第二章--第十三节-导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例-课件.ppt

1、1函数函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是的单调递增区间是 ()A(，2)B(0,3)C(1,4)D(2，)解析：解析：函数函数f(x)(x3)ex的导数为的导数为f(x)(x3)ex1ex(x3)ex(x2)ex，由函数导数与函数单调性，由函数导数与函数单调性的关系得：当的关系得：当f(x)0时，函数时，函数f(x)单调递增，此时由不单调递增，此时由不等式等式f(x)(x2)ex0解得：解得：x2.答案：答案：D2f(x)x33x23x的极值点的个数是的极值点的个数是 ()A0 B1C2 D3解析：解析：由题知由题知f(x)的导函数值恒大于或等于零，所以函的导函数值恒大于或等于零，所以函

2、数数f(x)总单调递增总单调递增答案：答案：A3函数函数f(x)x3ax2在区间在区间(1，)上是增函数，则实上是增函数，则实数数a的取值范围是的取值范围是 ()A3，)B3，)C(3，)D(，3)解析：解析：f(x)3x2a，3a0,即即a3.答案：答案：B4已知函数已知函数f(x)x312x8在区间在区间3,3上的最大值与上的最大值与最小值分别为最小值分别为M，m，则，则Mm_.解析：解析：由题意得由题意得f(x)3x212，令，令f(x)0得得x2，且且f(3)17，f(2)24，f(2)8，f(3)1，所，所以以M24，m8，Mm32.答案：答案：325函数函数f(x)x33ax23(

3、a2)x1既有极大值又有极小既有极大值又有极小值，则值，则a的取值范围是的取值范围是_解析：解析：f(x)x33ax23(a2)x1f(x)3x26ax3(a2)f(x)既有极大值又有极小值既有极大值又有极小值f(x)0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根36a236(a2)0，即，即a2a20a2或或a2或或a11函数的单调性与导数函数的单调性与导数在在(a，b)内可导函数内可导函数f(x)，f(x)在在(a，b)任意子区间内任意子区间内都不恒等于都不恒等于0.f(x)0f(x)为为 ；f(x)0f(x)为为 增函数增函数减函数减函数2函数的极值与导数函数的极值与导数(1)函数的极值函数

4、的极值已知函数已知函数yf(x)，设，设x0是定义域是定义域(a，b)内任一点，如果对内任一点，如果对x0附近的所有点附近的所有点x，都有，都有 ，则称，则称f(x)在点在点x0处取处取极大值并把极大值并把x0称为函数称为函数f(x)的一个的一个 如果在如果在x0附近都有附近都有 ，则称函数，则称函数f(x)在点在点x0处取极小值，处取极小值，并把并把x0称为函数称为函数f(x)的一个的一个 极大值与极大值与 统统称为极值极大值点与极小值点统称为称为极值极大值点与极小值点统称为 f(x)f(x0)极大值点极大值点极小值点极小值点极小值极小值极值点极值点(2)在极值点附近函数及其导数的取值情况在

5、极值点附近函数及其导数的取值情况在在xx1处，若处，若f(x1)0，在，在x1左侧，左侧，f(x)0，在，在x1右右侧，侧，f(x1)0，则，则x1是是f(x)的的 在在xx2处，若处，若f(x2)0，在，在x2左侧，左侧，f(x)0，则，则x2是是f(x)的的 极大值点极大值点极小值点极小值点3函数的最值与导数函数的最值与导数求函数求函数yf(x)在在a，b上的最大值与最小值的步骤为：上的最大值与最小值的步骤为：(1)求函数求函数yf(x)在在(a，b)内的内的 ；(2)将函数将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比比较，其中较，其中 的一个是最大

6、值，的一个是最大值，的一个是最小的一个是最小值值极值极值最大最大最小最小 (2011临沂模拟临沂模拟)已知已知aR，函数，函数f(x)(x2ax)ex.(xR，e为自然对数的底数为自然对数的底数)(1)当当a2时，求函数时，求函数f(x)的单调递减区间；的单调递减区间；(2)若函数若函数f(x)在在(1,1)内单调递减，求内单调递减，求a的取值范围；的取值范围；(3)函数函数f(x)是否为是否为R上的单调函数，若是，求出上的单调函数，若是，求出a的取的取值范围；若不是，请说明理由值范围；若不是，请说明理由考点一考点一导数与函数的单调性导数与函数的单调性(2)f(x)(x2ax)exf(x)(2

7、xa)ex(x2ax)(ex)x2(a2)xaex.要使要使f(x)在在(1,1)上单调递减，上单调递减，则则f(x)0对对x(1,1)都成立，都成立，x2(a2)xa0对对x(1,1)都成立都成立(3)若函数若函数f(x)在在R上单调递减，则上单调递减，则f(x)0对对xR都成立都成立即即x2(a2)xaex0对对xR都成立都成立ex0，x2(a2)xa0对对xR都成立都成立令令g(x)x2(a2)xa，图象开口向上，图象开口向上，不可能对不可能对xR都成立都成立若函数若函数f(x)在在R上单调递增，则上单调递增，则f(x)0，对，对xR都成立，都成立，即即x2(a2)xaex0对对xR都成

8、立，都成立，ex0，x2(a2)xa0对对xR都成立都成立(a2)24aa240故函数故函数f(x)不可能在不可能在R上单调递增上单调递增综上可知，函数综上可知，函数f(x)不可能是不可能是R上的单调函数上的单调函数 (2010重庆高考重庆高考)已知函数已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数是奇函数(1)求求f(x)的表达式；的表达式；(2)讨论讨论g(x)的单调性，并求的单调性，并求g(x)在区间在区间1,2上的最大值上的最大值与最小值与最小值考点二考点二函数的极值与最值函数的极值与最值保持例题条件不变，求保持例题条件不变，求g(x)的极

9、大值和的极大值和极小值极小值.考点三考点三利用导数解决不等式问题利用导数解决不等式问题 (2010安徽高考安徽高考)设设a为实数，函数为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求求f(x)的单调区间与极值；的单调区间与极值；(2)求证：当求证：当aln21且且x0时，时，exx22ax1.自主解答自主解答(1)由由f(x)ex2x2a，xR知知f(x)ex2，xR.令令f(x)0，得，得xln2.于是当于是当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)单调递减单调递减2(1ln2a)单调递增单调递增故故f(x)的

10、单调递减区间是的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是，单调递增区间是(ln2，)，f(x)在在xln2处取得极小值，极小值为处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a)(2)证明：设证明：设g(x)exx22ax1，xR，于是于是g(x)ex2x2a，xR.由由(1)知当知当aln21时，时，g(x)最小值为最小值为g(ln2)2(1ln2a)0.于是对任意于是对任意xR，都有，都有g(x)0，所以，所以g(x)在在R内单调递增内单调递增于是当于是当aln21时，对任意时，对任意x(0，)，都有，都有g(x)g(0)而而g(0)0，从而对任意，从而对任意x(0，

11、)，g(x)0.即即exx22ax10，故，故exx22ax1.考点四考点四导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用(1)写出年利润写出年利润W(万元万元)关于年产量关于年产量x(千件千件)的函数解析式；的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？中所获得利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本注：年利润年销售收入年总成本)某造船公司年造船量是某造船公司年造船量是20艘，已知造船艘，已知造船x艘的产值函数为艘的产值函数为R(x)3700 x45x210 x3(单位：万元单位：万元)，成本函数为，成本函数为

12、C(x)460 x5000(单位：万元单位：万元)，又在经济学中，函数，又在经济学中，函数f(x)的边际的边际函数函数Mf(x)定义为定义为Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利润函数求利润函数P(x)及边际利润函数及边际利润函数MP(x)(提示：利润产值提示：利润产值成本成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？在本题中的实际意义是什么？解：解：(1)P(x)R(x)C(x)10 x345x23

13、240 x5000(xN*，且，且1x20)；MP(x)P(x1)P(x)30 x260 x3275(xN*，且，且1x19)(2)P(x)30 x290 x324030(x12)(x9)，x0，P(x)0时，时，x12，当当0 x0，当，当x12时，时，P(x)0时为增函数；时为增函数；f(x)0时为减函数时为减函数(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f(x)0(或或f(x)0)，x(a，b)，转化为不等式恒成，转化为不等式恒成 立求解立求解2可导函数的极值可导函数的极值(1)可导函数的极值点必须是导数为可导函数的极值点必须是导数为

14、0的点，但导数为的点，但导数为0的的点不一定是极值点，即点不一定是极值点，即f(x0)0是可导函数是可导函数f(x)在在xx0处取得极值的必要不充分条件例如函数处取得极值的必要不充分条件例如函数yx3在在x0处有处有y|x00，但，但x0不是极值点此外，函数不可不是极值点此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点导的点也可能是函数的极值点(2)极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小值小(3)由定义可知，若函数由定义可知，若函数f(x)在区间在区间(

15、a，b)内有极值，那么内有极值，那么f(x)在区间在区间(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值的函数没有极值3函数的最值函数的最值函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的，函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值的，函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值

16、可能成为最值，未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点取得必定是极值最值只要不在端点取得必定是极值4利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式学模型，写出相应的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数求函数的导数f(x)，解方程，解方程f(x)0；(3)比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；(4)回到实际问题，作出解答回到实际问题，作出解答1(文文)

17、已知二次函数已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数的图象如图所示，则其导函数f(x)的图象大致形状是的图象大致形状是 ()解析：解析：由函数由函数f(x)的图象知，当的图象知，当x(，1)时，时，f(x)为减函数，为减函数，f(x)0.答案：答案：C(理理)设函数设函数f(x)在定义域内可导，在定义域内可导，yf(x)的图象如图，则的图象如图，则导函数导函数yf(x)的图象可能为选项中的的图象可能为选项中的 ()解析：解析：由函数由函数f(x)的图象可知，在的图象可知，在y轴的左侧函数轴的左侧函数f(x)是单调是单调递增的，所以导函数递增的，所以导函数yf(x)的图象在的图象在y轴的左

18、侧应该恒为正轴的左侧应该恒为正数，故排除数，故排除A、C，导函数的图象在，导函数的图象在y轴的右侧是先增后减轴的右侧是先增后减再增，所以导函数再增，所以导函数yf(x)的图象是先正后负再正的图象是先正后负再正答案：答案：D答案：答案：B答案：答案：C答案：答案：36(文文)已知函数已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)(1)若函数若函数f(x)在在x1和和x3时取得极值，当时取得极值，当x2,6时，时，f(x)f(x)的的x的取值范围的取值范围故故f(x)x33x29xc，f(x)3x26x9，当，当x变化时，变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大极大值值c5极小极小值值c27而而f(2)c2，f(6)c54，x2,6时，时，f(x)的最大值为的最大值为c54.要使要使f(x)2|c|恒成立，只要恒成立，只要c542|c|即可，即可，当当c0时，时，c5454.当当c0时，时，c542c，c18.c(，18)(54，)点击此图片进入课下冲关作业点击此图片进入课下冲关作业