKNoImage()d2()Cfif zz故()()dKff zsz.2Kds0()limd2()Kfif zz故根据复周线积分定理,上面积分值与 无关()d2()Cfif zz即柯西积分公式柯西积分公式2定义定义3.1在定理3.1条件下1()d,()2CfzCiz称为柯西积分.关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的内部任一点的值用它在边界上的值表示值表示.(这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计

4、算某些复变函数沿闭路积公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分而且给出了解析函数的一个积分表达式表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3)Cauchy积分公式也可写成积分公式也可写成()d2()(),(3.15)Cf zzif aaDza,a D但若则()d0.Cf zzza推论1 如果C是圆周z=z0+Reiq,则柯西积分公式成为2000(e)1()e d2eiiif zRf ziRiRqqqq2001(e)d2if zRqq0Reif z-一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.推论2 设 f(z)在

5、二连域 D内解析，在边界上连续，则 100012CCf zf zf zdzdzizzzz0.zDD0zC1C三、典型例题例例1 1解解 44.d3211)2(;dsin21(1)zzzzzzzzi求求下下列列积积分分 4dsin21(1)zzzzi ,sin)(在在复复平平面面内内解解析析因因为为zzf ,4 0内内位位于于 zz 4.d3211)2(zzzz 44d32d11zzzzzz2212 ii.6 i 4dsin21zzzzi;0 由柯西积分公式由柯西积分公式0sin221 zzii例例2 2 2.d1 zzzze计计算算积积分分解解 ,)(在在复复平平面面内内解解析析因因为为zez

6、f ,2 1内内位于位于 zz由柯西积分公式由柯西积分公式122d1 zzzzeizze.2ie 例例3 3.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解 )1(12zz)(1izizz izizz )(1)(zf ,21 )(内内解解析析在在因因为为 izzf,0iz 由柯西积分公式由柯西积分公式 212d)1(1izzzz 21d)(1izzizizzizizzi )(122212ii .i 例例解解).1(,d173)(,3 222ifzzfyxCC 求求表表示示正正向向圆圆周周设设 根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,内内时时在在当当Czzizf )173(2)(2),173(

7、22 zzi),76(2)(zizf故故 ,1 内内在在而而Ci).136(2)1(iif 所所以以例例5 5;211 (1):,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分解解 2112d14sin)1(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 例例5 5;211 (2):,d14sin 2 zCzzzC其中其中计算积分计算积分 2112d14sin)2(zzzz 211d114sinzzzzz114sin2 zzzi;22i 解解 22d14sin)3(zzzz由闭路复合定理由闭路复合定理,得得例例5 5.2 (3):,d14sin 2 zCzzz

8、C其其中中计计算算积积分分解解 22d14sinzzzz 2112d14sinzzzz 2112d14sinzzzzii 2222.2 i 例例6 6.d)cos(sin ,d0cos1 q qq qq qezzezz并并证证明明求求积积分分解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,1dzzzze02 zzei;2 i )(,q qq qirez令令,1 rz 1dzzzzeq qq qq qq qdiireirereei q qq qdiee i q qq qq qdsincosie i cos0cosd)sin(sind)cos(sin2q qq qq qq qq qq qeeiq qq

9、qdiee i ,2d 1izzezz 因为因为 cos0cosd)sin(sind)cos(sin2q qq qq qq qq qq qeei 1dzzzze比较两式得比较两式得.d)cos(sin0cos q qq qq qe例例7 7(),0,f zzRazR设在闭圆上解析 如果存在使当时()f za而且(0)fa,().zRf z试证 在圆内至少有一个零点证明证明()f zzR若在内无零点,1(),()F zzRf z从而在内解析,()0,zRf za由于当时xyo ()f za由平均值公式201(0)()d.2iFF R e1(0)(0)Ff1,a1(Re)(Re)iiFf1,a从而

10、1(0)Fa201()d2iF R e201()d2iF R e1 122 a因为1,a矛盾课堂练习课堂练习.d)1(32 zzzzze计计算算积积分分答案答案1,1,0 zzz有三个奇点有三个奇点).2(d)1(132 eeizzzezz四、小结与思考 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西它的证明基于柯西古萨基本定理古萨基本定理,它的重要性它的重要性在于在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函所以它是研究解析函数的重要工具数的重要工具.C

11、zzzzfizf.d)(21)(00柯西积分公式柯西积分公式:思考题思考题 柯西积分公式是对有界区域而言的柯西积分公式是对有界区域而言的,能否推能否推广到无界区域中广到无界区域中?思考题答案思考题答案可以可以.,)(要做一些限制要做一些限制但对函数但对函数zf ,)(上上解解析析及及边边界界在在设设CGzf )(,0,0()(,zfRzRzfz时时使使当当即即一一致致趋趋于于零零时时并并且且当当,内内任任意意一一点点则则对对G,d)(21)(Czzzfif 有有其中积分方向应是顺时针方向其中积分方向应是顺时针方向.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.Augustin-Louis CauchyBorn:21 Aug 1789 in Paris,FranceDied:23 May 1857 in Sceaux(near Paris),France柯西资料