从离散群到连续群课件.ppt
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- 离散 连续 课件
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1、 第一章第一章 李群的概要李群的概要 1.1连续群和李群连续群和李群1.11从离散群到连续群群的分类(从元素的数目及分布角度).,3,2,1,0,1,2,3,.无穷多个群中元素数目为不可列连续群整数加法群无穷多个群中元素的数目为可列无限离散群元限群群离散有限ex群ex:复数集合:群1U 为实数域RRegGi,群1U 为实数域RRegGi,可用群的四条定义规则来检验:)Gegggi gggggg gg101E显然:U(1)群是阿贝尔群 由连续变化,U(1)群的元素个数是不可数的,它是连续群,并且它具有以下特征:)U(1)群的每一个元素都可用参数来标志,参数连续变化)乘积元数g()g()所相应的参
2、数+是参数和的连续函数)逆元g()-1的参数也是的连续函数。1.1.2 群的参量和连续群 群中各元素可看作某个抽象空间(群空间group space)中的一个点集(群流形group manifold)。群中的每个元素都可以唯一地用一组数(参数)来表示元素与参量之间成一一对应的关系。ex.U(1)群中元素的参量就是 SO(2)群元素 参量为,21cossinsincosDef.表示群元素所需要的最少数目的(实)参量称为必要参量(essential parameteis)ex.若将一维平移群表示为:这变换中的参数,就不是essential。xxDef 若连续群的元素由r个必要参量决定:则该群称为r
3、阶连续群(r-parameter continons group),r称 为群的阶。在离散群中(包括现在的无限离散群)的必要参量只有一个。ex,整数二维平移群Tmn:其中m,n为整数。ggr,21nyymxx;图中每点代表一个群元素。各元素(m,n)的编号如中所示只需要一个参量(红色编号)。(-1,0)(0,0)(-2,0)(1,0)(2,0)(-1,1)(0,1)(-2,1)(1,1)(2,1)(-1,2)(0,2)(-2,2)(1,2)(2,2)(-1,-1)(0,0)(-2,-1)(1,-1)(2,-1)(-1,-2)(0,-2)(-2,-2)(1,-2)(2,-2)19 6 1 2 1
4、120 7 8 9 1021 22 23 24 2518 5 4 3 1217 16 15 14 13群 的单位元素记作:则 通常取 ,即 Gggr,21ooroogge,21 gggggoo0o 0ge 逆元素:群的逆元素存在要求对任意的群参数,均有参数 存在,使得 即群元素的逆元素的参数 与群元素参数有关系;(*)10ggggggg f封闭性:由群的封闭性要求对任意的群参数和,必有群参数存在,使得:因此,实参数必定是实参数和的函数:or (*)这些函数称为群G的结合函数。结合律:结合律要求 于是结合函数应满足:Ggggrrr,2,1,2121,gggggg,Def.1 如果 和 式中的函数
5、 f 和 均是其变量的连续函数,则称群G为连续群。f,Def.2 如果函数 f 和 是其变量的解析函数(对各个变量具有任何阶的导数),那么群G称为李群(Lie group)。(注:f 解析,则 g()也解析)对于李群,函数 f 和 均可按它们的自变量展为一致收敛的泰勒级数。Def.若连续群的参量的数目r为有限,则该群称为有限连续群(finite contions group)rDef.若表示连续群的参量均在一个有界区域内变化,且该区域为闭区域,则该群称为紧致的(compact)。Def.若对应于连续群中的两个群元素 与 的参量所定义的距离 则称这两个群元素互相趋近,记作:or 02112rjj
6、jg gg gg g1.1.3 李群 定义为连续群中,f 和 为解析函数。因此,李群是连续群的一种。U(1)Lie group(1阶)。一、一、r个参量的变换李群(个参量的变换李群(r阶)阶)设变换为:记为)2,12(),;,(2121nxxxFxrnii),(xFx 该变换的总体构成一个群逆元:逆元存在要求即由()式可解出xi,条件为雅可毕行列式不为零:xxFFxF),(),(0),(),(2121nnxxxFFF()封闭性:要求:其中参数 上式可写成对于变换李群,是它的绪变量的无限次可微函数李群的独立参数有r个,则该李群的阶就是r 例如:U(1)为一阶李群Def.群参数变化的范围简称为群参
7、数空间 ex,u(1),;,(21221riixxxFx ),);,(),(211rnixFxFFGrxxxFrni),;,(2121的函数必为参数,),()2,1(),(,(),(xFxFF),(),(二二 李群的例子李群的例子1G:单位元:逆元素:封闭性:2G:单位元:逆元:封闭性 显然1和 2是连续任意阶可导。)(),0(,Rxx11Rxxx,21xx0,12121xx2211)(x22111x0122111221121)(xxx2122111xx212221111),(,),(1221211,13 1221221121121222112112121222112112xxxxxxxxxx
8、 0110,e单位元4n维正交群O(n)先看二维(实)正交群O(2),在O(2)的变换下,保持实二维空间中矢量长度不变,即当 时,有 or 要保证矢量长度的不变,即 必有 同理证出由此,二阶矩阵A=中的4个参量受到三个关系式的限制 O(2)是一个单参数李群)2(OAAxx jijixAx liljijiixAxAxxxxxxxxxxAAkkljilijjlilijAAjljliljiilijAAAAAA)(IAAIAAbdcaIAAcdabdbcacdabbdaccdab22220112222cdabdbca三个限制条件:对于纯空间转动 detA=+1纯空间转动群记为SO(2),它的群元素为一
9、个矩阵:且SO(2)是O(2)的一个子群。因为反演SO(2)是单参数的阿贝尔群,SO(2)与U(1)同构。注意:高维转动群则是非阿贝尔群。n维正交群O(n)实n维空间的线性变换群。它保持 不变。即其中:A为n阶实矩阵 矩阵A的n2个实参数受到 个条件的限制 cossinsincosniix12Axx IAAAA)1(2nnn满足0112222cdabdbca1det,AAA时 n维正交群O(n)是 阶李群,记作:其中GL(n,R)代表n维空间中的一般线性变换群。另外:O(n)的子群SO(n)(A SO(n);detA=+1)代表n维实空间中的纯转动根据陪集定理和拉格朗日定性,O(n)按子群SO
10、(n)作陪集分解:其中 为空间反演矢矩O(n)中行列式为-1的部分代表转动反演。)1(21)1(212nnnnnnrIAAAARnGLAAnO),(:)()()()(nSOnSOnO)(),()(/)(nSOnSOnSOnO为二阶群即商群Complex space 复空间5n维么正群二维复空间中,线性变换的22复矩阵U如果满足条件:uu+=u+u=I 这样的变换的总体构成二维么正群U(2),U(2)的任一变换使二维复空间中矢量的内积保持不变,记作对n维复空间的么正群U(n),这是一个n2个实参数李群 IuuuuCGLuuU),2(,)2(IuuuuCnGLuunU),(:)(2222)1(2n
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