立体几何课件.ppt

1、2.求空间中的角练习练习E1D1C1B1A1CBAv例例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBOa2答案：Cv3.二面角v设n1、n2分别是二面角两个半平面、的法向量，由几何知识可知，二面角-L-的大小与法向量n1、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1n1n2n2v例例7在四棱锥S-ABCD中DAB=ABC=90，侧棱SA底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C

2、的大小.BCzxyABCDS解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.v设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由v 得v n1=(1,1,2).v而面SAD的法向量n2=(1,0,0).v于是二面角A-SD-C的大小满足v v二面角A-SD-C的大小为 .)0,1,1(),1,1,1(CDSC得取解得2,22,00zzyzxyxzyx,66610014111,coscos21nn66arccos例练习：（2）解法2：设平面PBD的法向量为：n=(n=(x,y,zx,y,z)00DPnBPn =(1，0，-）,x

3、-z=0,且-x-y-z=03BP33x=z,y=-2 z33令z=1,得：n=(,-2 ,1 )33平面CBD的法向量为 =(0，0，）PO3又3PO3POn41433,ponCOS二面角P-BD-C的大小为：arccos 1/4)3(-1,-1,-DP41)32()3(22n解法二：设平面PAD的法向量为：n=(x,y,z)3,2,1(PA解得：取x=1,得n1=(1 ,2,-)3同理：可得平面PAB的法向量为n2=(,0,1)3(-1,-1,-DP03203zyxzyx3xzxy32 n1 n2=+0+=033平面PAD平面PBD3.求解空间中的距离v(1)异面直线间的距离v两条异面直线

4、间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.v如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.v v即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值线的方向向量模的比值.nabAB,|nnABnnABdv例例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1v解:建立如图所示的

5、空间直角坐标系A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得v n=(-1,-1,2).v v ,v异面直线AC1与BD间的距离)0,1,1(),1,1,1(1BDAC得取解得2,22,00zzyzxyxzyx)0,0,1(AB66411|001|nnABdv(2)点到平面的距离vA为平面外一点(如图),n为平面的法向量,过A作平面的斜线AB及垂线AH.v v =v =.v于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值的比值.|,cos|sin|nABABABAH|nABnABAB|nnABnABHv例例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,ACB=90,v求B1到面A1BC的距离.2zxyCC1A1B1AB