第一章第五讲单位圆与周期性课件.ppt

1、2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义任意角的正弦函数、余弦函数的定义(1)单单位圆：在直角坐标系中，以位圆：在直角坐标系中，以_为圆心，以为圆心，以_为半径的圆，称为单位圆为半径的圆，称为单位圆(2)任意角的正弦、余弦函数的定义任意角的正弦、余弦函数的定义定义定义2：如图所示，在直角坐标系中，：如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆对于任意角给定单位圆对于任意角，使角，使角的顶点与原的顶点与原点重合，始边与点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交轴正半轴重合，终边与单位圆交于点于点P(u，v)，那么点，那么点P的的_v叫作角叫作角的的正弦函数，记作正弦函数，记作_；点；点P的的_u叫作角叫作

2、角的余弦函数，记作的余弦函数，记作_原点原点单位长单位长纵坐标纵坐标vsin横坐标横坐标ucos 通常，我们用通常，我们用x表示自变量，即表示自变量，即x表示角的大表示角的大小，用小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角形三角形ysinx和和ycosx，它们的定义域为，它们的定义域为_，值域为，值域为_全体实数全体实数1,1(3)正弦函数、余弦函数在各象限的符号正弦函数、余弦函数在各象限的符号象象限限三角函数三角函数第一象第一象限限第二象第二象限限第三象第三象限限第四象第四象限限sin_cos_ 观察右图，在单位圆中，由任意角观察右图，在单位圆中，由

3、任意角的正弦函数、余弦函数定义不难得到下的正弦函数、余弦函数定义不难得到下列事实：终边相同的角的正弦函数值相列事实：终边相同的角的正弦函数值相等，即等，即 ；终边相同的角的余弦函数值相等，终边相同的角的余弦函数值相等，即即 .新课探究新课探究 周期函数周期函数sin(x2k)sinx,kZ cos(x2k)cosx,kZ 把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作把这种随自变量的变化呈周期性变化的函数叫作周期函数周期函数.正弦函数、余弦函数是周期函数，正弦函数、余弦函数是周期函数，2k(kZ,k0)称为称为正弦函数、余弦函数的正弦函数、余弦函数的周期周期.例如例如-4、-2 、2、4 等都是它

4、们的周期等都是它们的周期.其中其中2 是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为是正弦函数、余弦函数正周期中最小的一个，称为最小正最小正周期周期.一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个对定义域内的任意一个x值，都有值，都有f(x+T)=f(x),我们就把我们就把f(x)称为称为周期函数周期函数，T称为这个函数的周称为这个函数的周期期.说明：说明：若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期周期.特别提醒：特别提醒：1.1.T是非零常数是非零常数.2.2.任意任意xD D都有都有x+

5、TD,T00，可见函数的定，可见函数的定义域无界是成为周期函数的必要条件义域无界是成为周期函数的必要条件.3.3.任取任取xD D，就是取遍，就是取遍D D 中的每一个中的每一个x，可见周，可见周期性是函数在定义域上的整体性质期性是函数在定义域上的整体性质.理解定义时，理解定义时，要抓住每一个要抓住每一个x x都满足都满足f f(x+T)=f=f(x)成立才行成立才行.4.4.周期也可推进，若周期也可推进，若T是是f f(x)的周期，那么的周期，那么2 2T也也是是y=f f(x)的周期的周期.1.1.函数函数f f(x x)=c=c(c c为常数为常数),),x xRR，问函数，问函数f f

6、(x x)是是不是周期函数，若是，有无最小正周期不是周期函数，若是，有无最小正周期.答答:是，无最小正周期是，无最小正周期.2.2.等式等式sin(30sin(30+120+120)=sin30)=sin30是否成立？如果是否成立？如果成立，能否说明成立，能否说明120120是正弦函数是正弦函数y y=sin=sinx,xx,xRR的的一个周期？为什么？一个周期？为什么？答答:成立，不能说明，因为不符合定义中的每一个成立，不能说明，因为不符合定义中的每一个x x.思考思考【即时练即时练】关关于周期函数，下列说法正确的是于周期函数，下列说法正确的是_(_(填序号填序号).).周期函数的定义域可以

7、是有限集；周期函数的定义域可以是有限集；周期函数的周期只有唯一一个；周期函数的周期只有唯一一个；周期函数的周期可以有无数多个；周期函数的周期可以有无数多个；周期函数的周期可正可周期函数的周期可正可负负.【解析解析】由周期函数的定义可得是错误的，由周期函数的定义可得是错误的，是正确的是正确的.题型一、利用终边相同的角的公式化简、求值题型一、利用终边相同的角的公式化简、求值 证明：证明：f(x2a)f(xa)af(xa)f(x)f(x)，f(x)是周期函数，且是周期函数，且2a是它的一个周期是它的一个周期题型二、周期函数的理解与应用题型二、周期函数的理解与应用 常常见周期函数的形式见周期函数的形式

8、周期函数除常见的定义式周期函数除常见的定义式f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)外，还有如下四种外，还有如下四种形式：形式：(1)f(x+a)=-f(x).(1)f(x+a)=-f(x).(2)f(x+a)=(2)f(x+a)=(3)f(x-a)=(3)f(x-a)=(4)f(x-a)=f(x+a).(4)f(x-a)=f(x+a).以上四种形式的函数都是以以上四种形式的函数都是以2a2a为周期的周期函数为周期的周期函数.1.f x 1.f x变式训练变式训练2 2（1 1）已已知函数知函数f(x)f(x)的周期为的周期为3 3，且，且f(1)=f(1)=1010，则，则f(10)=_

9、.f(10)=_.（2 2）已知函数）已知函数f f(x x)是以是以2 2为周期的奇函数，为周期的奇函数，f f(1)(1)3 3，求，求f f(7 7）的值）的值(3)(3)若若f(x)=f(x+2)+f(xf(x)=f(x+2)+f(x2)2)，且，且f(2 015)=2 f(2 015)=2 015015，则则f(2 f(2 027)=_.027)=_.（4 4）设定义在）设定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(x)f(x+2)=13.f(x)f(x+2)=13.若若f(1)=2f(1)=2，则，则f(2015)=_.f(2015)=_.解：解：(1)1)因为函数因为

10、函数f(x)f(x)的周期为的周期为3 3，所以所以f(10)=f(1+3f(10)=f(1+33)=f(1)=3)=f(1)=10.10.（2）解：）解：由题意知由题意知f(7)f(7)，f(7)f(321)f(1)3，f(7)3.(3)(3)因因f(xf(x)=f(x+2)+f(x)=f(x+2)+f(x2),2),所所以以f(x+2)=f(x)f(x+2)=f(x)f(xf(x2),2),f(x+4)=f(x+2)f(x+4)=f(x+2)f(x),f(x+6f(x),f(x+6)=f(x+4)=f(x+4)f(x+2),f(x+2),所以所以f(x+6)=f(x+6)=f(x)f(x)，即函数的周期是，即函数的周期是12.12.f(2 027)=f(2 015+12)=f(2 015)=2 f(2 027)=f(2 015+12)=f(2 015)=2 015.015.（4 4）因因f(xf(x)f(x+2)=13,)f(x+2)=13,所所以以f(3)=f(3)=所以所以f(x)f(x)是以是以4 4为周期的函数为周期的函数.所所以以f(2015)=f(503f(2015)=f(5034+34+3)=)=f(3)=f(3)=1313f x 2f x 4f x,f xf x 2，1313.f 12132