第二章-单自由度系统的自由振动课件.ppt

1、中国矿业大学力学与工程科学系力学与工程科学系二一四年八月目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2）基本系统和力学模型）基本系统和力学模型 质量质量弹簧系统弹簧系统是单自由度系统的基本力学模型。是单自由度系统的基本力学模型。（1）振动系统的自由度数振动系统的自由度数:能完全确定系统在空间的几何能完全确定系统在空间的几何位置所需要的位置所需要的独立座标独立座标的数目。的数目。只需一个独立坐标就可完全确只需一个独立坐标就可完全确定的其几何位置系统，称为单自由定的其几何位置系统，称为单自由度系统。度系统。目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单

2、自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动xxst)(tPmckm)(tPmg)(stxkxc惯性元件惯性元件m，惯性力，惯性力xm 弹性元件弹性元件k，弹性力，弹性力xk阻尼元件阻尼元件c，阻尼力，阻尼力xc)()(tPmgxcxkxmst 静平衡时静平衡时stkmg)(tPkxxcxm 目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动实际振动系统的简化实际振动系统的简化目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动拖拉机驾驶员的胃的垂直振动拖拉机驾驶员的胃的垂直振动质量弹簧系统质量弹簧系统目录 上页 下页 返

3、回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 根据振动形式的不同，独立座标可以选取线根据振动形式的不同，独立座标可以选取线位移位移 或者角位移或者角位移 来表示。来表示。x 其它形式的振动系统其它形式的振动系统目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动)(tPkxxcxm )(tQqkqcqmeee 描述系统的广义坐标描述系统的广义坐标对应于广义坐标的广义激振力对应于广义坐标的广义激振力q)(tQ对于不同的广义坐标，采用：对于不同的广义坐标，采用：等效质量等效质量em等效阻尼系数等效阻尼系数ec等效刚度等效刚度ek目录 上页

4、 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动1 1、振动系统的固有频率、振动系统的固有频率2 2、系统在初始条件下的响应、系统在初始条件下的响应3 3、有阻尼系统的自由振动、有阻尼系统的自由振动令：令：)(tPkxxcxm 0 kxxm mkn02xxn 标准形式标准形式通解为：通解为：tCtCtxnnsincos)(21或者：或者：)sin(tAxn212221arctg ,CCCCA式中式中 为任意常数，由初始条件确定。为任意常数，由初始条件确定。,21ACC或简谐振动简谐振动振幅：振幅：A相位：相位：)(tn初相位：初相位：圆频率：圆频率：n弧度秒弧度秒

5、（rad/s）质量弹簧系统质量弹簧系统目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动1、简谐振动。简谐振动。2、振动频率振动频率仅与系统本身的固有参数有关，仅与系统本身的固有参数有关，mkn称为系统的固有频率。称为系统的固有频率。3、振幅振幅A，相位相位由初始条件确定。由初始条件确定。初始条件：初始条件：0tmkfnn212,)0(0 xx00)0(vxx 带入带入tCtCtxnnsincos)(21求得：求得：nxCxC0201 ,通解为：通解为：txtxtxnnnsincos)(000022020arctg ,xxxxAnn目录 上页 下页 返回

6、结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动例例2-1提升系统提升系统N,1047.15WN/cm1078.54km/min15v匀速下降匀速下降试求：试求：绳的上端突然被卡住时重物绳的上端突然被卡住时重物的振动频率、振动规律及钢的振动频率、振动规律及钢丝绳中的最大张力。丝绳中的最大张力。解：解：系统的振动频率为：系统的振动频率为：mknvxxt00 ,0 0Wgk561047.11078.58.9rad/s 6.19系统的振动规律为：系统的振动规律为：tvtxnnsin)(cm 28.1A其中振幅为：其中振幅为：t 6.19sin606.1910015cm 6.19sin

7、28.1t目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 钢丝绳中最大张力等于静平衡时的张钢丝绳中最大张力等于静平衡时的张力和振动引起的力和振动引起的动张力动张力之和：之和：kATTsmax其中动张力其中动张力mkvvkkAnkAW 28.11078.51047.145551074.01047.1N 1021.25tvtxnnsin)(cm 6.19sin28.1t目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动例例2-2 复摆复摆已知：质量为已知：质量为m，转动惯量为转动惯量为Io，a求：求：复摆的运动微分方程

8、及微幅复摆的运动微分方程及微幅摆动的周期摆动的周期T。解：解：由刚体定轴转动微分方程得由刚体定轴转动微分方程得sin0mgaI 0sin0mgaI 非线性方程非线性方程微幅摆动时微幅摆动时sin00mgaI 化为标准形式：化为标准形式：00Imga 线性方程线性方程系统的固有频率系统的固有频率0Imgan微幅摆动的周期微幅摆动的周期mgaITn022 复摆的振动目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动微幅摆动的周期微幅摆动的周期mgaITn022复摆法测量物体转动惯量的原理复摆法测量物体转动惯量的原理：2204TmgaI 由平行轴定理由平行轴定理

9、20maIIc14222agTma 复摆的振动目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动扭振系统扭振系统dl例例2-3 扭振系统扭振系统已知：杆件的直径为已知：杆件的直径为d，长度为长度为l，材料的剪切模量为材料的剪切模量为G，圆盘的转动惯圆盘的转动惯量为量为I 。试求：系统的固有频率。试求：系统的固有频率。解：解：由材料力学理论可知由材料力学理论可知lGdlGIkpr324rk为扭转刚度系数为扭转刚度系数 Irk0由达朗伯原理由达朗伯原理Ikrn扭振系统的固有频率为：扭振系统的固有频率为：I目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统

10、的自由振动单自由度系统的自由振动例例2-4 测振仪，已知测振仪，已知 试建立该系统的运动微分方程，试建立该系统的运动微分方程，并求系统的固有频率。并求系统的固有频率。,m,1k,2k,I,ab解：解：单自由度系统单自由度系统取取 为广义坐标为广义坐标2221)cos(21IamT2221)sin(21)sin(21bkakU系统的拉格朗日函数为：系统的拉格朗日函数为：222122)sin(21)sin(2121)cos(21bkakIamUTLsin,1cos微幅振动时：微幅振动时：22222122221212121bkakImaL目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由

11、振动单自由度系统的自由振动22222122221212121bkakImaL带入拉格朗日方程带入拉格朗日方程0LLdtd得到：得到：0)()(22212bkakIma 化为标准形式：化为标准形式：0)()(22221Imabkak)()(22221Imabkakn系统的固有频率为：系统的固有频率为：目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动质量弹簧系统质量弹簧系统一、静变形法一、静变形法st静变形静变形st由静平衡条件：由静平衡条件：0stkmgstmgk系统的固有频率为：系统的固有频率为：stngmk弹簧的刚度系数：弹簧的刚度系数：静平衡位置弹簧

12、原长位置目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动例例2-52-5 质量为质量为 m 的物体从高处的物体从高处h 自由落下，与一根抗弯刚自由落下，与一根抗弯刚度为度为 EI 、长长 l 的简支梁作完全非弹性碰撞。如不计梁的质量，的简支梁作完全非弹性碰撞。如不计梁的质量，求梁的自由振动的频率和最大挠度。求梁的自由振动的频率和最大挠度。解：解：静变形静变形EImglst483梁的自由振动频率为梁的自由振动频率为：348mlEIgstn设撞击时刻为零时刻设撞击时刻为零时刻则：则：0t ,0stxghx2 0自由振动的振幅为：自由振动的振幅为：ststnh

13、xxA222020梁的最大挠度则为：梁的最大挠度则为：stAmax目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动二、能量法二、能量法保守系统保守系统常数UT系统的动能系统的动能221xmT系统的势能系统的势能Umgxxstdxxk0)(221kxxkmgxst221kx0)(UTdtd将将T、U 带入得到：带入得到：0)(xkxxm 即：即：0 kxxm 势能是一个相对量。势能是一个相对量。取系统静平衡位置处的取系统静平衡位置处的势能为零点，即势能为零点，即U=0平衡位置平衡位置 T=Tmax U=0最大位移处最大位移处 U=Umax T=0机械能守恒

14、机械能守恒maxmaxUT目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动例例2-6 无定向摆系统无定向摆系统已知：已知：,cmkg10176.022Icm,54.3aN/cm,3.0kkg,0856.0mcm4l试用能量法确定其固有频率。试用能量法确定其固有频率。解：解：以摇杆偏离平衡位置的角以摇杆偏离平衡位置的角位移位移 为广义坐标为广义坐标设：设：)sin(tAn则：则：)cos(tAnnAmaxnAmax最大动能为：最大动能为：222maxmax2121nIAIT最大势能为：最大势能为：2maxmax1)sin(212akU)cos1(maxma

15、x2mglU总势能为：总势能为：max2max1maxUUU)cos1()sin(max2maxmglak1-摇杆 2-摆轮目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动22max21nIAT)cos1()sin(max2maxmaxmglakU微幅摆动时：微幅摆动时：,sinmaxmax2cos12maxmax2max2max2max2mglkaUmaxmaxUT2222221AmglkaAIn系统的固有频率为：系统的固有频率为：Imglkan22带入数据得到带入数据得到176.0480.90856.054.33.022n2nnf 2max22mgl

16、ka222Amglka(rad/s)86.4(Hz)77.0286.4目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动例例2-7 一个重量为一个重量为 W、半径为半径为 r 的均质圆柱体在一个半径为的均质圆柱体在一个半径为 R 的圆柱面内的圆柱面内作无滑动滚动。作无滑动滚动。求求:圆柱体在平衡位置附近作微幅振动的微分圆柱体在平衡位置附近作微幅振动的微分方程和固有频率。方程和固有频率。解：解：)cos1)(rRWUrrRvC)(rrR 222121CCIvgWT2)(2rRW22221)(21rrRrgWrRgW22)(43rRgW带入带入0)(UTdtd

17、得到得到0)()(232rRWrRgW 即：即：0)(32rRg 系统的固有频率为：系统的固有频率为：)(32rRgn目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动三、瑞利（瑞利（Rayleigh）法法 首先对弹性元件在振动过程中的形态作出首先对弹性元件在振动过程中的形态作出假设，一般称为假设，一般称为振型函数振型函数。如果假设的振型与实际振型比较接近，将如果假设的振型与实际振型比较接近，将得到相当准确的固有频率值。得到相当准确的固有频率值。目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动例例2-8 振动物体的质

18、量为振动物体的质量为m，弹弹簧的原长为簧的原长为l，单位长度质量单位长度质量为为 ，刚度系数为，刚度系数为k，试求系试求系统的固有频率。统的固有频率。解：解：xlxxlx微段微段微段 的动能的动能ddxl221弹簧质量的动能：弹簧质量的动能：ldxlT02121整个系统的动能为：整个系统的动能为：22621xlxmT系统的最大动能为：系统的最大动能为：22max321nAlmT26xl2321xlm目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动系统的最大动能为：系统的最大动能为：22max321nAlmT 系统的最大势能为：系统的最大势能为：2max2

19、1kAUmaxmaxUT得到：得到：3lmkn2ml 近似解与精确解的相对误差为近似解与精确解的相对误差为 0.5%；ml 近似解与精确解的相对误差为近似解与精确解的相对误差为 0.75%；ml2近似解与精确解的相对误差为近似解与精确解的相对误差为 3%。目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动例例2-9已知：均质简支梁已知：均质简支梁EIlm,求：系统的固有频率。求：系统的固有频率。解：解：假设梁的动挠度曲线假设梁的动挠度曲线振型曲线与静挠度曲线一致。振型曲线与静挠度曲线一致。20 43)(3lxlxlxfxfst梁中点的静挠度梁中点的静挠度E

20、Imglfst483梁的动挠度曲线可假设为：梁的动挠度曲线可假设为：20 43)(3lxlxlxyxyC)sin(tAynC梁中点的动挠度梁中点的动挠度弹性梁的动能为各微段弹性梁的动能为各微段 dx 的动能之和的动能之和目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动ldxxyT021)(212351721Cyl 系统的总动能：系统的总动能：2235172121CCylymT动能的最大值：动能的最大值：22max351721nAlmT弹性梁的势能最大值为：弹性梁的势能最大值为：2max21kAU弹性梁的等效刚度系数：弹性梁的等效刚度系数：348lEIfm

21、gkstmaxmaxUTlmkn3517 对简支梁计入质量的影响，只要对简支梁计入质量的影响，只要将梁质量的将梁质量的17/35集中在梁的中点，集中在梁的中点，梁就可以简化为质量弹簧系统。梁就可以简化为质量弹簧系统。等截面悬臂梁在自由端的等效等截面悬臂梁在自由端的等效质量为质量为l)140/33(dxlxlxylC2203243221目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 瑞利法计算系统的固有频率时，必须先瑞利法计算系统的固有频率时，必须先假定假定系统弹性元件的系统弹性元件的振型振型。假定的振型通常与真实振型存在着差异，这相假定的振型通常与真实

22、振型存在着差异，这相当于对系统当于对系统附加了某些约束附加了某些约束，因而增加了系统的刚，因而增加了系统的刚度，使得求出的固有频率略高出精确值。度，使得求出的固有频率略高出精确值。假定的振型越接近于真实振型，瑞利法算出假定的振型越接近于真实振型，瑞利法算出的固有频率就越精确。的固有频率就越精确。实践证明，以系统的静变形曲线作为假设振实践证明，以系统的静变形曲线作为假设振型，所得结果精度较高。型，所得结果精度较高。目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动系统的动能和势能系统的动能和势能221xMTe221xKUe当当 、分别取得最大值时，动能分别取

23、得最大值时，动能T、势能势能U也分别取得最大值：也分别取得最大值：xx 2maxmax21xMTe2maxmax21xKUemaxmaxUTmaxmaxxxneenMK 其中其中 Me 及及 Ke 称为简化系统的等效质量和等效刚度。称为简化系统的等效质量和等效刚度。目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 这里所说的位移和力是指这里所说的位移和力是指广义位移和广义力广义位移和广义力，即，即包包括角位移和力矩括角位移和力矩。等效刚度还可以定义为：使系统在选定的广义坐标方等效刚度还可以定义为：使系统在选定的广义坐标方向上向上产生单位位移产生单位位移时

24、，在此广义坐标方向所需要施加的时，在此广义坐标方向所需要施加的力，称为系统在此广义坐标方向上的力，称为系统在此广义坐标方向上的等效刚度等效刚度。等效质量也可以定义为：使系统在选定的广义坐标等效质量也可以定义为：使系统在选定的广义坐标方向上方向上产生单位加速度产生单位加速度时，在此广义坐标方向时，在此广义坐标方向所需要施所需要施加的力加的力，称为系统在此广义坐标方向上的，称为系统在此广义坐标方向上的等效质量等效质量。目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动例例2-10 一端固定的等直圆杆一端固定的等直圆杆 设杆长为设杆长为l，截面积为截面积为A，截

25、面惯性矩为截面惯性矩为I，截截面极惯性矩为面极惯性矩为Ip，材料弹性模量为材料弹性模量为E，剪切弹性模剪切弹性模量为量为G。取坐标如图所示。试确定自由端且处在取坐标如图所示。试确定自由端且处在x方向、方向、y方向和绕方向和绕x轴转动方向的刚度。轴转动方向的刚度。解：解：EAPlxBlEAxPKBx拉压刚度拉压刚度EIPlyB33确定沿确定沿 x 方向的刚度方向的刚度确定沿确定沿 y 方向的刚度方向的刚度确定绕确定绕 x 轴转动方向的刚度轴转动方向的刚度33lEIyPKBy弯曲刚度弯曲刚度ptBGIlMlGIMKpBt扭转刚度扭转刚度N/cmN/cmcm/radN目录 上页 下页 返回 结束 第

26、二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动串联和并联弹簧系统等效刚度的计算方法串联和并联弹簧系统等效刚度的计算方法1、并联弹簧的等效刚度、并联弹簧的等效刚度xkxkF21等效刚度为：等效刚度为：21kkxFk2、串联弹簧的等效刚度、串联弹簧的等效刚度212111kkFkFkFx等效刚度为：等效刚度为：2121kkkkxFk即：即：21111kkk21kkk目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动串联弹簧和并联弹簧串联弹簧和并联弹簧目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动例例2-11 刚

27、性杆刚性杆AB上固结两上固结两个集中质量个集中质量m1、m2，如不如不计刚性杆的质量，求系统计刚性杆的质量，求系统对于坐标对于坐标 x 的等效质量和的等效质量和等效刚度。等效刚度。解：解：（1）用能量法求解）用能量法求解2122212121xllmxmT2132212121xllkxkU221221mllmMe221231kllkKe222122121xmllm222123121xkllk目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2）用定义方法求解）用定义方法求解 设使系统在设使系统在x方向上产生方向上产生单位加速度需要施加力单位加速度需要施加力

28、P，则在质量则在质量m1、m2 上将有惯性上将有惯性力力对支承点取矩对支承点取矩:2122111)1(lllmlmPl得到得到221221mllmPMe 同样，设使系统在同样，设使系统在x方向上方向上产生单位位移需要施加力产生单位位移需要施加力P，则在弹簧则在弹簧k1、k2 上将有弹性恢上将有弹性恢复力复力3132111)1(lllklkPl对支承点取矩对支承点取矩:得到得到221231kllkPKe目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动例例2-12 电动式激振器测试件固有频率电动式激振器测试件固有频率 被测试件简化为弹簧质量系统被测试件简化为

29、弹簧质量系统k1、m1，试验时激振器的顶杆试验时激振器的顶杆与试件刚性联接，激振器的可动部件质量为与试件刚性联接，激振器的可动部件质量为m2，支承弹簧的刚支承弹簧的刚度为度为k2。1-试件试件2-激振器可动部件激振器可动部件目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动例例2-12 电动式激振器测试件固有频率电动式激振器测试件固有频率 被测试件简化为弹簧质量系统被测试件简化为弹簧质量系统k1、m1，试验时激振器的顶杆试验时激振器的顶杆与试件刚性联接，激振器的可动部件质量为与试件刚性联接，激振器的可动部件质量为m2，支承弹簧的刚支承弹簧的刚度为度为k2。

30、（1）试计算系统的等效刚度试计算系统的等效刚度；（2）设测得系统的固有频率为）设测得系统的固有频率为 f，已知激振器已知激振器的可动系统的固有频率的可动系统的固有频率 f2=7Hz，可动部件质量可动部件质量m2 与与试件质量试件质量m1 之比为之比为0.01，求试件的固有频率求试件的固有频率 f1。1-试件试件2-激振器可动部件激振器可动部件解：解：刚性联接刚性联接21mm（1）求系统的等效刚度：）求系统的等效刚度：xkxkF21等效刚度为：等效刚度为：21kkxFk相当于两个并联弹簧相当于两个并联弹簧（2）求试件的固有频率）求试件的固有频率 f1：系统的固有频率为：系统的固有频率为：mkf2

31、1212121mmkk212212111121mmmkmmmk目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2）求试件的固有频率）求试件的固有频率 f1：系统的固有频率系统的固有频率 f 为：为：21221211212111212121mmmkmmmkmmkkmkf激振器可动系统的固有频率激振器可动系统的固有频率 f2 为：为：Hz721222mkf试件的固有频率试件的固有频率 f1 为：为：11121mkf可动部件可动部件m2 与试件与试件m1 的质量比为的质量比为01.012mm带入带入 f 求出求出：49.001.121ff测量误差：测量误差：

32、如果测得如果测得 f=50HzHz 244.5049.05001.121f%488.0%10011fff目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动线性粘滞阻尼线性粘滞阻尼cvRR 粘滞阻尼力粘滞阻尼力;v 相对速度相对速度;c 粘滞阻尼系数粘滞阻尼系数,简称阻尼系数，简称阻尼系数，单位为单位为Ns/m;0kxxcxm 令：令：,2mkn 2 mcn 022xxnxn n 称为衰减系数，称为衰减系数，单位为单位为1/s。n系统的固有频率系统的固有频率再令：再令：nn022xxxnn 有阻尼自由振动方程的标准形式有阻尼自由振动方程的标准形式nmc2mk

33、c2目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动022xxxnn 设：设：stex 0222nnss特征方程：特征方程：特征根：特征根：122,1nns方程的解：方程的解：tstseCeCtx2121)(121122tttnnneCeCe一、大阻尼情况一、大阻尼情况1s1、s2 为两个不等的负实根为两个不等的负实根)(121122tttnnneCeCetxtctcenntn1sh1ch22210t0 xx 0 xx 12)1(20201nnxxC12)1(20202nnxxC1 ,200201nnxxcxc得到：得到：txxtxetxnnnntn1s

34、h11ch)(220020目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 时的振动曲线时的振动曲线1目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动二、小阻尼情形二、小阻尼情形s1、s2 为两个共轭的复根为两个共轭的复根1令：令：21nddnis2,1方程的通解：方程的通解：tctcetxddtnsincos)(21将将 ，带入带入0t0 xx 0 xx txxtxetxddndtnsincos)(000可以改写为：可以改写为：)sin()(tAetxdtn ,20020dnxxxA000arctg xxxnd称

35、为有阻尼系统的固有频率。称为有阻尼系统的固有频率。d目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动振动衰减曲线振动衰减曲线tnAe称为瞬时振幅称为瞬时振幅d称为衰减振动的频率称为衰减振动的频率阻尼对自由振动的影响：阻尼对自由振动的影响：振动的频率降低；振动的频率降低；周期增大；周期增大；振动幅值衰减。振动幅值衰减。定义衰减振动的周期：定义衰减振动的周期：ddT22112n211 T目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动阻尼使衰减振动的周期增大，阻尼使衰减振动的周期增大，频率降低。频率降低。2211112

36、2TTndd当当 时时05.0TTdnd00125.1 ,99875.0 当当 时时3.0TTdnd0480.1 ,95420.0 在小阻尼情况下，计算系统的固有频率时可以在小阻尼情况下，计算系统的固有频率时可以不考虑阻尼的影响，近似认为：不考虑阻尼的影响，近似认为：ndndTT ,目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动减幅系数：减幅系数：定义：定义：1iiAA 有阻尼自由振动的振幅按有阻尼自由振动的振幅按几何级数几何级数衰减，衰减的快慢程衰减，衰减的快慢程度取决于衰减系数度取决于衰减系数n05.02dnT37.1iiiAAA73.037.11

37、振动振动10次后，振幅减少为原来的次后，振幅减少为原来的043.0)73.0(10对数衰减率：对数衰减率：ln1lniiAAdnT212)(dininTttAeAednTe目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动对数衰减率：对数衰减率：2112lnlndniiTAANiiAANln1lnNNijiiiiiNiiAAAAAAAA1211212测定阻尼系数测定阻尼系数目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 相对阻尼系数相对阻尼系数较小时：较小时：22即：小阻尼时：即：小阻尼时：NiiAANln21目录

38、 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动NiiAANln21通过实验确定阻尼系数的方法通过实验确定阻尼系数的方法目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动三、临界阻尼情形三、临界阻尼情形两个相等的重根两个相等的重根1nss21通解为：通解为：tnetCCtx)()(21 系统的运动也不再具有往复振动的特性，而是随时间迅系统的运动也不再具有往复振动的特性，而是随时间迅速衰减并趋于零。速衰减并趋于零。nnmkmnmcncr222crc称为临界阻尼系数，称为临界阻尼系数，仅仅取决于系统本身的特性。仅仅取决于系统

39、本身的特性。nncrnmnmcc22相对阻尼系数，相对阻尼系数，相对阻尼比相对阻尼比nmc2mkc21目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动在大阻尼和临界阻尼的情况下，系统的运动在大阻尼和临界阻尼的情况下，系统的运动迅速衰减，并无振动的特点。迅速衰减，并无振动的特点。1 系统的运动才具有振动的特点。系统的运动才具有振动的特点。振动的频率比无阻尼自由振动的频率小振动的频率比无阻尼自由振动的频率小 振动的幅值以振动的幅值以 的形式衰减。的形式衰减。tne目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动例例2-13 系统在衰减振动过程中，经系统在衰减振动过程中，经20个周期振个周期振幅由幅由0.64cm减为减为0.16cm。Kg 10mcm 1st求：系统的阻尼系数求：系统的阻尼系数 c。解解：416.064.02011AANiiAANln1ln24ln20101103.02204lnncrmcc2stngstgmc201.080.901103.0102s/mN 91.6目录 上页 下页 返回 结束 第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动