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1、理 论 力 学理论力学理论力学第十二章 动量矩定理质点质点系动量定理：动量的改变外力(外力系主矢)质心运动定理：质心的运动外力(外力系主矢)第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量定理动量定理 建立了作用力与动量变化之间的关系，揭示了质点系机械运动规律的一个侧面（平动效应）。例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动，圆轮的动量都是零，动量定理不能说明这种运动规律。动量矩定理是建立质点和质点系相对于某固定点(或固定轴)的动量矩的改变与外力对同一固定点(或固定轴)之矩两者之间的关系。第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量矩定理动量矩定理:则是从另一个侧面，揭示出质点系相对于某一定点或质心的运动

2、规律（转动效应）。第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理【本章重点内容】第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理质点和质点系的动量矩计算定轴转动的转动惯量计算质点和质点系的动量矩定理动量矩守恒定律刚体绕定轴的转动微分方程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理一、一、质点的动量矩质点的动量矩对点O的动量矩：质点的动量对固定点O之矩。AB 单位:kgm2/s垂直于矢径与动量形成的平面；大小:方向:)(vmMO矢量r符合右手法则；指向:yxzOvm)(vmMOvmr|)(|vmMOOBArmvsinOABS 2yxzOABABxyvm)(对z轴的动量矩：质点动量在Oxy平面内的投影对z轴之矩。单位:k

3、gm2/s正负:迎着z轴看，逆时针为 正，顺时针为负。代数量)(vmMOvmr质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系:)(vmMz)(vmMz)()(vmMvmMzzO（12-2）一、一、质点的动量矩质点的动量矩二二、质点系的动量矩质点系的动量矩对点的动量矩对轴的动量矩1、刚体平移 平移刚体对固定点(或固定轴)的动量矩等于刚体质心的动量对该固定点(或固定轴)的动量矩。)(iiOOvmML)(iizzvmMLzzOLLkLjLiLLzyxO);(COOvmML)(CzzvmML（12-3）（12-4）（12-4）刚体平动刚体平动可将全部质量集中于质心，做为一个质点计算其动量矩。可将全部质量

4、集中于质心，做为一个质点计算其动量矩。ABz2、刚体绕定轴转动转动惯量iivmirim)(iizzvmMLiiirvm)(iiirrm)(2iirm2iizrmJzzJL 二二、质点系的动量矩质点系的动量矩（12-6）定轴转动动量矩第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理一、一、质点的动量矩质点的动量矩定理定理设O为定点，r)(FMO)(vmMO质点对定点O 的动量矩为)(vmMO作用力F 对定点O 的矩为)(FMO)()(vmrdtdvmMdtdO)(vmdtdrvmdtrdFrvmv)()(FMvmMdtdOOzyxOFvmm（12-7）()OMF sina babc0F质点的动量矩定理：质

5、点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点之矩。质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一轴之矩)()(FMvmMdtdOO)()()()()()(FMdtmvMdFMdtmvMdFMdtmvMdzzyyxx 投影式投影式（12-7）（12-8）一、一、质点的动量矩质点的动量矩定理定理二二、质点质点系系的动量矩的动量矩定理定理=0由质点的动量矩定理得：作用于第i个质点的力有内力Fii和外力Fie)()()(iiOeiOiiOFMFMvmMdtd)()()(iiOeiOiiOFMFMvmMdtd)()(eiOiiOFMvmMdtd)(eiOOFMdtLd（12-9）内力不

6、改变质点系的动量矩质点系对某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对同一轴之矩的代数和。)(eiOOFMdtLd质点系动量矩定理：质点系对某定点O 的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对O点之矩的矢量和。)()()(eizzeiyyeixxFMdtLdFMdtLdFMdtLd 投投影影式式（12-9）二二、质点质点系系的动量矩的动量矩定理定理（12-10）O解：解：取小车与鼓轮为取小车与鼓轮为 研究对象研究对象,画受力图画受力图 运动分析运动分析vRmJLO2RgmMFMeiO)sin()(2 系统对系统对O轴的动量矩轴的动量矩系统外系统外力对力对O轴的力矩轴的力矩例例1

7、2-1 高炉运送矿石用的卷扬机。已知鼓轮半径高炉运送矿石用的卷扬机。已知鼓轮半径R,质量质量m1,轮绕轮绕O轴转动轴转动;小车和矿石总质量为小车和矿石总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶。作用在鼓轮上的力偶矩为矩为M,鼓轮对转轴的转动惯量为鼓轮对转轴的转动惯量为J,轨道倾角轨道倾角。不计绳质量。不计绳质量和各处摩擦和各处摩擦,求小车的加速度求小车的加速度a。gm1vgm2NFRvRvRmJ)(22MOyFOxF)(eiOOFMdtdL 由质点系对由质点系对O轴的动量矩定理得轴的动量矩定理得Ogm1vgm2NFMOyFOxFRgmMRvRmJdtd)sin()(222 即即RgmMRaRmJ)sin

8、()(222222)sin(RmJRgRmMa例例12-1 已知轮半径已知轮半径R,质量质量m1,轮绕轮绕O轴转动轴转动;小车和矿石总质小车和矿石总质量为量为m2，鼓轮上的力偶矩为，鼓轮上的力偶矩为M,鼓轮对转轴的转动惯量为鼓轮对转轴的转动惯量为J,轨轨道倾角道倾角。不计绳质量和各处摩擦。不计绳质量和各处摩擦,求小车的加速度求小车的加速度a。三三、动量矩守恒定律动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律：如果作用于质点的力对某定点O之矩恒等于零,则质点对该点的动量矩保持不变。如果作用于质点的力对某定轴之矩恒等于零，则质点对该轴的动量矩保持不变。0)()(FMvmMdtdOO常矢量常矢量)(vmMO0)(

9、)(FMvmMdtdzz常数常数)(vmMz质点系动量矩守恒定律：如果作用于质点系的外力对某定点O的主矩恒等于零，则质点系对该点的动量矩保持不变。如果作用于质点系的外力对某定轴z之矩的代数和恒等于零，则质点系对该轴的动量矩保持不变。0)(eiOOFMLdtd常常矢矢量量OL0)(eizzFMLdtd常数常数zL三三、动量矩守恒定律动量矩守恒定律F人造卫星绕地球运动)(vmMOSvm恒矢量hrO质点对点O的动量矩的大小不变vmrvmMO)(SvmMO)(r 和mv始终在同一平面内，方向始终不变)(vmMOmvhvmMO|)(|人造卫星绕地球运动时,离地心近时速度大,离地心远时速度小。三三、动量矩

10、守恒定律动量矩守恒定律例例12-2 滑轮半径为滑轮半径为R,质量不计质量不计,猴子猴子,重物质量均为重物质量均为m,初始静初始静止。当猴子以速度止。当猴子以速度u相对绳向上爬时，重物如何运动（速度）相对绳向上爬时，重物如何运动（速度）解：解：取系统为研究对象取系统为研究对象,画受力图画受力图 运动分析运动分析0)(eiOFM 外力对外力对O轴的力矩轴的力矩)(vumvRRvum)(0 由质点系动量矩守恒定律得由质点系动量矩守恒定律得uv5.0uOyFOxFmgmgv设重物速度为设重物速度为v猴子速度猴子速度O第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理主动力:约束力:刚体对于z轴的转动惯量为Jz定轴

11、转动刚体对转轴的动量矩z,nF2F1FiFByFBxFBzFAyFAxFniFFF,1BzByBxAyAxFFFFF,;,zzJL 由动量矩定理 得)(eizzFMdtdL)(izzFMdtdJ)(izzFMJ)(22izzFMdtdJ一、刚体绕定轴转动的微分方程一、刚体绕定轴转动的微分方程（12-11）刚体绕定轴的转动微分方程转动惯量 刚体转动时惯性的度量质点的运动微分方程 )()()(22izzizzizzFMJFMdtdJFMdtdJ 刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴之矩的代数和。2iizrmJFam一、刚体绕定轴转动的微分方程一、刚体绕定轴转动的微分方

12、程形式相同形式相同1 1）作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体的转动状态发生变化；作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体的转动状态发生变化；2 2）如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等于零，则刚体作匀如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等于零，则刚体作匀速转动；速转动；如果主动力对转轴的矩的代数和为恒量，则刚体作匀变速转动；如果主动力对转轴的矩的代数和为恒量，则刚体作匀变速转动；3 3）在一定的时间间隔内，当主动力对转轴的矩相同时，刚体的转动惯在一定的时间间隔内，当主动力对转轴的矩相同时，刚体的转动惯量越大，转动状态变化越小；转惯量越小，转动状态变化越大。这就是量越大，转动状态变化越小；转

13、惯量越小，转动状态变化越大。这就是说，刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。说，刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。转动惯量是刚体转动时惯性的度量转动惯量是刚体转动时惯性的度量把刚体的转动微分方程与质点的运动微分方程加以对照把刚体的转动微分方程与质点的运动微分方程加以对照:)(FMJzz可见它们是相似的，因此求解问题的方法也是相似的。可见它们是相似的，因此求解问题的方法也是相似的。Fam二、刚体绕定轴转动的分析二、刚体绕定轴转动的分析例例12-3 复摆质量为复摆质量为m,C为其质心为其质心,OC=l,摆对悬挂点摆对悬挂点O的转的转动惯量为动惯量为JO,求微小摆动的

14、周期。求微小摆动的周期。解：解：取复摆为研究对象取复摆为研究对象,画受力图画受力图 由刚体转动微分方程得由刚体转动微分方程得sin)sin(0tJmglOmgOyFOxFOCsinmglJO 0sinOJmgl 小扰动时，小扰动时，0OJmgl 通解通解线性方程线性方程标准非线性方程标准非线性方程)sin(0tJmglOOnJmgl固有圆频率：固有圆频率：（2 2时间内摆动次数）时间内摆动次数）2nf 固有频率：固有频率：（单位时间内摆动次数）（单位时间内摆动次数）0初相位：初相位：由初始条件确定由初始条件确定nfT21周期：周期：mglJO2例例12-3 复摆质量为复摆质量为m,C为其质心为

15、其质心,OC=l,摆对悬挂点摆对悬挂点O的转的转动惯量为动惯量为JO,求微小摆动的周期。求微小摆动的周期。例例12-4 飞轮对飞轮对O轴的转动惯量为轴的转动惯量为JO,以角速度以角速度0绕绕O轴转动。轴转动。制动时制动时,闸块给轮以正压力闸块给轮以正压力FN。已知闸块与轮间滑动摩擦系数。已知闸块与轮间滑动摩擦系数为为f,轮的半径轮的半径,忽略轴摩擦。求制动所需的时间。忽略轴摩擦。求制动所需的时间。解：解：取飞轮为研究对象取飞轮为研究对象,画受力图画受力图 由刚体转动微分方程得由刚体转动微分方程得000tONJ dfF RdtRfFJtNO0RFdtdJO 积分，由题知确定积分上下限积分，由题知

16、确定积分上下限0FNFOOyFOxFmgRFfN)(2R1R解解:分别以轴分别以轴、（带轮）为（带轮）为 研究对象研究对象,画受力图画受力图例例12-5 图示传动轴图示传动轴系系,轴轴,的转动惯量为的转动惯量为J,J,传动比为传动比为i12=R2/R1。轴轴上作用主动力矩上作用主动力矩M1,轴轴上有阻力矩上有阻力矩M2。不计。不计摩摩擦擦,求求轴轴的角加速度。的角加速度。2M1M1M1NFtF2M2NFtF 运动分析运动分析121221RiR2R1R2M1M1M1NFF2M2NFF121221RiR 由刚体转动微分方程得由刚体转动微分方程得1111RFMJ2222MFRJ2122112211i

17、JJiMM例例12-5 已知轴已知轴,的转动惯量为的转动惯量为J,J,传动比为传动比为i12=R2/R1。轴轴上主动力矩上主动力矩M1,轴轴上阻力矩上阻力矩M2。求求轴轴的角加速度。的角加速度。第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理(kgm2)1、均质细直杆对一端的转动惯量 刚体对轴的转动惯量2iizrmJ一、一、简单匀质几何形体的转动惯量简单匀质几何形体的转动惯量;dxlmmixridxxlmJlz02231mldxxlxzO（12-12）设杆长为l，单位长度的质量为mi，杆的质量为mz轴的转动惯量为（12-13）2、均质薄圆环对中心轴的转动惯量3、均质圆板对中心轴的转动惯量2iizrmJ2

18、RmiimR 22mRRzOmiRzOdriri2RmAAiiidrrm2424RA221mR)2(02RiiAiOrdrrJ一、一、简单匀质几何形体的转动惯量简单匀质几何形体的转动惯量（12-14）（12-15）细直杆:均质圆环:均质圆板:Rz22二、二、回转半径（惯性半径）回转半径（惯性半径）mJzz2zzmJ231mlJz2mRJz221mRJzlz33Rz（12-16）zc 轴 过质心且与z 轴平行的轴；d z轴与zc 轴之间的距离。刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。三三、平行轴定理平行轴定理 2mdJJCzz（

19、12-18）证明:xzy,yxzOdiririixx iyO,Ciymi2iizrmJC)(22iiiyxm2iizrmJ)(22iiiyxm)(22dyxmiiiiiiiiimdymdyxm2222)(0mymyiiC0iiym2mdJJCzz三三、平行轴定理平行轴定理 AzCz例例12-6 质量为质量为m,长为长为l的均质细直杆的均质细直杆,已知已知JzA=ml2/3,求此杆求此杆对于垂直于杆轴且过对于垂直于杆轴且过B和质心和质心C的轴的转动惯量。的轴的转动惯量。解：解：由平行轴定理由平行轴定理BzBAC231mlJzA2mdJJzCzB2mdJJzAzCzAJml 23122)21(31

20、lmml 2121ml2mdJJzCzA解：解：例例12-7 钟摆由质量为钟摆由质量为m1的均质细杆和质量为的均质细杆和质量为m2的均质圆盘组的均质圆盘组成成,杆长为杆长为l,圆盘直径为圆盘直径为d。求摆对。求摆对O轴的转动惯量。轴的转动惯量。OC盘杆OOOJJJ2131lmJO杆22)2(dlmJJCO盘)2()21(2131222221dlmdmlmJO)83(3122221ldldmlm例例12-8 质量为质量为m的均质空心圆柱体外径为的均质空心圆柱体外径为R1,内径为内径为R2,求对求对于中心轴于中心轴z的转动惯量。的转动惯量。解：解：21JJJz2222112121RmRm22222

21、121)(21)(21RlRRlR)(21)(42412221RRRRm)(212221RRm第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理yxzCOyxzimirvirCrir 质点系相对于某一点的动量矩，一般是指质点系在绝质点系相对于某一点的动量矩，一般是指质点系在绝对运动中对该点的动量矩，即按绝对速度计算的动量矩。对运动中对该点的动量矩，即按绝对速度计算的动量矩。)(iriCCvmMLiriivmriiivmr一一、质点系相对于质心的动量矩质点系相对于质心的动量矩 以质心为基点的平移坐标系以质心为基点的平移坐标系中，以相对速度计算对质心的动中，以相对速度计算对质心的动量矩，和在绝对坐标系中以绝对

22、量矩，和在绝对坐标系中以绝对速度计算对质心的动量矩，其结速度计算对质心的动量矩，其结果相同。果相同。（12-21）（12-20）yxzCOyxzimirvirCrir则质点系对则质点系对O点的动量矩为点的动量矩为 icirrr Ciivvv()OiOiii iLMm vrmv CCCOLvmrLCCOLvmM)(二二、质点系对任意点的动量矩质点系对任意点的动量矩 质点mi对任意点O的矢径绝对速度为Ciii iirm vrmvCmvCL（12-22）三三、质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理)(eiCCFMdtLdyxzCOyxzimirvirCrir 质点系相对于质心的动量

23、矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。（12-23）yxCOyx刚体平面运动:随质心的平动+绕质心的转动:随基点的平动+绕基点的转动运动学动力学随质心的平动:绕质心的转动:质心运动定理相对于质心的动量矩定理刚体相对于质心的动量矩eiCFamCCJL)(eiCCFMdtdL四四、刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程（12-23）刚体的平面运动微分方程eiCFam22ddCrmt)(eiCCFMLdtd)(CJdtdCJ22dtdJC)()(222222eiCCCCeiyCyCeixCxCFMJJdtddtdJFmadtydmFmadtxdm 投影式投影式四四、刚体平面运动微分方

24、程刚体平面运动微分方程（12-25）刚体平面运动微分方程的坐标投影式刚体平面运动微分方程的坐标投影式刚体的平面运动微分方程eiCFam22ddCrmt)(eiCCFMLdtd)(CJdtdCJ22dtdJC)()(222222eiCCCCeiyCyCeixCxCFMJJdtddtdJFmadtydmFmadtxdm 投影式投影式四四、刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程（12-25）例例12-9 半径为半径为r,质量为质量为m 的圆轮沿水平直线滚动的圆轮沿水平直线滚动,与地面的静与地面的静滑动摩擦因数为滑动摩擦因数为fs。轮惯性半径为。轮惯性半径为c,作用于轮的力偶矩为作用于轮的力偶矩为M

25、,求圆轮纯滚动的轮心加速度求圆轮纯滚动的轮心加速度和保证和保证圆轮纯滚动的圆轮纯滚动的M。mgNFCCaxyFM解：解：取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象,画受力图画受力图 列刚体平面运动微分方程列刚体平面运动微分方程 运动分析运动分析Car滚而不滑滚而不滑FmaCxmgFmaNCyrFMJC2CmCmaF raCmgFNrmaMC)(22rmrMaCCrrFMC)(22mgNFCCaxyFMrrFMrmrMaCCC)(;)(2222NsFfF 圆轮不滑动圆轮不滑动mgfrrMsC)(22rrmgfMCs)(22例例12-9 半径为半径为r,质量为质量为m 的圆轮沿水平直线滚动的圆轮沿水平直线滚

26、动,与地面的静与地面的静滑动摩擦因数为滑动摩擦因数为fs。轮惯性半径为。轮惯性半径为c,作用于轮的力偶矩为作用于轮的力偶矩为M,求圆轮纯滚动的轮心加速度求圆轮纯滚动的轮心加速度和保证和保证圆轮纯滚动的圆轮纯滚动的M。【本章小结本章小结】()(),()iOzzzizMmvMmvLMm v(),()OOOiiMmvrmvLMm v 一、质点和质点系的动量矩计算二、质点和质点系的动量矩定理)()(FMvmMdtdOO()eOOid LMFdt)()()(eizzeiyyeixxFMdtLdFMdtLdFMdtLd 投影式投影式()()()()()()xxiyyizzid MmvMFdtd MmvMF

27、dtd MmvMFdt投投影影式式 三、刚体绕定轴的转动微分方程【本章小结本章小结】)()()(22izzizzizzFMJFMdtdJFMdtdJ(kgm2)刚体对轴的转动惯量2iizrmJ213zJm l细直杆：均质圆环：2zJmR均质圆板：212zJmR均质球：225zJmRmJzz惯性半径(m)【本章小结本章小结】四、刚体的平面运动微分方程eiF22ddCrmt()eCiMF 22CdJdt)()(222222eiCCCCeiyCyCeixCxCFMJJdtddtdJFmadtydmFmadtxdm 投影式投影式【本章作业本章作业】作业：12-1、12-2、12-5、12-6、12-10本章结束第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理