从特殊三棱锥到一般三棱锥问题课件.ppt

1、1解三棱锥三棱锥对于多面体，如同三角形对于多边形.三角形为多边形之根，三棱锥为多面体之根.注意，三棱锥是个四面体，有4个面、6条棱.图形的认识，从特殊到一般：（1）三棱锥中最特殊的是正四面体，次特殊的是正三棱锥.（3）与直三角形对应的有直三棱锥.（2）与等腰直角三角形对应的有“正直三棱锥”.（4）与等腰三角形对应的有“等腰四面体”.2解正四面体正四面体化归为正方体求解.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，由6条面对角线 A1D、BC1、A1C1、BD、A1B、DC1为棱的四面体即为正四面体 A1-BC1D.正四面体A1-BC1D的棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长的 倍；体

2、积为正方体的1/3；且有公共的外接球，公共的中心和相等的外半径 .22/33“正直”三棱锥我们把“三条侧棱相等且两两垂直的三棱锥”称作“正直三棱锥”.它的三个侧面是全等的等腰直角三角形，1个底面是正三角形.正直棱锥的直观图画法有“立式”（左）和“卧式”（右）两种.立式图中，1个侧面置于水平位置.可以清楚地看到它在对应的正方体中的位置；卧式图中，它的底面置于水平位置，便于在竖直方向显示底面上的高线.4解正直三棱锥化为正方体求解一、线线关系：（1）相交垂直：ADDD1（2）相交45：AD与AD1（3）相交60：AD1与AC（4）异面垂直 AC与DD1 距离为 /22二、线面关系（1）垂直：AD与D

3、CD1 （2）交成45：AD与ACD1三、面面关系（1）垂直：三侧面两两之间（2）交成arctan ：如平面ACD1与平面ACD25正直三棱锥的高线【题目】若正直三棱锥V-ABC的侧棱长为VA=1.求它高线VH的长度.设斜高在 ABC上的射影为H，则H为 ABC的中心.6/631CDDH【解1】（斜高法）正直三棱锥V-ABC 中，易知AB=BC=CA=22斜高VD=/2故有 高线33)26()22(2222DHVDVH【说明】正直三棱锥的高线长为外接正方体对角线长 的1/3.36【题目】若正直三棱锥V-ABC的侧棱长为VA=1.求它高线VH的长度.【解2】（等积法）立式图中，易知正直三棱锥的体

4、积为6131VABSVCV【证明】等积法常用来“求点到平面的距离”.又23)232(22121CDABSABC故得612331VH33VH7正直三棱锥的外接球【题目】正直三棱锥的侧棱长为1，求其外半径长.正直三棱锥与其外接正方体有共同的外接球，因此“单位正直三棱锥”与单位正方体有共同的外半径 .一般探讨为2/3【解答】易知正直三棱锥的“外心”O 在高线VH 的延长线上.设 VO=CO=x，则 HO=33x又362323232DCHC由 OC 2=HO2+HC2 得解得23x222)36()33(xx8考题展示【考题】（2006年川卷第13题）【分析】已知的三棱锥为正直三棱锥.【解1】立式图如右

5、，OM 在ABC上射影为MC，OM与ABC的成角为OMC.【说明】线面角（OM与ABC成角）化为线线角（OM与MC）亦即面面角（C-AB-O）.在三棱锥O-ABC，三条棱OA、OB、OC 两两垂直且相等.M为AB 的中点.则OM与平面ABC的成角的大小为 .设OC=a，则OM=a222tanOMOCOMC故OMC=arctan （答案）29【考题】（2006年川卷第13题）【分析】已知的三棱锥为正直三棱锥.【解2】卧式图如右，H为底面正三角形ABC的中心.【说明】本法容易误入迁解.如先求OH和MH的长度.在三棱锥O-ABC，三条棱OA、OB、OC 两两垂直且相等.M为AB的中点.则OM 与平面

6、ABC的成角的大小为 .2tanOMOCOMC得OMC=arctan （答案）2OM与ABC的成角为OMC.10正方体内接三棱锥的个数【问题】以正方体8个顶点中的4个顶点作三棱锥，这样的三棱锥称正方体的内接三棱锥.求正方体内接三棱锥的个数.其中，共面的4点的个数是（1）正方体的6个面；（2）正方体的6个对角面.故正方体的内接三棱锥有 70 12=58（个）【答案】从8个顶点中任取4个的组合数为70C48【说明】这58个三棱锥与正方体同外心，共外接球.11“长棱”三棱锥正方体内接三棱锥可分四类.除了内接正四面体和内接正直三棱锥外，还有两类.（1）斜三棱锥(图左).（2）底面为直三角形的直三棱锥(

7、图右).它们各有1条长度为 的“长棱”，其外心在长棱的中点上.312直正三棱锥底面为正三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥称作“直正三棱锥”.确定一个“直正三棱锥”需2个条件，即底棱长a和直棱长b.“直正三棱锥”与“正直三棱锥”不同，后者的确定条件只1个.直正三棱锥的四个面中：（1）底面是正三角形；（2）有2个侧面为直角三角形，它们都垂直于底面；（3）另一个侧面为等腰三角形；13解直正三角形（1）求三棱锥P-ABC的体积；【题目】三棱锥P-ABC中，PA面ABC，且PA=，又 AB=BC=CA=1.3（2）求A到平面PBC的距离.【解答】（1）P-ABC的体积（2）设A到平面PBC的距离为h

8、.413433131PASSABC易得三角形PBC的面积为415515 4141531hh由等积原理：（答案）14【题目】三棱锥PABC中，PA面ABC，且PA=，又 AB=BC=CA=1.3【证明】易知 BOAC，又BOPA由（1），（2）知 PC平面BOH.【说明】由此可知BHO为二面角BPCA的平面角.（3）O为AC的中点，OHPC于H.求证：PC 平面BOH.所以BO面PAC BOPC （1）又OHPC （2）15正三棱锥侧棱长相等、底面为正三角形的三棱锥为正三棱锥.确定一个正三棱锥需2个条件.即侧棱长b和底棱长a.正三棱锥的直观图一般画成卧式，即置正三角形于水平面上，且使底面上的一条

9、高线，如CD于水平线上.锥顶V在底面上的射影为底面正三角形的中心H.截面三角形VCD为锥体的轴截面：（1）侧棱与底面的所成角为VCD.（2）侧面与底面所成二面角的平面角为VDC.（3）截面三角形的高线VH就是锥体的高.16正三棱锥的判断【考题】（2005年全国题16）下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.【判定】由此推出，三侧面上的斜高相等，从而推得三斜高在底面上的射影相等，从而确定H为底面三角形的中心.由此得，三侧棱相等（见右边的轴截面图）.命题为真命题.它成为正三棱锥“判定定理”之一.17正三棱锥的判断【考题】（2005年全国题16）

10、下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.【判定】侧面是等腰三角形，其底边不一定是底面三角形的边.如图右所示，可设VC=BC=AC，并让点V在直线VD上移动，可使VAB也为等腰三角形.故命题是个假命题.18正三棱锥的判断【考题】（2005年全国题16）下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.【判定】侧面的面积都相等，只须顶点V到三底边的距离相等.到三边等距的点在平面上是三角形的内心和旁心.到空间中，过底面三角形的内心和旁心的底面垂线上所有的点，都分别与三边等距.故命题是假命题.19正三棱锥的判断【考题】（200

11、5年全国题16）下面是关于三棱锥的四个命题：侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.【判定】由侧棱与底面所成的角都相等，可推断三条侧棱相等.由侧面与底面所成的二面角相等，可推断侧面上的三条斜高相等，并推断底面三角形为正三角形.故三棱锥为正三棱锥.命题为真命题，它成为正三棱锥“判定定理”之一.20【证明（）】ACB=90，BCAC.PA底面ABCD，PABCBC平面PAC.（）求证:BC平面PAC；直三棱锥到直四棱锥像四棱锥可化为三棱锥求解一样，直四棱锥也可化归为直三棱锥求解.【题目】四棱锥P ABCD中，ABCD,AD=CD=1，BAD=120，PA=,AC

12、B=90.321【题目】四棱锥P ABCD中，ABCD,AD=CD=1，BAD=120，PA=,ACB=90.【证明（）】易知ADC=60,（）求二面角DPCA的大小；3又AD=CD=1，ADC为等边三角形，且 AC=1.取AC的中点O，则DOAC，PA底面ABCD，PADO，DO平面PAC.过O作OHPC，垂足为H，连DH，由三垂线定理知DHPC.DHO为二面角DPCA的平面角.由.23,43DOOH.2arctan ,2tanDHOOHDODHO二面角DPCA的大小为arctan2.22【题目】四棱锥P ABCD中，ABCD,AD=CD=1，BAD=120，PA=,ACB=90.（）求点B

13、到平面PCD的距离.3【证明（）】设点B到平面PCD的距离为d.ABCD，AB 平面PCD，CD 平面PCD,AB平面PCD.点B到平面PCD的距离等于点 A到平面PCD的距离.343415 ,dVVACDPPCDA515 d【说明】就是上面所说的“等积法”求点到平面的距离.23三棱锥的外心任何一个三棱锥都有外接球，就像任何一个三角形都有外接圆一样.三角形的外心到三个顶点等距，这个距离就是三角形的外半径.三棱锥的外心到四个顶点等距，这个距离就是三棱锥的外半径.外心的“心、顶等距”性质，是我们寻找外心的依据.三棱锥外接球的球心，称作三棱锥的外心.24外心位置的确定等腰三角形的外心在底边的高线上；

14、正三角形的外心为其中心；直三角形的外心在斜边的中点上.类比可以推出，一些特殊三棱锥的外心位置：（1）正三棱锥的外心在底面的高线上.（2）正四面体的外心为其中心.（3）“长棱”三棱锥的外心在“长棱”的中点上.25（1）试确定三棱锥外心位置.（2）求外半径的长度.【解答】（1）VAAB，取VB的中点O，【题目】三棱锥V ABC中，底面ABC是边长为1的正三角形.且VA=VC=，且VAAB.2/2显然有OV=OA=OB又VAB与VCB全等.故VCCB，即O为RtVCB斜边的中点.故O为三棱锥V ABC 的外心.（2）三棱锥的外半径长为VB 长度的一半，故外半径长46)22(1212226在“长棱”上猜外心我们见到三棱锥常为特殊的三棱锥.在对三棱锥的外心进行猜想时：（1）先找“长棱”的中点；（2）再找“长棱”的中垂线；（3）后找“长棱”的中垂面.上题中的三棱锥V ABC，实为正方体的内接斜式“长棱”三棱锥（右下），外心在体对角线BD1的中点上，外半径为体对角线长度 的一半.2/6