1向量及其线性运算课件.ppt

1、第三章第三章向量组的线性相关性向量组的线性相关性 第一节第一节 n维向量及其线性运算维向量及其线性运算本节内容：本节内容：一、一、n维向量及其线性运算维向量及其线性运算二、向量组及其线性组合二、向量组及其线性组合定义定义 1n个数个数naaa,21组成的有序数组组成的有序数组称为称为n维向量，维向量，这这n个数称为该向量的个数称为该向量的n个分量个分量,第第i个数个数ia称为该向量的第称为该向量的第i分量分量.n维向量维向量可写成一行可写成一行,也可写成一列也可写成一列.分别称为分别称为行向量行向量和和列向量列向量,也就是也就是行矩阵行矩阵和和列矩阵列矩阵,常用黑体小写字母常用黑体小写字母ba

2、、b ba a等表示列向量，等表示列向量，用用、TTTTbab ba a等来表示行向量等来表示行向量.所讨论的向量在没有特别指明的情况下都所讨论的向量在没有特别指明的情况下都当作列向量当作列向量.一一、n维向量及其线性运算维向量及其线性运算2、向量作为特殊的矩阵，其运算与矩阵相同。、向量作为特殊的矩阵，其运算与矩阵相同。注：注：1、并规定行向量和列向量总是看作不同的向量、并规定行向量和列向量总是看作不同的向量.1.向量组与矩阵向量组与矩阵若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量(同维数的行向量同维数的行向量)所组成的集合称为所组成的集合称为向量组向量组.如矩阵如矩阵),(21na aa aa

3、a mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211na aa aa a21称称na aa aa a,21为矩阵为矩阵A的列向量组的列向量组.二、向量组及其线性组合二、向量组及其线性组合若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量(同维数的行向量同维数的行向量)所组成的集合称为所组成的集合称为向量组向量组.mnmmnnaaaaaaaaaA21222211121112mb bb bb b12,mb bb bb b 称称mb bb bb b,21为矩阵为矩阵A的行向量组的行向量组.2.向量组的线性组合向量组的线性组合定义定义5对于任何一对于任何一组合的系数组合的系数.定义定义6使使给定量组给定

4、量组,:21sAa aa aa a组实数组实数,21skkk表达式表达式sskkka aa aa a 2211称为称为A的一个的一个线性组合线性组合,给定向量组给定向量组与向量与向量sAa aa aa a,:21,b b若存在一组数若存在一组数则称向量则称向量是向量组是向量组A的线性组合，的线性组合，b b能由向量组能由向量组A线性表示线性表示.skkk,21称为这个线性称为这个线性1122sskkkbaaabaaa又称向量又称向量b b,21skkk例如例如,设设,)1,1,2(T b b,)0,0,1(1T ,)0,1,0(2T ,)1,0,0(3T 易见易见.2321 b b 的线性组合

5、的线性组合,321,或称或称可由可由线性表示线性表示.b b321,即即是是b b又如，又如，设设由于由于因此因此)3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21 b ba aa a,221a aa ab b 是是的线性组合的线性组合.b b21,a aa a例例1的线性组合的线性组合.都是都是n维向量组维向量组任意任意n维向量维向量Tnaaa),(21 a a,)0,0,1(1T ,)0,0,1,0(2T Tn)1,0,0,0(因为因为.2211nnaaa 例例2 零向量是任何一组向量的线性组合零向量是任何一组向量的线性组合.因为因为.00021sa aa aa a a a03

6、.线性方程组的向量形式线性方程组的向量形式设线性方程组设线性方程组 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111)1(令令ja a),2,1(nj mjjjaaa21 b b mbbb21b ba aa aa a nnxxx2211)2(则线性方程组则线性方程组(1)可表为可表为就相当于是否存在一组数就相当于是否存在一组数线性方程组线性方程组(1)是否有解，是否有解，使得下列线性关系式成立使得下列线性关系式成立:nkkk,21b ba aa aa a nnkkk2211b ba aa aa a nnxxx2211)2(则线性方程组则线性

7、方程组(1)可表为可表为唯一的充分必要条件是线性方程组唯一的充分必要条件是线性方程组能由向量组能由向量组线性表示且表示不线性表示且表示不b bsa aa aa a,21有无穷多个解有无穷多个解;必要条件是线性方程组必要条件是线性方程组无解无解.b ba aa aa a ssxxx2211不能由向量组不能由向量组线性表示的充分线性表示的充分b bsa aa aa a,21b ba aa aa a ssxxx2211注注:的充分必要条件是线性方程组的充分必要条件是线性方程组有唯一解有唯一解;能由向量组能由向量组唯一线性表示唯一线性表示b bsa aa aa a,21b ba aa aa a ssx

8、xx2211例例3 判断向量判断向量T)11,1,3,4(1 b bT)11,0,3,4(2 b b与与是否各为向量组是否各为向量组T)1,1,1,2(2 a a,)5,1,2,1(1T a a的线性组合的线性组合.若是若是,写出表示式写出表示式.解解设设,12211b ba aa a kk1212121224231511kkkkkkkk 即即就相当于存在数就相当于存在数若线性方程组有解，若线性方程组有解，使得下列线性关系式成立使得下列线性关系式成立:12,kk设设,12211b ba aa a kk对矩阵对矩阵)(121b ba aa a施以施以初等行变换初等行变换:111511131242

9、1 03309 9 05 1245 000000120114 000000100112)(121b ba aa a秩秩.2)(21 a aa a秩秩故故1b b可由可由21,a aa a线性表示线性表示,由上面的初等变换取由上面的初等变换取,21 k12 k使使.2211a aa ab b 类似地类似地,对矩阵对矩阵)(221b ba aa a施以初等行变换施以初等行变换:1115011312421 03409 9 05 1245 001000120114,3)(221 b ba aa a秩秩.2)(21 a aa a秩秩故故2b b不能由不能由21,a aa a线性表示线性表示.定理定理 1

10、线性表示线性表示设设,21 mbbbb b mjjjjaaa21a a),2,1(sj 则向量则向量能由向量组能由向量组b bsa aa aa a,21秩相等秩相等.),(21b ba aa aa asB),(21sAa aa aa a 与与练习练习下列向量组中下列向量组中,向量向量b b能否由其余向量线性表能否由其余向量线性表若能，写出线性表示式若能，写出线性表示式:,)2,3,3(1T a a,)2,1,2(2T a a,)1,2,1(3T a a(4,5,6).Tb b 解解示示?对矩阵对矩阵123()a aa aa ab b施以初等行变换施以初等行变换:321431252216 321

11、401390212 3214013900520 100201030014123234b ba aa aa a 4.向量组间的线性表示向量组间的线性表示定义定义 设有两向量组设有两向量组则称这两个则称这两个向量组等价向量组等价.;,:21sAa aa aa a,:21tBb bb bb b若若B中的每一个向量都能由向量组中的每一个向量都能由向量组A线性表示，线性表示，则称则称B能由能由A线性表示线性表示.若若A与与B能互相线性表示，能互相线性表示，内容小结内容小结1.n维向量的概念维向量的概念n维向量的概念维向量的概念向量的线性运算向量的线性运算2.向量、向量组、矩阵与方程组之间的联系向量、向量

12、组、矩阵与方程组之间的联系向量组与矩阵向量组与矩阵线性方程组的向量形式线性方程组的向量形式向量组的线性组合向量组的线性组合向量组间的线性表示向量组间的线性表示 都是此向量组的线性组合吗？都是此向量组的线性组合吗？向量组向量组中的任一向量中的任一向量sa aa aa a,21)1(sjj a a因为因为ja a.0101sja aa aa a 思考答案答案：是：是例例3的线性组合的线性组合.都是都是n维向量组维向量组任意任意n维向量维向量Tnaaa),(21 a a,)0,0,1(1T ,)0,0,1,0(2T Tn)1,0,0,0(因为因为.2211nnaaa 例例4 零向量是任何一组向量的线

13、性组合零向量是任何一组向量的线性组合.因为因为.00021sa aa aa a a a0例例6 判断向量判断向量T)11,1,3,4(1 b bT)11,0,3,4(2 b b与与是否各为向量组是否各为向量组T)1,1,1,2(2 a a,)5,1,2,1(1T a a的线性组合的线性组合.若是若是,写出表示式写出表示式.解解设设,12211b ba aa a kk对矩阵对矩阵)(121b ba aa a施以施以初等行变换初等行变换:1115111312421 03309 9 05 1245 000000120114 000000100112)(121b ba aa a秩秩.2)(21 a a

14、a a秩秩故故1b b可由可由21,a aa a线性表示线性表示,由上面的初等变换取由上面的初等变换取,21 k12 k使使.2211a aa ab b 类似地类似地,对矩阵对矩阵)(221b ba aa a施以初等行变换施以初等行变换:1115011312421 03409 9 05 1245 001000120114,3)(221 b ba aa a秩秩.2)(21 a aa a秩秩故故2b b不能由不能由21,a aa a线性表示线性表示.内容小结内容小结1.n维向量的概念维向量的概念n维向量的概念维向量的概念向量的线性运算向量的线性运算2.向量、向量组、矩阵与方程组之间的联系向量、向量

15、组、矩阵与方程组之间的联系向量组与矩阵向量组与矩阵线性方程组的向量形式线性方程组的向量形式向量组的线性组合向量组的线性组合向量组间的线性表示向量组间的线性表示 都是此向量组的线性组合吗？都是此向量组的线性组合吗？向量组向量组中的任一向量中的任一向量sa aa aa a,21)1(sjj a a因为因为ja a.0101sja aa aa a 思考答案答案：是：是练习练习1.下列向量组中下列向量组中,向量向量b b能否由其余向量线性表能否由其余向量线性表若能，写出线性表示式若能，写出线性表示式:,)2,3,3(1T a a,)2,1,2(2T a a,)1,2,1(3T a a(4,5,6).Tb b 解解 设存在一组数设存在一组数,321kkk使使,332211a aa aa ab bkkk 即即T)6,5,4(Tkkk)2,3,3(111 ,),2,()2,2(333222TTkkkkkk 所以有所以有示示?练习解答练习解答 622523423321321321kkkkkkkkk,4,3,2321 kkk故故.432321a aa aa ab b 完完