几何综合题课件.pptx

1、几何综合题北京20中学 何宏涛解证几何问题 就是从已知出发，用形式逻辑的推理和量的计算来探求新的，未知的结论。一句话，就是创造条件实现已知向未知的转化，综合题是知识、方法、能力综合型试题,新课改下的中考综合题更为突显创新能力.综合题是中考数学试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法活、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求学生具有一定的创新意识和创新能力等特点.中考的区分度和选拔功能主要靠这类题型来完成预设目标.中考几何综合题类型 纯几何综合题：它包括（1）圆与解直角三角形问题：利用圆的知识可以隐含直角，形成与直角三角形结合的问题，其中包括阴影部分的面积，以及图形面积问题(不能排除直线形问

2、题）；（2）图形的变换问题：这是一个可以独立形成综合题问题的知识点。几何综合题以几何图形的位置问题，元素之间的关系为核心，以直线或者圆为支撑点，包括多个知识点，多种解题思想方法，多步骤等特点，多为探讨几何本质：研究平面几何在运动变化过程中的不变性质和不变量的科学。.几何代数综合题：它包括：平面直角坐标系，函数与图形问题。涉及图形（图象）的平移与变换（全等、相似、等积）；它以几何为主体，以代数知识为工具（背景），几何知识确定图形的形状，代数知识作为研究工具来确定几何图形的位置。它以线段的长度与点的坐标之间的转化长度与点的坐标之间的转化为核心，以分类、迁移等数学思想理念，培养学生的综合分析能力，发

3、展智力常用的思想方法 1转化思想、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等.2综合法、分析法、面积法等.解几何综合题的能力要求 1阅读理解力、对条件的全面分析、转译和改造的能力.2化复杂为单一、综合为基本，善于联想与转化的能力.3捕捉信息的敏感性、善于处理信息、加工信息的能力.4恰当地分离与重组是解综合题的重要手段和能力要求.了解历史 关注现在 以往的中考几何综合试题在问题的设置上：注重了“开口宽，进门易”的设计，采用了“多问把关”的形式，难度层次明显，解法多样，有利于对各类不同档次学生的选拔。特别是在较难试题（2325）中层次安排有新的突破，每道题都有3分只要学生认真审题，弄清题意，中等以

4、上的学生都很容易得到，第一小题难度不大，较容易完成。往后则难度逐渐加大，解出题目的可能性也逐渐减小。其实，题目中的第一小题的结论为完成后面小题起着铺垫、引导作用。象这种在一道综合题中，前面小题的结论、解题思路为解后面小题起铺垫、引导作用的关系，它们之间往往存在一种递进关系。若用好这种递进关系,是我们了解答压轴题的根基和动力之源。第一小题的结论的铺垫作用，第一小题解题思路的铺垫作用（2）命题方向的变化以及命题形式的变化上：解答此题需要学生在理解题目要求的前提下，对命题的结论作出判断并给与证明。要求学生在已学过的相应知识的基础上，需要学生阅读题目给出的相对于学生来说是新知识的材料，并在理解的基础上

5、加以运用，以解决新问题。考查了学生自己阅读材料获取新知识、学习理解新知识和应用新知识的能力。（包括知识的应用和解题方法的应用）（3）“请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。”研究几何的本质内容：研究平面图形在运动，变化过程中的不变性质和不变量，在这个研究理论的支持下，几何变换大道其行，因为几何变换作为一种现代的数学思想方法，正是采用运动，变化的观点来研究几何的，所以二者不谋而合。试题重组 变中求胜 1.解证几何综合题的核心内容是：添加辅助线。（沟通解题思路，架设已知条件与未知结论之间的桥梁）作用体现在：（1）复杂问题转化成熟悉问题（2）让图型的隐蔽关系显

6、现（3）没直接联系的元素产生联系。2.解题的原则：（1）化繁为简：“繁化简，简驭繁”把复杂图形转化成简单图形；把复杂问题分割为若干简单问题；把不规则图形转化为规则图形。（2）相对集中：把已知或者未知的元素集中在同一个三角形或者两个相关的三角形中（全等，相似），只要元素相对集中，元素之间才便于比较，充分应用几何定理。（3）作图构造：由已知条件，求证结论中出现线段，角的和差倍分，可在图形中把它们的具体关系构造出来，只要构造的得当，往往有利于对问题的探索。（角平分线，中点等问题）（4）显现特殊性：通过连接辅助线，在图形中构造特殊角，特殊线，特殊点及图形的某些特殊性质等。3.解题的手段：从整体上看，可

7、以理解把图形的一部分变换到另一个位置，以此实现条件与结论的联系。常用的变换包括：平移，对称，旋转，线段的等比及等积移动，平移，对称，旋转是全等变换不改变线段的长度与角度的大小，相似变换只保留线段的比例关系，线段的长度会发生变化，等积变形只是保留面积不变的情况下的形变，此外，圆周角的问题等。（1）平移：常常通过特殊点添加平行线或者利用中位线构造平行线，使得图中的某些线段保长平行，使某些角平移到新的位置等。（2）对称：分两种中心对称和轴对称，包括有：等腰三角形的底边上的高，一个角的角平分线，线段中点的中心对称，平行四边形的中心对称。一个图形关于某条直线“对折”，采用轴对称，一条线段关于某点旋转18

8、0度，采用中心对称。（3）旋转：在等边或者特殊角的图形中，将图形绕着一个点旋转一个特殊角，往往使分散条件集中或者集中条件分散，显示出若干新的联系。（4）线段的等比移动：包括平行线分线段成比例及面积比与线段比的转化。（5）等积变形：三角形同底等高或者等底等高，平行线的应用。例题讲解 心路历程 例1：（1）已知：矩形ABCD，M为AD的中点，BC=2AB连接BM，判断：ABM与BMD的数量关系。（2）当矩形ABCD变成平行四边形ABCD，CE垂直AB于E，BC=2AB，判断：AEM与EMD的数量关系。例题2：（1）已知ABC中，ABAC，BAC90，点D，E，F分别为BC，AB，AC的中点，判断：

9、DEF的周长与BC的大小。（2）已知ABC中，BAC90，点D为BC的中点，E，F分别为AB，AC的点，结论（1）还成立吗？说明理由（3）已知ABC，请你作出 DEF，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，使得该三角形周长最小。例题4：（1）如图1，已知矩形ABCD中，点E是BC上的一动点，过点E作EFBD于点F，EGAC于点G，CHBD于点H，试证明CH=EF+EG;(2)若点E在的延长线上，如图2，过点E作EFBD于点F，EGAC的延长线于点G，CHBD于点H，则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想题题胆：等腰胆：等腰三角形底边三角形底边上任意一点上任意一点到两腰的

10、距到两腰的距离之和等于离之和等于一腰的高一腰的高(3)如图3，BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上，且BL=BC,连结CL，点E是CL上任一点,EFBD于点F，EGBC于点G，猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；图3?G?F?B?C?A?D?L?E延伸（1）在ABC中，D是BCC上一点，P、Q分别是AB、BC上一点，A45，EDF135，ABAC，DCDB。试说明DE与DF是数量关系，（2）在ABC中，O是AC上一点，P、Q分别是AB、BC上一点，A45，EDF135，ACkAB，DCBD。试说明DE与DF是数量关系.(3)在ABC中，O是AC上一点，P、Q分别是

11、AB、BC上一点，A45，EDF135，ACkAB，DCmBD。试说明DE与DF是数量关系.(4)在（3）的基础上，绕着D 点旋转EDF，若果交点都在原三角形两边的延长线上结论还会改变吗？当D点运动到BC的延长线上，其它条件不变，结论还成立吗？总结：共边三角形面积之比等于共边线段之比；构造相似法：基本型；对角互补的四边形；一个角的两边如果和另一个角的两边垂直，那么这两个角互补或者相等。jGABCEFDHABCFHABCFDE12（4）当D在BC中点左侧上时，由题意可知：证明FC+CE=DC延伸2（1）如图，在ABC和PQD中，ACBC，DPDQ，CPDQ=60，D、E分别是AB、AC的中点，点

12、P在直线BC上，连接EQ交PC于点H。猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想。（AC=2EH）（2）如图，在ABC和PQD中，ACBC，DPDQ，CPDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P与B重合，Q与点H重合。猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想。（3）如图，在ABC和PQD中，ACBC，DPDQ，CPDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连接EQ交PC于点H。猜想线段EH与AC的数量关系，并证明你的猜想。（4）如图，在ABC和PQD中，ACkBC，DPkDQ，CPDQ，D、E分别是AB、AC的中点，点P在直线BC上，连接EQ交PC于点H。猜想线段EH与AC的

13、数量关系，并证明你的猜想。6.如图，在ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且ABE=ACF，BE、CF交于点O过点O作OPAC，OQAB，P、Q为垂足求证：DP=DQ 引例：（1）在ABC为等边三角形，D为BC的中点，BQ，CP为ABC，ACB的角平分线 求证：DP=DQPQDCAB 法 3：延长PD至E使DP=DE，连接CE，PDBCDE，四边形QDEC为菱形，DE=EC DQ=DP 法5：AP=BP，AQ=CQ，D为BC中点，PDAC，ABDQ，四边形APDQ为菱形，PD=AQ 法6：AP=BP，AQ=CQ，BD=CD，PD=AD，BAD=CAD，ADPADQ，DP=

14、DQ 法7：等边三角形ABC中，OP平分ACB，BQ平分ABC，PQBC，PDAC，QDAB，四边形PQDB、PDCQ为平行四边形，DP=CQ=DQ=BP 原题解法：倍长中线（1）延伸3（1）如图，在ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且BAE=CAF，过点D作BEAE，CFAF，E、F为垂足求证：DE=DF（2）如图：三角形ABC和三角形ADE为等边三角形，G，H为AB，DE的中点，M是CD的四分之一点，判断GM与MH的位置关系，并证明。7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQPC(1)证明：PC

15、2AQ(2)当点F为BC的中点时，试比较PFC和梯形APCQ面积的大小关系，并对你的结论加以证明 分析：从所问求作入手，联系基本方法(1)倍半关系证明，常用方法：“截长补短”、“中位线”、“比例法”在图中用各法逐个思考几步，展望前景，不难发现，若用截长补短、中位线等思路连一两条辅助线都无济于事比例法。.延伸4（1）如图：如果平行四边形变成正方形ABCD，其他条件不变，上述的结论还成立吗？你还能得到哪些其它的结论？（除正方形本身的性质外）（2）当点F为BC的n等分点时，试比较PFC和梯形APCQ面积之间的关系。（3）在（2）的基础上，梯形APCQ面积会是PFC面积的两倍吗？说明理由。引例 几何学

16、中充满着图形的变换,利用变换的观点和方法研究几何图形是解几何题的重要思路之一,几何图形的变换可以激发兴趣、陶冶情操、培养观察思维能力。我们若能经常发掘潜在于数学教学中的数学美,以发展和联系的观点、运动和变换的观点提出不同层次的问题,为学生创造思维情景,鼓励学生设计问题的最优解题方案和问题的最佳解答。通过对问题解法的比较,体会到创造的乐趣。把几何图形的变换与培养学生创造性思维的工作结合起来,数学教学必然会收到良好的效果。几何代数综合题：（1）由于代数知识的局限性，所以这种综合题以几何为主体，代数为工具（背景）（2）以线段的长度与坐标为核心，几何的主要功能确定图形的形状，依靠代数知识定位。（3）数

17、形结合，（依靠点确定函数解析式，依靠图形特征建立方程或者代数式）（4）统一问题的两种思路（解析思路，几何思路）常见试题：动态问题：一般是指几何图形的运动，包括点动（点在线或弧上运动）、线动（线的平移、对称、旋转）、面动（平面几何图形的平移、对称（翻折）、旋转）。这类问题具有灵活性，多变性，融入三角形，四边形，圆，甚至函数图象，综合运用全等知识，相似知识，三角函数，勾股定理等知识；同时运动产生变量，又和函数联系起来，利用一次函数、二次函数性质解释动态问题。数形结合的升华部分就在此。但万物皆有源，几何以点为源泉，无数个点可以形成各种图形，所以图形的运动其实是无数个点的运动。点动带动图形动，图形动引

18、起点的位置发生变化，相辅相成，变化无穷，但万变不离其中，解决问题要抓住一些关键点即可。例题9已知：MAN60，点B是射线AM上的一点，AB4(如图).P为直线AN上一动点，以BP为边作等边三角形BPQ（点B、P、Q按顺时针排列），O是BPQ的外心.（1）当点P在射线AN上运动时，求证：点O在MAN的平分线上；（2）当点P在射线AN上运动（点P与A不重合）时，AO 与BP交于C，设APx，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）若点D是射线AN上，AD2时，I是ABD的内切圆，当BPQ的边BP或BQ与I相切时，请直接写出点A到点O的距离.分析：这类试题一般有三个小题，第一小题研究几何背景，为论证或计算；第二小题研究运动中图形的数量关系，建立函数关系；第三小题研究图形不确定性带来的分类讨论。我们一般可以采用化整为零、建立方程、分类讨论三个步骤，从复杂的背景中提取解题所需信息，使问题逐步解决。化整为零建立方程分类讨论 几何型综合题不管试题如何变化，都是以日常学习中的基本知识为背景，或让几个背景叠加，或让静态的几何关系运动起来，在运动中探求图形不变的位置或数量关系。因此，这类问题的解决是以具有扎实的基本功为前提的，因此只要平时注重基本知识、基本图形的积累与总结，再合理运用解题策略，就可以达到事半功倍的效果。谢谢大家