流体力学课件第五章-量纲分析和相似理论-.ppt

1、5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理5.3 5.3 流动相似的概念流动相似的概念5.4 5.4 相似准则相似准则5.5 5.5 相似准则数的确定（了解）相似准则数的确定（了解）5.6 5.6 模型实验与相似原理模型实验与相似原理第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性1.1.物理量的量纲（因次）：物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性物理量的本质属性(或称类别或称类别)。2.2.dimdimq q3.3.物理量的单位：物理量的单位：物理量的度

2、量标准（量度单位）。物理量的度量标准（量度单位）。物理量物理量q大小大小类别类别导出量纲导出量纲工程单位制工程单位制国际单位制国际单位制英英 制制单位制单位制量纲量纲基本量纲基本量纲量纲幂次式量纲幂次式第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理SI制中的基本量纲：制中的基本量纲：5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性1.1.物理量的量纲（因次）：物理量的量纲（因次）：物理量的本质属性。物理量的本质属性。2.2.物理量的单位：物理量的单位：物理量的度量标准。物理量的度量标准。导出量纲：导出量纲：用基本量纲的幂次表示。用基本量纲的幂次表示。dim m=M ,d

3、im l=L ,dim t=T，dim=TLMq dim基本量纲和导出量纲基本量纲和导出量纲：根据物理量之间的关系把无：根据物理量之间的关系把无任何联系且相互独立的量纲作为任何联系且相互独立的量纲作为基本量纲基本量纲，可由基本量，可由基本量导出的量纲为导出的量纲为导出量纲导出量纲。第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理1dimdimTxx2dimT1dimT13dimTLQ3dim ML2dim MLTF21dimdimdimTMLKp11dimTML1dim MTm 22dimTML22dimTMLL12dimTLv1dim LTv2dim LTg第五章第五章 量纲分析与相似原理

4、量纲分析与相似原理4dimdimLIIxyx1dim MLTI22dimdimdimTMLQWE32dimTMLP122dimdimTLccvp12dimTMLL13dim MLTk2dim MT122dimTMLs12dimdimTLeiTLMq dim1.客观性客观性2.不受运动规模的影响不受运动规模的影响3.可以进行超越函数运算可以进行超越函数运算第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性基本量与导出量之间可以组合称新的量，这个量纲基本量与导出量之间可以组合称新的量，这个量纲的为的为 1，也称为，也称为量纲一的量

5、。量纲一的量。量纲一的量具有如下的特点：量纲一的量具有如下的特点：量纲一的量表达式中量纲一的量表达式中的指数为的指数为0（=0,=0,=0）；没有单位；量值与单位制）；没有单位；量值与单位制无关。无关。无量纲量的特点：无量纲量的特点：设设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式为三个基本量，他们成立的条件是：指数行列式不等于零。不等于零。111dimTLMA222dimTLMB 333dimTLMC 第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.1 5.1

6、量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性0321321311 设设A、B、C为三个基本量，他们成立的条件是：为三个基本量，他们成立的条件是：Ax、By、Cz的幂乘积不是量纲一的量。即：的幂乘积不是量纲一的量。即：1)(dim)(dim)(dim000TLMCBAzyx111dimTLMA222dimTLMB 333dimTLMC 的非零解不存在。的非零解不存在。1)()()(000333222111TLMTLMTLMTLMzyx第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分

7、析与相似原理5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性0321zyx0321zyx0321zyx1)(dim)(dim)(dim000TLMCBAzyx使该使该方程非零解不存在，要求：方程非零解不存在，要求：0321321311则则A、B、C是相互独立的，是相互独立的，它们可以作为基本变量。它们可以作为基本变量。1)()()(000333222111TLMTLMTLMTLMzyx第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性01100010001321321311说明：长度、质量及时间是基本量。说

8、明：长度、质量及时间是基本量。010111dimTLMTLML001222dimTLMTLMM100222dimTLMTLMt第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性举例：长度、流速及密度就可以作为基本量。举例：长度、流速及密度就可以作为基本量。010111dimTLMTLML110222dimTLMTLMv031333dimTLMTLM01010311100321321311第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性凡正确反映客观规律的物理

9、方程，其各项的量纲一定是一致的，凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲一定是一致的，这就是物理方程的这就是物理方程的量纲一致性原则量纲一致性原则，也叫，也叫量纲齐次原则或量纲量纲齐次原则或量纲和谐原则。和谐原则。3.3.量纲一致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）量纲一致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）gpzgv22常数常数 （沿流线）（沿流线）LLTLTgv12212dim2L z dim LLTMLTMLgp1221-13 dimL常常数数dim量纲分析的依据。第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量

10、纲齐次性物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，物理方程可以是单项式或多项式，甚至是微分方程等，同一方程中各项的量纲必须相同。同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相用基本量纲的幂次式表示时，每个基本量纲的幂次应相等，这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫等，这就是物理方程的量纲一致性原则，也叫量纲齐次原则或量纲齐次原则或量纲和谐原则。量纲和谐原则。3.3.量纲一致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）量纲一致性原则，也叫量纲齐次性原理（量纲和谐原理）gpzgv22常数常数 （沿流线（沿流线）LLTLTgv12212dim2L z dim LLT

11、MLTMLgp1221-13 dimL常常数数dim量纲分析的依据。第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性忽略重力的伯努利方程忽略重力的伯努利方程3.3.物理方程的无量纲化物理方程的无量纲化（沿流线）（沿流线）0202121pvpv220200p)vv(1v21ppC（沿流线）（沿流线）无量纲化伯努利方程无量纲化伯努利方程 在无粘性圆柱绕流中在无粘性圆柱绕流中1C ,0vp前后驻点前后驻点30pC ,v2v上下侧点上下侧点4sin1C2p其他点其他点 以上结果对任何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。以上结果对任

12、何大小的来流速度，任何大小的圆柱都适用。柱面上：柱面上：,sin0vv柱面外：柱面外：pCRr流场中流场中Cp还与无量纲半径还与无量纲半径 r/R 有关有关CDABa0,0vp第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理量纲分析概念量纲分析概念一个方程中多项量纲必须齐次的；一个方程中多项量纲必须齐次的；一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以一个流动过程中各物理量在量纲上存在相互制约关系，可以按按量纲齐次性原理量纲齐

13、次性原理作分析。作分析。量纲分析法：量纲分析法：主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用量，用无量纲参数无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。理论分析和实验研究。第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理基

14、本原理基本原理：某一物理过程同几个物理量有关：F(q1,q2,q3,.,qn)=0其中的某一个物理量qi可以表示其他物理量的指数形式：qi=F(q1,q2,q3,.,qn)写成量纲形式：写成量纲形式：dim qi=dimF(q1,q2,q3,.,qn)5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理5.3 5.3 流动相似的概念流动相似的概念5.4 5.4 相似准则相似准则5.5 5.5 相似准则数的确定（了解）相似准则数的确定（了解）5.6 5.6 模型实验与相似原理模型实验与相似原理第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相

15、似原理5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理例题例题1：研究自由落体在时间研究自由落体在时间t内经过的距离内经过的距离s，实验观察后实验观察后认为与下列因素有关：落体重量认为与下列因素有关：落体重量W，重力加速度重力加速度g，时间时间t。试试用物理方程量纲一致性原则分析自由落体下落距离公式。用物理方程量纲一致性原则分析自由落体下落距离公式。解：首先将关系式写成幂乘积形式：解：首先将关系式写成幂乘积形式：cbatgKWs cbaTLTMLTL)()()(22第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理00122)()()(TMLTLTMLT

16、LcbacbaTbaLaM220:1:0:2,1;0cba2210KgttgKWscbatgKWs 第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理),(vDfFD依据物理方程量纲一致性原理推求变量之间的关系依据物理方程量纲一致性原理推求变量之间的关系。dcbaDvKDFdcbaTMLMLLTLMLT)()()()(11312dbTdcbaLdcM2:31:1:dcdbda1,2;2第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理dcbaDvKDFdcdbda1,2;2ddddDvKDF122vdRe为

17、量纲一的量，在流体力学中称为雷诺数22)(vDRFeDDeDCRvDF)(22Notes:通常情况下，基本量纲只有三个，如通常情况下，基本量纲只有三个，如M、L、T，它们代表了它们代表了工程流体力学中几何学、运动学和动力学三个方面的量纲，当流动工程流体力学中几何学、运动学和动力学三个方面的量纲，当流动参数大于参数大于4时，需待定的指数就相应增加，此时无论在指数的选取时，需待定的指数就相应增加，此时无论在指数的选取上还是量纲一的量的组合上都有一定困难。采用上还是量纲一的量的组合上都有一定困难。采用定理法定理法。第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与

18、定理定理dDvDvKDF22vDvDvDRe/f(q1，q 2，q 3,q n)0 F(1,2,3,n-m)=0提议用量纲分析的是瑞利（提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),L.Reyleigh,1877),奠定理论基础的是美国物奠定理论基础的是美国物理学家布金汉（理学家布金汉（E.Buckingham,1914):E.Buckingham,1914):2.2.定理定理定理定理 1,2,3,n-m均为量纲一的量。第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理若某一物理过程包含若某一物理过程包含 n 个物理量，即：个物理量，即：

19、其中有其中有 m 个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由量），则该物理过程可由 n个物理量构成的个物理量构成的 n-m 个无个无量纲的关系表达式来描述。即：量纲的关系表达式来描述。即：f(q1，q 2，q 3,q n)0 F(1,2,3,n-m)=02.2.定理定理定理定理方方 法法充要条件充要条件n n个物理量个物理量m m个独立个独立基本量基本量n-mn-m个导出量个导出量选选m m个独立个独立基本量基本量组成组成n-mn-m个个独立独立数数量纲分析方法等量纲分析方法等 1,2,3,n-m均为量纲一的量。第五章第五章 量纲分析与相

20、似原理量纲分析与相似原理5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理 布金汉（布金汉（E.Buckingham,1914)E.Buckingham,1914)(定理定理)指出：对指出：对于某个物理现象，如果存在于某个物理现象，如果存在n n个变量互为函数关系：个变量互为函数关系：1,2,3,n-m均为均为量纲一的量量纲一的量。f(q1，q 2，q 3,q n)0 F(1,2,3,n-m)=0 当这些变量中含有当这些变量中含有m m个基本量，则可组合这些变量称个基本量，则可组合这些变量称为（为（n-mn-m）个量纲一的量的函数关系：个量纲一的量的函数关系：第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析

21、与相似原理5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理2.2.定理定理1.1.一般步骤：一般步骤：以圆柱绕流为例以圆柱绕流为例第第1步步、列举所有相关的物理量列举所有相关的物理量。第第2步步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或称为选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（或称为 重复量，取重复量，取3个）。个）。第第3步、步、将其余的物理量作为导出量，将其余的物理量作为导出量，即即 、分别与基本分别与基本 量的幂次式组成量的幂次式组成表达式表达式。),(dVFD阻力阻力密度密度速度速度直径直径粘度粘度系数系数选选、V、d DF第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.2 5.2

22、量纲分析与量纲分析与定理定理2.2.定理定理第第3步、步、将其余的物理量作为导出量，将其余的物理量作为导出量，即即FD、分别与基本分别与基本 量的幂次式组成量的幂次式组成表达式表达式。根据根据定理有定理有：0),(21?如何找出如何找出1、2。导出量导出量FD、分别与基本量进行适分别与基本量进行适当组合，可以找出量纲一的量。当组合，可以找出量纲一的量。)()()()(11130001111111TMLLTLMLTMLVDcbacba)()()()(2130002222222MLTLTLMLTMLFVDcbaDcba1,1;1111cba2,2;1222cba第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲

23、分析与相似原理5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理2.2.定理定理与书上表达式等同与书上表达式等同1111cbaVD2222cbaDVDF1111111VDVDcbaDDcbaFVDFcD22122221,1;1111cba2,2;1222cbaeRDV11)1(12222VDFDDeDCRVDF)(22222VDCFDD第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理2.量纲分析的优点量纲分析的优点 ),(DdvFDCeR R fCeDDFvDFdDFDF第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.2 5.2 量纲分析与量纲分析

24、与定理定理不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动，分析压强降低与不可压缩牛顿粘性流体在内壁粗糙的直圆管定常流动，分析压强降低与相关物理量的关系。相关物理量的关系。例例22 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤 解：解：1 1列举物理量。列举物理量。p，V，d，l，共，共7 7个个),(ldVp2 2选择基本量：选择基本量：、V、d 3 3列列表达式求解表达式求解数数 1=a V bd cp M 0 L 0 T 0=(M L 3)a(L T 1)b L c(M L 1 T 2)例例B5.2.2B5.2.2 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步

25、骤粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤 02:013:01:bTcbaLaM解得：解得：a=-1,b=-2,c=01212pEuV（欧拉数，（欧拉数，1/21/2是人为加上去的）是人为加上去的）1=a V bd cp M 0 L 0 T 0=(M L 3)a(L T 1)b L c(M L 1 T 2)例例B5.2.2B5.2.2 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤 2=a b b c c M 0 L 0 T 0=(M L 3)a(L T 1)b L c(M L 1 T 1)01:013:01:bTcbaLaM解得：解得：a=b=c=-1 Re

26、12Vd(雷诺数雷诺数)例例22 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤 3=a V bd cM 0 L 0 T 0=(M L 3)a(L T 1)b L c L 解得：解得：a=b=0，c=-1 0:013:0:bTcbaLaMd3（相对粗糙度）（相对粗糙度）例例B5.2.2B5.2.2 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤 4=a V bd c l (同上同上)dl4（几何比数）（几何比数）4列列数方程数方程),(4,321f),(Re,212dldfVp即即),(Re,212dldfVp或或实验证明压降

27、与管长成正比，故有：实验证明压降与管长成正比，故有：)(Re,212dfdlVpM 0 L 0 T 0=(M L 3)a(L T 1)b L c L 解得：解得：a=b=0，c=-1 例例B5.2.2B5.2.2 粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤粗糙管中粘性流动的压降：量纲分析一般步骤 实验证明压降与管长成正比，故有：实验证明压降与管长成正比，故有：)(Re,212dfdlVp令：令：)(Re,df称为沿程损失系数（后面称为沿程损失系数（后面章节降介绍）。章节降介绍）。221Vdlp不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，求泄流量的表达式。不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常

28、泄流，求泄流量的表达式。例例2A2A 三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较 2选择基本量：选择基本量：、g、h 3列列表达式求解表达式求解数数解：解：1 1列举物理量。列举物理量。Q ,，g，h，共共5个个),(hgQ Qhgcba1M 0 L 0 T 0=(M L 3)a(L T 2)b L c(L 3 T 1)例例2A2A 三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较 012:033:0:bTcbaLaM解得：解得：a=0,b=-1/2,c=-5/22/12/51ghQ4列列数方程数方程1=f(2)(2/12/5fghQ （弧

29、度，无量纲）（弧度，无量纲）2 例例2A2A 三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较三角堰泄流量：量纲分析解与解析解比较 或或 讨论：讨论：结果表明结果表明Q与与无关，与无关，与h成成5/25/2次方关系。与例次方关系。与例4.3.3中的解析中的解析式一致，解析式为式一致，解析式为 2/5)(2158hfgQ对一孔口角已确定的三角堰，对一孔口角已确定的三角堰，(c)式已明确地表达了式已明确地表达了Q与与h的理论关的理论关系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。系，在这里量纲分析结果与解析解起同样的作用。由由实验确定实验确定)(f2/5)(hgfQ(c)5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次

30、性量纲与物理方程的量纲齐次性5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理5.3 5.3 流动相似的概念流动相似的概念5.4 5.4 相似准则相似准则5.5 5.5 相似准则数的确定（了解）相似准则数的确定（了解）5.6 5.6 模型实验与相似原理模型实验与相似原理第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.3 5.3 流动相似的概念流动相似的概念几何相似几何相似同类现象同类现象相似现象相似现象流动相似流动相似形状相似形状相似尺度成比例尺度成比例遵循同一方程遵循同一方程物理量成比例物理量成比例尺度成比例尺度成比例时间成比例时间成比例速度成比例速度成比例力成比例力成比例几何相似几何相似时

31、间相似时间相似运动相似运动相似动力相似动力相似几何相似：几何相似：即假如两个几何图形的对应边成一定的比例，那即假如两个几何图形的对应边成一定的比例，那么这两个图形几何相似。么这两个图形几何相似。流动相似：流动相似：两个流动的对应点上同名物理量（如线性长两个流动的对应点上同名物理量（如线性长度、速度、压强、各种力等）应具有各自的比例关系。度、速度、压强、各种力等）应具有各自的比例关系。分类说明的话，就是应满足两个流动的分类说明的话，就是应满足两个流动的几何相似、运动几何相似、运动相似和动力相似以及初始条件和边界条件相似和初始条件相相似和动力相似以及初始条件和边界条件相似和初始条件相似。似。第五章

32、第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.3 5.3 流动相似的概念流动相似的概念如以如以l表示某一线性尺度，则有表示某一线性尺度，则有长度比尺长度比尺：mplll222lmpmpAllAA333lmpmpVllVV面积比尺面积比尺体积比尺体积比尺第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.3 5.3 流动相似的概念流动相似的概念mpuuu相应断面的平均速度具有同样的比尺：相应断面的平均速度具有同样的比尺：umpvvv第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.3 5.3 流动相似的概念流动相似的概念注意到注意到:流速是位移对时间流速是位移对时间t的导数的导数dl/d

33、t,则时间比尺为则时间比尺为：ulmptulul)/()/(在运动相似的条件下，加速度比尺为：在运动相似的条件下，加速度比尺为：lumpmpatvtvaa2)/()/(在加速度比尺中，重力加速度在加速度比尺中，重力加速度g可以认为是一个特例。可以认为是一个特例。1mpggg第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.3 5.3 流动相似的概念流动相似的概念第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.3 5.3 流动相似的概念流动相似的概念,mp,mpmpFFF其中作用力通常有重力其中作用力通常有重力G、粘滞力粘滞力T、弹性力弹性力E和和表面张力表面张力S。mpmpmpmpm

34、pFSSEETTGGFF第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.3 5.3 流动相似的概念流动相似的概念对于非恒定流，还要满足初始条件相似。对于非恒定流，还要满足初始条件相似。第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.3 5.3 流动相似的概念流动相似的概念有些书上将边界相似归结于几何相似。有些书上将边界相似归结于几何相似。恒定流无需初始条件相似。恒定流无需初始条件相似。tlmmppmputltluu/又如动力相似，要求作用力成比例，有牛顿第二定律有：又如动力相似，要求作用力成比例，有牛顿第二定律有：4222ltlutumammmppmpFamamFF作用力比尺可以用

35、作用力比尺可以用密度比尺、时间比尺和长度比尺来密度比尺、时间比尺和长度比尺来表示。表示。第五章第五章 量纲分析与相似原理量纲分析与相似原理5.3 5.3 流动相似的概念流动相似的概念第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理5.4 5.4 相似准则相似准则 上一节回答了什么是相似流动问题，这一节讨论如何保证两种流动的上一节回答了什么是相似流动问题，这一节讨论如何保证两种流动的相似。相似。首先，首先，若要保证两个流动相似必须满足若要保证两个流动相似必须满足几何相似几何相似，这是流动相似的，这是流动相似的必必要条件要条件，其次，其次，若满足了若满足了动力相似，动力相似，则可以保证两个流动完全

36、相似。则可以保证两个流动完全相似。动力相似主要是指作用力成比例：动力相似主要是指作用力成比例：2222mmmpppmpFululFF2222mmmmppppulFulFl2 u2为惯性力。该为惯性力。该式为原型中的作用力式为原型中的作用力与惯性力之比与惯性力之比。令令无量纲为无量纲为Ne22ulFNe称为牛顿数。称为牛顿数。2222mmmmppppulFulF得到：得到：若两种流动动力相似，其牛顿数对应相等。若两种流动动力相似，其牛顿数对应相等。mepeNN)()(写成比尺关系：写成比尺关系：1/322umtFululFulF牛顿一般相牛顿一般相似性原理。似性原理。牛顿一般相牛顿一般相似性原理

37、。似性原理。umtF等等称为称为相似判据。对于动力相似的流动，相似判据为相似判据。对于动力相似的流动，相似判据为1。第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理5.4 5.4 相似准则相似准则得到：得到：若两种流动动力相似，其牛顿数对应相等。若两种流动动力相似，其牛顿数对应相等。1umtFumtF等等称为称为相似判据。对于动力相似的流动，相似判据为相似判据。对于动力相似的流动，相似判据为1。在相似原理中，两个动力相似的流动中，无量纲量，如牛顿数，称在相似原理中，两个动力相似的流动中，无量纲量，如牛顿数，称为为相似准数相似准数；动力相似条件（相似准数相等），称为动力相似条件（相似准数相等），

38、称为相似准则相似准则。相似准则是判断流，是否相似的依据。所以相似准则是判断流，是否相似的依据。所以牛顿一般性相似原理，牛顿一般性相似原理，又称为牛顿相似准则。又称为牛顿相似准则。第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理5.4 5.4 相似准则相似准则要求各种性质的作用力与惯性力之间都要成相同的比例。要求各种性质的作用力与惯性力之间都要成相同的比例。也就是说：也就是说：由于各种力的性质不同，影由于各种力的性质不同，影响它的因素也不同，要做到响它的因素也不同，要做到这一点是及其困难的。这一点是及其困难的。解决办法：解决办法：抓住主要矛盾，使主要力相似。抓住主要矛盾，使主要力相似。第五章量纲

39、分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理5.4 5.4 相似准则相似准则1、雷诺准则（也叫粘滞力准则）：、雷诺准则（也叫粘滞力准则）：当主要作用力为粘滞力时：当主要作用力为粘滞力时：luldyduAF2luluRemepeRR)()(写成比尺关系写成比尺关系1lu粘滞力相似准则，或粘粘滞力相似准则，或粘滞力模型相似律，也成滞力模型相似律，也成雷诺准则或雷诺相似律雷诺准则或雷诺相似律luullvulFNe2222第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理5.4 5.4 相似准则相似准则2、佛汝德准则（重力相似准则）：、佛汝德准则（重力相似准则）：当主要作用力为重力当主要作用力为重力G时：时：

40、3glmgF22232222uglulglulGulFNegluFrmrprFF)()(写成比尺关系12lgu重力相似准则，或重力模重力相似准则，或重力模型相似律，也称佛汝德准型相似律，也称佛汝德准则或佛汝德相似律则或佛汝德相似律。第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理5.4 5.4 相似准则相似准则1lu12lgulgullu)(/粘度在在地球上做实验，模型与原型采用同样的流体：地球上做实验，模型与原型采用同样的流体：1glvlv1重力相似要求：重力相似要求：粘滞力相似要求粘滞力相似要求：1)(粘度矛盾，难于统一。矛盾，难于统一。在在地球上做实验，模型与原型采用同样的不同液体地球上

41、做实验，模型与原型采用同样的不同液体：重力相似要求：重力相似要求：粘滞力相似要求：粘滞力相似要求：第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理5.4 5.4 相似准则相似准则在在地球上做实验，模型与原型采用同样的地球上做实验，模型与原型采用同样的不同流体不同流体：要保证同样的流：要保证同样的流速比尺，就要求运动粘性系数的比尺与长度比尺之间有：速比尺，就要求运动粘性系数的比尺与长度比尺之间有：2/3)(l粘度lgu（粘度）lu技术上很难做到同时保证重力相似和粘滞力相似。因此，模型实验中只要保证主要的作用力相似，并按照主要力因此，模型实验中只要保证主要的作用力相似，并按照主要力相似的模型律来进

42、行模型设计，就可以满足工程实际的要求。相似的模型律来进行模型设计，就可以满足工程实际的要求。第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理5.4 5.4 相似准则相似准则2/3lpm（粘度）（粘度）3、欧拉准则（重力相似准则）：、欧拉准则（重力相似准则）：当主要作用力为压力时：当主要作用力为压力时：2vpEumupuEE)()(写成比尺关系12vp可以证明：在重力相似准可以证明：在重力相似准则的同时，也满足了压力则的同时，也满足了压力相似所要求的欧拉数相等相似所要求的欧拉数相等的准则，称为导出准则的准则，称为导出准则。第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理5.4 5.4 相似准则相

43、似准则4、柯西准则（弹性力相似准则）：、柯西准则（弹性力相似准则）：当主要作用力为弹性力时：当主要作用力为弹性力时：KuCa2mapaCC)()(写成比尺关系12Ku第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理5.4 5.4 相似准则相似准则可以用于水击研究中。可以用于水击研究中。4、柯西准则（弹性力相似准则）：、柯西准则（弹性力相似准则）：当主要作用力为弹性力时：当主要作用力为弹性力时：mapaCC)()(12Ku第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理5.4 5.4 相似准则相似准则声音在流体中传播速度（声速）：声音在流体中传播速度（声速）：Ka mapaMM)()(auMaK

44、uCa21au5.1 5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性量纲与物理方程的量纲齐次性5.2 5.2 量纲分析与量纲分析与定理定理5.3 5.3 流动相似的概念流动相似的概念5.4 5.4 相似准则相似准则5.5 5.5 相似准则数的确定（了解）相似准则数的确定（了解）5.6 5.6 模型实验与相似原理模型实验与相似原理 5.5 5.5 相似准则数的确定（了解）相似准则数的确定（了解）1.量纲分析法量纲分析法对不可压缩粘性流体的流动对不可压缩粘性流体的流动：，V，l，g，p，Re1Vl雷诺数雷诺数 222VFrlg佛鲁德数佛鲁德数 EuVp23欧拉数欧拉数 StVl4斯特哈尔数斯特哈尔数 优点：优

45、点：适用未知物理方程的流动。适用未知物理方程的流动。缺点：缺点：选准物理量较难，物理意义不明确。选准物理量较难，物理意义不明确。第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理2.方程分析法方程分析法以以N-S 方程方程x 方向的投影式为例方向的投影式为例 )(1222222zuyuxuxpfzuwyuvxuutux(*)令令*uvwu,v,w,VVV*xyzx,y,z,lll*xx0fpf,p,ttgp代入代入(*)式得式得 粘性力粘性力惯性力惯性力VlRe重力重力惯性力惯性力 22glVFr惯惯性性力力压压力力20VpEu迁迁移移惯惯性性力力不不定定常常惯惯性性力力 VlSr()()()(

46、)*2*2*2*0 x22*2*2*2plgpluuuuuuuuvwfVVlVVtxyzxxyz 5.5 5.5 相似准则数的确定相似准则数的确定第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理优点：优点：导出的相似准则数物理意义明确；导出的相似准则数物理意义明确；缺点：缺点：不能用于未知物理方程的流动。不能用于未知物理方程的流动。无量纲方程既适用于模型也适用于原型。无量纲方程既适用于模型也适用于原型。5.5 5.5 相似准则数的确定相似准则数的确定第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理2.方程分析法方程分析法根据物理法则或物理定律用特征物理量表示各种力的量级，用这些力的根据物理法则

47、或物理定律用特征物理量表示各种力的量级，用这些力的量级比值构成相似准则数。量级比值构成相似准则数。与与流体微元尺度相应的特征物理量流体微元尺度相应的特征物理量 l与与流体微元速度相应的特征速度流体微元速度相应的特征速度 V与与流体微元质量相应的特征质量流体微元质量相应的特征质量 3l与与流体微元粘性相应的粘度系数流体微元粘性相应的粘度系数 与与流体微元压强相应的压强差流体微元压强相应的压强差 p与与流体微元不定常运动相应的特征角速度流体微元不定常运动相应的特征角速度1/s 3.物理法则分析法物理法则分析法 5.5 5.5 相似准则数的确定相似准则数的确定第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与

48、相似原理迁移惯性力迁移惯性力2223/)(lVlVlsvvmFI粘性力粘性力VllVlAdndvFv2 重力重力glgmFg3 )(ReV2FrlgV2迁移惯性力迁移惯性力22 lVFI压差力压差力2 plApFp不定常惯性力不定常惯性力vlmFIt2 tv)(Eu2vpSrvl优点：导出的相似准则数物理意义明确；优点：导出的相似准则数物理意义明确；适用于未知物理方程的流动适用于未知物理方程的流动。缺点：当无法判定控制流动的物理定律时不能运用。缺点：当无法判定控制流动的物理定律时不能运用。3.物理法则分析法物理法则分析法 5.5 5.5 相似准则数的确定相似准则数的确定第五章量纲分析与相似原理

49、第五章量纲分析与相似原理5.5 5.5 常用的相似准则数常用的相似准则数1.Re 数数(雷诺数雷诺数)VlRe1Re 2300Rer区分粘性流动层流与湍流态区分粘性流动层流与湍流态1Re 边界层外无粘流边界层外无粘流边界层内以边界层内以 为界区分层流与湍流态为界区分层流与湍流态5er1050R第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理2.Fr 数数(弗鲁德弗鲁德数数)grVFr Fr 数是描述具有自由液面的液体流动时最重要的无量数是描述具有自由液面的液体流动时最重要的无量纲参数。如水面船舶的运动和明渠流中的水流。纲参数。如水面船舶的运动和明渠流中的水流。5.5 5.5 常用的相似准则数常

50、用的相似准则数第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理3.Eu 数数(欧拉数欧拉数)Eu2pVp 可以是某一点的特征压强，也可以是两点的压强差；可以是某一点的特征压强，也可以是两点的压强差；V 为特征速度，为特征速度，为流体密度。在描述压强差时，为流体密度。在描述压强差时，Eu数常称数常称为压强系数为压强系数:2V21pCp当在液体流动中局部压强低于当地蒸汽压强当在液体流动中局部压强低于当地蒸汽压强 pv 时，时，Eu 数数又称为空泡数或空蚀系数又称为空泡数或空蚀系数 2V21ppv5.5 5.5 常用的相似准则数常用的相似准则数第五章量纲分析与相似原理第五章量纲分析与相似原理4Sr数