第11章布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型课件.ppt

1、p1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black&Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响。p同年，Robert C.Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。p在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型(下文简称B-S-M模型),并由此导出衍生证券定价的一般方法。南昌大学金融工程学多媒体课件1目 录p 第一节第一节 B-S-MB-S-M期权定价模型的基本思路期权定价模型的基本思路p第二节第二节 股票价格的变化过程股票价格的变

2、化过程p第三节第三节 B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式p第四节第四节 BSM BSM期权定价公式的精确度评价期权定价公式的精确度评价与拓展与拓展南昌大学金融工程学多媒体课件2p我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。p因此，要研究期权的价格,首先必须研究股票价格的变化规律。在 了解了股票价格的规律后,我们试图通过股票来复制期权,并以此为依据给期权定价。p在下面几节中我们会用数学的语言来描述

3、这种定价的思想。南昌大学金融工程学多媒体课件3p股票价格的变化过程可以用数学上的一种随机过程-几何布朗运动较好地加以描述，其具体形式如下：p根据伊藤引理可以推导出，当股票价格服从(11.1)时，作为股票衍生产品的期权价格f将服从：p综合(11.1)和(11.2)式发现,股票与期权受共同的随机因素dz影响,适当的股票与期权组合可将其消除。南昌大学金融工程学多媒体课件4)1.11(dzdtSdS)2.11()21(2222SdzSfdtSSftfSSfdfp、市场有效理论与随机过程、市场有效理论与随机过程p一、标准布朗运动一、标准布朗运动p二、普通布朗运动二、普通布朗运动p三、伊藤过程与伊藤引理三

4、、伊藤过程与伊藤引理p四、股票价格的变化过程：几何布朗运动四、股票价格的变化过程：几何布朗运动p五、预期收益率五、预期收益率与波动率与波动率p六、衍生证券所服从的随机过程六、衍生证券所服从的随机过程南昌大学金融工程学多媒体课件5p效率市场假说：1965年,法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说，认为证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的,证券价格能完全反应全部信息。p根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符合弱式效率市场假说。一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。因此我们可以用数学来刻画股票的这种特征。p马

5、尔可夫过程：是一种特殊类型的随机过程:只有变量的当前值才与未来的预测有关,变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。南昌大学金融工程学多媒体课件6、市场有效理论与随机过程、市场有效理论与随机过程p如果证券价格遵循马尔可夫过程，则意味着其未来价格的概率分布只取决于该证券现在的价格，这显然和弱式效率市场假说是一致的。p人们通常用形如：的几何布朗运动来描绘股票价格的变化过程，这是BSM期权定价模型的基础性假设，也是金融中最普遍最重要的假设之一p几何布朗运动中最重要的是dz项,它代表影响股票价格变化的随机因素,通常称之为标准布朗运动(standrard Brownian motion

6、)或维纳过程(Wiener process)。南昌大学金融工程学多媒体课件7、市场有效理论与随机过程、市场有效理论与随机过程dzdtSdSp布朗运动(Brownian Motion)起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运动的描述。p标准布朗运动：设t代表一个小的时间间隔长度,z代表变量z在t时间内的变化，遵循标准布朗运动的z具有两种特征：p特征特征1:1:z和t的关系满足:其中代表从标准正态分布中取的一个随机值。p特征特征2 2：对于任何两个不同时间间隔t,z的值相互独立。南昌大学金融工程学多媒体课件8一、标准布朗运动一、标准布朗运动)3.11(tzp对于以上两个特征的理解：对于以上

7、两个特征的理解：1.从特征1可知，z本身也具有正态分布特征,其均值为0，标准差为 ,方差为t。2.从特征2可知,标准布朗运动符合马尔可夫过程,因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。当t0时,就可以得到极限的标准布朗运动：南昌大学金融工程学多媒体课件9t)4.11(dtdz一、标准布朗运动一、标准布朗运动p对标准布朗运动的理解对标准布朗运动的理解:1.下面我们来考查符合标准布朗运动的变量z在一段较长时间T-t中的变化情形：令z(T)-z(t)表示变量z在T-t中的变化量，它又可被看作是在N个长度为t的小时间间隔中z的变化总量，其中：N=(T-t)/t很显然，这是n个相互独立的正态分布的和：因此,z(

8、T)-z(t)也具有正态分布特征，其均值为0，方差为N t=T-t，标准差 。南昌大学金融工程学多媒体课件10ttzTzNii1)()(tT 一、标准布朗运动一、标准布朗运动p对标准布朗运动的理解对标准布朗运动的理解:2.为何定义z=而非z=t？(1)维纳过程中用即标准正态分布的随机变量来反映变量变化的随机特征。现实生活中很多变量的分布都近似与正态分布,加上其在数学上的易于处理,使得它成为最常见和最重要的分布假设。(2)数学上可以证明，具备特征1盒特征2的维纳过程是一个马尔可夫随机过程,这一点与金融学中的弱式效率市场假设不谋而合。(3)变量变化服从,独立的正态分布,期望值和方差具有可加性，这样

9、定义可以使方差与时间长度成比例，不受时间划分方法的影响。南昌大学金融工程学多媒体课件11t一、标准布朗运动一、标准布朗运动p标准布朗运动变量z的随机运动，然而现实生活中大部分变量的运动过程不仅包括随机波动，还可能存在时间趋势等特征。因此需要在标准布朗运动的基础上进一步引入普通布朗运动，以便更好地描述随机变量的运动特征。p为了得到普通布朗运动，必须引入两个概念：漂移率和方差率。漂移率是指单位时间内变量z均值的变化值，方差率是指单位时间内的方差。p令漂移率为a,方差率为b2,得到变量x普通布朗运动：其中,a和b为常数,dz遵循标准布朗运动。南昌大学金融工程学多媒体课件12二、普通布朗运动二、普通布

10、朗运动)5.11(bdzadtdxp对普通布朗运动的理解对普通布朗运动的理解1.显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程，其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a。第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音。这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。2.在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为 ，方差为b2T。3.标准布朗运动的漂移率a为0,标准率为1。南昌大学金融工程学多媒体课件13Tb二、普通布朗运动p普通布朗运动的离差形式为:p显然，x也具有正态分布特征，其均值为at，标准差为b ，方差为b2t。同样在任意时间长度T

11、-t后x值的变化也具与正态分布特征，其均值为a(T-t),方差为b2(T-t)。南昌大学金融工程学多媒体课件14tbtaxt二、普通布朗运动14南昌大学金融工程学多媒体课件p普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可以得到:这就是伊藤过程（Ito Process）p其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。南昌大学金融工程学多媒体课件15)6.11(),(),(dztxbdttxadx三、伊藤过程与伊藤引理p在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变

12、量x和t的函数G将遵循如下过程：p其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。南昌大学金融工程学多媒体课件16)7.11()21(222bdzxGdtbxGtGaxGdG三、伊藤过程与伊藤引理p对伊藤引理的理解对伊藤引理的理解1.伊藤引理可以通过泰勒展开式推导，请同学们在复习泰勒展开式的基础上自己尝试进行推导。2.由于 和 都是x和t的 函数，因此函数G也遵循伊藤过程，它的漂移率为：，方率为 。南昌大学金融工程学多媒体课件1722221bxGtGaxGbxG22221bxGtGaxG22)(bxG三、伊藤过程与伊藤引理p案例案例11.111.1运用伊藤引理推导运用伊藤引理推导lnsln

13、s所遵循的随机过程所遵循的随机过程假设变量S服从 ，其中和都为常数，则lnS遵循怎样的随机过程？由于和是常数，S显然服从 ，的伊藤过程，可用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程。令 ，则代入式(11.7)得到 遵循的随机过程为：由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续复利收益率服从期望值 ，方差为 的正态分布。dSSdtSdz(,)a S tS(,)b S tSSGln0,1,1222tGSSGSSGSGln2()2dt2dt南昌大学金融工程学多媒体课件18)8.11()2/(ln2dzdtSddG三、伊藤过程与伊藤引理p一般来说,金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率

14、为S、方差率为 S2的伊藤过程来表示：p采用几何布朗运动的原因有两个：1.可以避免股票价格为负与有限责任相矛盾的问题；2.几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较为吻合。p两边同除以S得：p表示证券在瞬间内以连续复利表示的期望收益率(又称预期收益率),表示证券收益率瞬间的标准差，简称证券价格的波动率(Volatility),其中,和的时间度量单位一般都采用年。南昌大学金融工程学多媒体课件192dSSdtSdz四、股票价格的变化过程:几何布朗运动（离散形式）连续形式ztSSdzdtSdS/)(/p 从案例11.1我们已经知道，如果股票价格服从几何布朗运动，则有:p 从自然对数

15、的定义域可知，S不能为负数。另外从上式可以看出，股票价格的对数服从普通布朗运动，因为它具有恒定的漂移率 和恒定的方差率 。由前文的分析可知，当一个变量服从普通布朗运动时p其在任意时间长度T-t内的变化值都服从均值为 、方差为 的正态分布。也就是说，2ln()2dGdSdtdz2/22bdzadtdxa Tt22bTt)10.11(),)(lnln)9.11(),)(lnln2222tTtTSStTtTSSTT南昌大学金融工程学多媒体课件20四、股票价格的变化过程:几何布朗运动p由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数正态分布。这表明S

16、T服从对数正态分布。根据对数正态分布的特性，以及符号的定义，我们可以得到:和p 实际上就是股票价格在Tt期间的连续复利收益率，则Tt期间年化的连续复利收益率可以表示为 ，从式（11.9）可知随机变量 服从正态分布)()(tTTSeSE 1)var()()(222tTtTTeeSSSSTlnlnlnlnTSSTt22(),Tt南昌大学金融工程学多媒体课件21四、股票价格的变化过程:几何布朗运动p股票价格几何布朗运动参数的理解（股票价格几何布朗运动参数的理解（）1.是几何布朗运动中的期望收益率。2.根据CAPM定理,取决于该证券的系统性风险、无风险利率、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素

17、,因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是,我们将在下文证明,衍生证券的定价与标的资产的预期收益率是无关的3.较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 X就等于ST，否则就等于o的一个变量的预期值，SN(d2）则是这个预期值的贴现值，可以看成期权持有者执行期权说得收入的现值。故整个公式可以看成是二者之差。南昌大学金融工程学多媒体课件44三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式Ep(一)无收益资产欧式看涨期权的定价公式2.期权定价公式可以看做一个与欧式看涨期权等价的，或者说是复制期权的投资组合，这个组合由股票和债券组成。是构造无风险组合时的,就是复制投资组合中股票的数量,SN(d1)就是

18、股票的市值。Xe-r(T-t)N(d2)是复制交易策略中负债的价值。3.从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以或有资产看涨期权多头和或有现金看涨期权空头，SN(d1)是或有资产看涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份或有现金看涨期权空头的价值。4.看书上【案例11.5】：P203南昌大学金融工程学多媒体课件45三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式ScdN/)1(p(二)无无收益资产美式看涨期权的定价公式无收益资产美式看涨期权的定价公式:在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行是不合理的，因此C=c，无收益资产美式看涨期权的定价公式同样是：p(三三)无收益资产的欧

19、式看跌期权的定价公式无收益资产的欧式看跌期权的定价公式:根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系,可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式:南昌大学金融工程学多媒体课件46)21.11()()(12)(dSNdNXeptTr()12()()r T tCSN dXeN d三、三、B-S-MB-S-M期权定价公式期权定价公式p(一一)有收益资产的欧式期权的定价公式有收益资产的欧式期权的定价公式对于有收益标的资产的欧式期权，在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只

20、要用S表示有风险部分的证券价格。表示风险部分遵循随机过程的波动率，就可直接套用公式（11.20）和（11.21）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。南昌大学金融工程学多媒体课件47四、有收益资产的期权的定价公式四、有收益资产的期权的定价公式p(一一)有收益资产的欧式期权的定价公式有收益资产的欧式期权的定价公式当已知收益的现值为I时,用(S-I)代替S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q(单位为年)时,只要将 代替S就可求出这类证券欧式看涨和看跌期权的价格。期货、股指和外汇期权都是标的资产支付连续复利收益率的期权:欧式期货期

21、权是一个支付连续红利率为r的资产的欧式期权;股指期权以市场平均股利支付率为收益率;外汇期权标的资产的连续红利率为该外汇国的无风险利率。南昌大学金融工程学多媒体课件48)(tTqSe四、有收益资产的期权的定价公式四、有收益资产的期权的定价公式p(一一)有收益资产的欧式期权的定价公式有收益资产的欧式期权的定价公式对于欧式期货期权，可以将其当成一个支付连续红利率为r的资产的欧式期权。因此，此时布莱克舒尔斯期权定价模型为：南昌大学金融工程学多媒体课件49)()(21)(dXNdFNectTr)()(12)(dFNdXNeptTr21ln(/)(/2)()F XTtdTt221ln(/)(/2)()F

22、XTtddTtTt四、有收益资产的期权的定价公式四、有收益资产的期权的定价公式p(二二)有收益资产的美式期权的定价公式有收益资产的美式期权的定价公式1.美式看涨期权v当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近似处理方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理。若不合理，则按欧式期权处理;若在 提前执行有可能是合理的，则要分别计算在T时刻和 时刻到期的欧式看涨看涨期权的价格,然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下,这种近似效果都不错。南昌大学金融工程学多媒体课件50ntnt四、有收益资产的期权的定价公式四、有

23、收益资产的期权的定价公式p(二二)有收益资产的美式期权的定价公式有收益资产的美式期权的定价公式1.美式看涨期权v【案例11.6】假设一种1年期的美式股票看涨期权，标的股票在5个月和11个月后各有一个除权日，每个除权日的红利期望值为1.0元，标的股票当前的市价为50元，期权协议价格为50元，标的股票波动率为每年30%，无风险连续复利年利率为10%，求该期权的价值。v首先我们要看看该期权是否应提前执行。根据第5章的结论，美式看涨期权不能提前执行的条件是：南昌大学金融工程学多媒体课件511)(1iittrieXD四、有收益资产的期权的定价公式四、有收益资产的期权的定价公式p(二二)有收益资产的美式期

24、权的定价公式有收益资产的美式期权的定价公式1.美式看涨期权vD1=D2=1.0元,而第一次除权日前不等式右边为：v由于2.43851.0元，因此在第一个除权日前期权不应当执行。v第二次除权日前不等右边为：v由于0.4148C12,该期权价值近似为7.2824元南昌大学金融工程学多媒体课件55元95920014167010.e)(.)(.)()(.212916701011162034504084950040849dNdNdNedNc39520916703091670209010500408491.)/.()/.ln(d元2824.7543.06203.456536.00408.491080.09

25、167.03.03952.0112cd四、有收益资产的期权的定价公式四、有收益资产的期权的定价公式p(二二)有收益资产的美式期权的定价公式有收益资产的美式期权的定价公式2.美式看跌期权v美式看跌期权无论标的资产有无收益都有提前执行的可能，而且与其对应的看涨期权也不存在精确的平价关系，因此我们一般通过数值方法来求美式看跌期权的价值。南昌大学金融工程学多媒体课件56四、有收益资产的期权的定价公式四、有收益资产的期权的定价公式p我们已经知道，B-S-M期权定价公式中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参

26、数当中，前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。南昌大学金融工程学多媒体课件57五、五、B-S-MB-S-M期权的定价公式的参数估计期权的定价公式的参数估计p（一）估计无风险利率（一）估计无风险利率在发达的金融市场上,很容易获得无风险利率的估计值，但在实际应用时仍然需要注意几个问题。首先,要选择正确的利率。要注意选择无风险的即期利率(即零息票债券的到期收益率),而不能选择附息票债券的到期收益率，并且要转化为连续复利的形式,才可以在B-S-M公式中应用。一般来说,在美国人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值，在中国过去通常使用银

27、行存款利率,现在则可以从银行间债券市场的价格中确定国债即期利率作为无风险利率。其次,要注意选择利率期限。如果利率期限结构曲线倾斜严重，那么不同到期日的收益率很可能相差很大，我们必须选择距离期权到期日最近的利率作为无风险利率。南昌大学金融工程学多媒体课件58五、五、B-S-MB-S-M期权的定价公式的参数估计期权的定价公式的参数估计p（二）估计标的资产价格的波动率（二）估计标的资产价格的波动率估计标的资产价格的波动率要比估计无风险利率困难得多，也更为重要。估计标的资产价格波动率有两种方法：历史波动率和隐含波动率。1.历史波动率:是从标的资产价格的历史数据中计算出价格对数收益率的标准差,具体方法一

28、般有两种,第1种直接用一般统计方法计算样本对数收益率标准差,【案例11.7】(P206)以股票价格为例给出了这种方法的一个简单说明。第2种则包括广义自回归条件异方差模型(GARCH）、随机波动率模型等。南昌大学金融工程学多媒体课件59五、五、B-S-MB-S-M期权的定价公式的参数估计期权的定价公式的参数估计p（二）估计标的资产价格的波动（二）估计标的资产价格的波动率率2.隐含波动率:资本市场具有强大的信息功能。资本市场上股票价格、债券价格、期权价格等都包含了重要的信息。在现实中，我们常常已经知道了期权价格，这时我们就可以利用期权价格来倒推出其中隐含的波动率信息。所谓的隐含波动率，即根据B-S

29、-M期权定价公式，将公式中除了波动率以外的参数和市场上的期权报价代入，计算得到的波动率数据，然后用于其它条件类似的期权定价、风险管理等。显然，这里计算得到的波动率可以看作是市场对未来波动率的预期。南昌大学金融工程学多媒体课件60五、五、B-S-MB-S-M期权的定价公式的参数估计期权的定价公式的参数估计南昌大学金融工程学多媒体课件61p一、一、B-S-MB-S-M期权的定价公式的精确度评价期权的定价公式的精确度评价1.1.精度问题：精度问题：我们可以运用布莱克舒尔斯期权定价公式计算出期权价格的理论值，然后与市场上的期权价格进行比较。实证研究显示：v舒尔斯期权定价公式倾向于高估方差高的期权，低估

30、方差低的期权。v高估实值期权的价格,低估虚值期权的价格v改变波动率的估计的方式会提高布莱克舒尔斯期权定价公式在预测实际价格时的表现。第四节、第四节、B-S-MB-S-M期权的定价公式的精确度与拓展期权的定价公式的精确度与拓展南昌大学金融工程学多媒体课件62p一、一、B-S-MB-S-M期权的定价公式的精确度评价期权的定价公式的精确度评价2.2.原因分析：原因分析：造成用B-S-M期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异的原因主要有:v计算错误；v期权市场价格偏离均衡；v使用的错误的参数；v B-S-M期权定价公式建立在众多假定的基础上。第四节、第四节、B-S-MB-S-M期权的定价公式的精确度与拓展期权的定价公式的精确度与拓展南昌大学金融工程学多媒体课件63p二、二、B-S-MB-S-M期权的定价公式的缺陷与拓展期权的定价公式的缺陷与拓展 无交易成本假设的放松 常数波动率假设的放松 参数假设的放松 资产价格连续变动假设的放松第四节、第四节、B-S-MB-S-M期权的定价公式的精确度与拓展期权的定价公式的精确度与拓展