以2L为周期的傅氏级数课件.ppt

1、一、以一、以2 2L L为周期为周期的傅氏级数的傅氏级数二、正弦级数与余弦级数二、正弦级数与余弦级数三、小结三、小结第九节第九节 一般一般周期函数周期函数的傅氏级数的傅氏级数一、以一、以2 2L L为周期为周期的傅氏级数的傅氏级数,2lT .2lT 定理定理式为式为则它的傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开定理的条件定理的条件满足收敛满足收敛的周期函数的周期函数设周期为设周期为,)(2xfl),sincos(22)(10lxnblxnaaxfnnn )sincos(2210 xnbxnaannn 代入傅氏级数中代入傅氏级数中为为其其中中系系数数nnba,),2,1(,cos)(1 ndxlxnx

2、flalln),2,1(,sin)(1 ndxlxnxflblln,)()1(为奇函数为奇函数如果如果xf则有则有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 为为其中系数其中系数),2,1(n,22)(10dxxflall ,)()2(为偶函数为偶函数如果如果xf则有则有,cos22)(10 nnlxnaaxf dxlxnxflaalnn 0cos)(2为为其中系数其中系数),2,1(n证明证明,lxz 令令lxl ,z),()()(zFlzfxf 设设.2)(为周期为周期以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn )xlnsinbxlnco

3、sa(a)x(fnnn 1022.sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其中其中),n(.xdxlnsin)x(flb,xdxlncos)x(fladx)x(flallnllnll321112210 其中其中)()(xfzFlxz k2 xy2044 例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 4 的周期函数的周期函数,它在它在)2,2 上的表达式为上的表达式为 20020)(xkxxf,将其展将其展成傅氏级数成傅氏级数.解解.,2 满满足足狄狄氏氏充充分分条条件件 l 20020222122021dxkdxa,22k 202cos21xdxnk,0 202sin21xd

4、xnkbn)cos1(nnk,6,4,20,5,3,12 nnnk当当当当)25sin5123sin312(sin22)(xxxkkxf),4,2,0;(xx na),2,1(n例例 2 2 将将函函数数 10510)(xxxf展展开开成成傅傅氏氏级级数数.解解,10 xz作变量代换作变量代换105 x,55 z)10()(zfxf),(zFz ,)55()(的定义的定义补充函数补充函数 zzzF,5)5(F令令)10()(TzF作周期延拓作周期延拓然后将然后将,收收敛敛定定理理的的条条件件这这拓拓广广的的周周期期函函数数满满足足).()5,5(zF内内收收敛敛于于且且展展开开式式在在 x)(

5、zFy5 501510),2,1,0(,0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1(nn),2,1(n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55(z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155(x另解另解 1555cos)10(51dxxnxan 1555sin)10(51dxxnxbn 1551555cos515cos2dxxnxdxxn,0 1550)10(51dxxa,0,10)1(nn ),2,1(n 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155(x),2,1(n二、二、正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数1、

6、奇函数和偶函数的傅里叶级数、奇函数和偶函数的傅里叶级数(1 1)当当周周期期为为 2的的奇奇函函数数)(xf展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数时时,它它的的傅傅里里叶叶系系数数为为 ),2,1(sin)(2),2,1,0(00 nnxdxxfbnann 定理定理 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的傅里叶级数既含有正弦项弦项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里叶也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.(2 2)当当周周期期为为 2的的偶偶函函数数)(xf展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数时时,它它

7、的的傅傅里里叶叶系系数数为为 000)(222)(2dxxfdxxfa ),2,1(0),2,1(cos)(20 nbnnxdxxfann 证明证明,)()1(是奇函数是奇函数设设xf nxdxcos)x(fadx)x(fan122100),n(321 奇函数奇函数 0sin)(2nxdxxf),3,2,1(n同理可证同理可证(2)定义定义 如如果果)(xf为为奇奇函函数数,傅傅氏氏级级数数nxbnnsin1 称称为为正正弦弦级级数数.如如果果)(xf为为偶偶函函数数,傅傅氏氏级级数数nxaanncos2210 称称为为余余弦弦级级数数.nxdxxfbnsin)(1偶函数偶函数定理证毕定理证毕

8、.例例 1 1 设设)(xf是周期为是周期为 2的周期函数的周期函数,它在它在),上的表达式为上的表达式为xxf)(,将将)(xf展开成展开成傅氏级数傅氏级数.解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.,),2,1,0()12(处不连续处不连续在点在点 kkx2)0()0(ff收敛于收敛于2)(,0),()12(xfkxx处收敛于处收敛于在连续点在连续点 2 2 3 3xy0,2)()12(为周期的奇函数为周期的奇函数是以是以时时 xfkx和函数图象和函数图象),2,1,0(,0 nan 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx

9、 nncos2,)1(21 nn),2,1(n)3sin312sin21(sin2)(xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;(xx)5sin514sin413sin312sin21(sin2xxxxxy xy 观观察察两两函函数数图图形形2、函数展开成正弦级数或余弦级数、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓).(2,0)(xFxf函数函数为周期的为周期的延拓成以延拓成以上上定义在定义在设设 ,0)(0)()(xxgxxfxF令令),()2(xFxF 且且则有如下两种情况则有如下两种情况.偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓奇延拓奇延拓:)()(xfxg 0

10、)(000)()(xxfxxxfxF则则xy0 的傅氏正弦级数的傅氏正弦级数)(xf 1sin)(nnnxbxf)0(x偶延拓偶延拓:)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxF则则的傅氏余弦级数的傅氏余弦级数)(xf 10cos22)(nnnxaaxf)0(xxy0 例例 3 3 将将函函数数)0(1)(xxxf分分别别展展开开成成正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数.解解(1)(1)求正弦级数求正弦级数.,)(进行奇延拓进行奇延拓对对xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn ,6,4,22,5,3,122nnnn当当当当3sin)2

11、(312sin2sin)2(21 xxxx)0(x1 xy5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(21xxxxxx (2)(2)求余弦级数求余弦级数.,)(进行偶延拓进行偶延拓对对xf 0022)1(2dxxa,222 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn ,5,3,14,6,4,202nnn当当当当5cos513cos31(cos412122 xxxx)0(x1 xy)7cos715cos513cos31(cos4121222xxxxx 三、小结三、小结求傅氏展开式的步骤求傅氏展开式的步骤;1.验证是否满足狄氏条件验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域

12、,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系数求出傅氏系数;3.写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于).(xf以以2L为周期的傅氏系数为周期的傅氏系数;奇函数和偶函数的傅氏系数奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余正弦级数与余弦级数弦级数;非周期函数的周期性延拓非周期函数的周期性延拓;需澄清的几个问题需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数只有周期函数才能展成傅氏级数;2,0.的傅氏级数唯一的傅氏级数唯一展成周期为展成周期为上上在在 b).(,.xfc级数处处收敛于级数处处收敛于值点时值点时上连续且只有有限个极上连续且只有

13、有限个极在在 一、一、设周期为设周期为2的周期函数的周期函数)(xf在一个周期内的表达式在一个周期内的表达式为为 121,1210,101,)(xxxxxf,试将其展开成傅里叶级试将其展开成傅里叶级 数数.二、二、试将函数试将函数 lxlxllxxxf2,20,)(展开成正弦级数和余展开成正弦级数和余弦级数弦级数.练练 习习 题题三、三、将函数将函数 232,22,)(xxxxxf展开成展开成傅里叶级数傅里叶级数.练习题答案练习题答案一、一、4)(xf 122sin2cos21cos2sin2)1(1nnxnnnxnnnn ),2,1,0,212,2(kkxkx.二、二、)0(sin2sin14)(122lxlxnnnlxfn ；lxnnnllxfnn cos)1(12cos2124)(122 )0(lx .三、三、12)2)(12cos()12(14)(nxnnxf )0(lx .