数学考研冲刺讲座课件.ppt

1、LOGO 考研数学冲刺讲座考研数学冲刺讲座 冲刺阶段复习安排和心态调节冲刺阶段复习安排和心态调节v心态一定要好，不能过于紧张，平和的心心态一定要好，不能过于紧张，平和的心态，保持信心就行了。无论做什么，着急态，保持信心就行了。无论做什么，着急是没有用的，要相信自己以前付出的这么是没有用的，要相信自己以前付出的这么多，这是肯定有效果的。多，这是肯定有效果的。v不能否定自己！不能否定自己！v要想清楚一件事情，最后的一个月，你还要想清楚一件事情，最后的一个月，你还想做些什么？你还能做些什么？想做些什么？你还能做些什么？做套题遵循的原则做套题遵循的原则 v（1）必须定时（）必须定时（3小时小时/套），

2、真刀真枪套），真刀真枪地模拟考场上的情况地模拟考场上的情况 v（2）做题要养成良好的习惯）做题要养成良好的习惯v（3）每套模拟题完成后，安排足够的时）每套模拟题完成后，安排足够的时间进行全面、系统、详细的总结间进行全面、系统、详细的总结 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研做套题遵循的原则做套题遵循的原则 v不亲自动手不会发现他的难处，一定要多不亲自动手不会发现他的难处，一定要多动手，见过的，做过的，都不一定是你掌动手，见过的，做过的，都不一定是你掌握的；只有你拿起笔就能够流畅地写出来握的；只有你拿起笔就能够流畅地写出来的东西，才是你真正掌握了的的东西，才是你真正掌握了的 v总结

3、的过程实际上是知识在你大脑中有总结的过程实际上是知识在你大脑中有序的存储过程！序的存储过程！关于模拟题关于模拟题 v我建议不用太多，五六张就很够了我建议不用太多，五六张就很够了v模拟题一定要取各家之长，而且要知模拟题一定要取各家之长，而且要知道，每个人出的试卷前面两张可是花道，每个人出的试卷前面两张可是花了大心思的，题目质量很高了大心思的，题目质量很高 临考前的数学复习临考前的数学复习 v十二月中旬以后临近考试时，此时已十二月中旬以后临近考试时，此时已经到考研复习的最后一段时间，政治经到考研复习的最后一段时间，政治和专业课中投入的时间增加，数学复和专业课中投入的时间增加，数学复习时间相对减少习

4、时间相对减少v你保持状态就行，手不能让他停下来，你保持状态就行，手不能让他停下来，数学就是要练手，手很熟，做题目有数学就是要练手，手很熟，做题目有条件反射的感觉就很好，才能更准确条件反射的感觉就很好，才能更准确速度也能提高，不能看到一个题目半速度也能提高，不能看到一个题目半天都没什么反应天都没什么反应 考研中的一些出题习惯考研中的一些出题习惯 v线代两道大题线代两道大题v一般总是一道线性方程组的，通常是一般总是一道线性方程组的，通常是其中有未定参数让你讨论其中有未定参数让你讨论v另外一道则是把特征值特征向量二次另外一道则是把特征值特征向量二次型杂揉在一起考的综合题型杂揉在一起考的综合题成都理工

5、大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研考研中的一些出题习惯考研中的一些出题习惯 v概率的几个大题一般为概率的几个大题一般为v要我们根据已知的随机变量去确定未知要我们根据已知的随机变量去确定未知（已知的函数组合）的随机变量分布函（已知的函数组合）的随机变量分布函数，一般是二维数，一般是二维v参数估计，不外乎矩估计、最大似然估参数估计，不外乎矩估计、最大似然估计，完了讨论估计量的无偏性计，完了讨论估计量的无偏性v常用统计量与数字特征的综合题也常考常用统计量与数字特征的综合题也常考成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研考研中的一些出题习惯考研中的一些出题习惯 v你们看看真题还可以发现

6、中值定理的证你们看看真题还可以发现中值定理的证明题都是隔年考的，而且是奇数年考，明题都是隔年考的，而且是奇数年考，我去年考试时没考，今年就可能会考我去年考试时没考，今年就可能会考v至于微积分的应用，现在考物理知识的至于微积分的应用，现在考物理知识的题少了，即使考了也不会用太深的物理题少了，即使考了也不会用太深的物理知识（主要是牛顿第二定律）知识（主要是牛顿第二定律）v常考微积分的几何应用（重视用微元法常考微积分的几何应用（重视用微元法建立微分方程）建立微分方程）成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研知识点的遗忘知识点的遗忘v在自己一旦想到有什么知识点遗忘了，在自己一旦想到有什么知识

7、点遗忘了，或者记不清的时候或者记不清的时候v请马上巩固，这时侯的印象最深刻！请马上巩固，这时侯的印象最深刻！v不要拖到明天，可能到第二天你自己不要拖到明天，可能到第二天你自己又不知道你昨天是什么地方不知道做又不知道你昨天是什么地方不知道做了！了！成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考场上的几点注意数学考场上的几点注意v（1）发下卷子来后）发下卷子来后 v（2）合理控制时间分配）合理控制时间分配v（3）妥善安排解题顺序）妥善安排解题顺序 v（4）系列问题）系列问题 注意前后关系注意前后关系v（5）书写草稿，利于复查）书写草稿，利于复查 v（6）看清题意，注意条件）看清题意，注意

8、条件 v（7）确保基本题不失分，争取综合题多拿分）确保基本题不失分，争取综合题多拿分 v（8）面临意外，冷静应对）面临意外，冷静应对 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考场上的几点注意数学考场上的几点注意成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研v越是容易的题，越是容易失分越是容易的题，越是容易失分v难易程度对每个考生来说，都是一样的难易程度对每个考生来说，都是一样的v一定要将考试坚持到底一定要将考试坚持到底 下面两条原则要铭记于心下面两条原则要铭记于心成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研正确率第一，速度第二正确率第一，速度第二 学学 会会 放放 弃弃

9、 数学答题策略和临场经验数学答题策略和临场经验v觉得在考场上很艰难时，积极的心里暗觉得在考场上很艰难时，积极的心里暗示很有用，花几秒钟想想成功后的喜悦，示很有用，花几秒钟想想成功后的喜悦，想想自己最喜欢的人，想想家人等等这想想自己最喜欢的人，想想家人等等这些都行些都行v自己已经自信地走进考场，相信自己肯自己已经自信地走进考场，相信自己肯定能够满意地走出来，最后惊喜地看到定能够满意地走出来，最后惊喜地看到自己的分数自己的分数成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v趋近无穷大的快慢比较趋近无穷大的快慢比较成都理工大学成都理工大学 理工理

10、工数学数学考研考研ln,(0),(1),!,axxx xaaanx数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v几个常用极限几个常用极限成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研1000sinlim1,lim(1)lim1(0),lim1lim1xxxnnnnxxxxexaanx 特例数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v单调有界必有极限单调有界必有极限v（用于证明数列极限）（用于证明数列极限）v夹逼定理夹逼定理v（即要两边夹住，又要逼紧）（即要两边夹住，又要逼紧）成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v

11、limf(x)，limg(x)，都不存在，都不存在v可能可能 存在存在成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研lim()()f xg x数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v几种级别，极限存在，函数连续，几种级别，极限存在，函数连续，导数存在，一阶导数连续，二阶导数导数存在，一阶导数连续，二阶导数存在，二阶导数连续存在，二阶导数连续v注意多元的时候那个极限存在，连续注意多元的时候那个极限存在，连续，可微，可偏导的图，可偏导的条件，可微，可偏导的图，可偏导的条件是很弱的是很弱的成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研可微可微可偏导可偏导连续连续 数学考研常用技巧

12、和易错点数学考研常用技巧和易错点 v考察一个构造式子是否是函数一点考察一个构造式子是否是函数一点处可导的充要条件处可导的充要条件v1首先考察是否是双侧导数，只能往一首先考察是否是双侧导数，只能往一边趋近就不是边趋近就不是v2极限式中没有定点也不是极限式中没有定点也不是成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v例设，例设，则则 在在x=0点可导的点可导的充要条件是充要条件是:v（A）存在存在v（B）存在存在v（C）存在存在v（D）存在存在成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研201lim(1 cos)hfhh01lim(1)

13、hhfeh201lim(sin)hf hhh01lim(2)()hfhf hh(0)0f()f xB数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v题目中出现了函数导数时，可能就题目中出现了函数导数时，可能就要联想到泰勒公式，泰勒公式最重要要联想到泰勒公式，泰勒公式最重要的就是想清楚在哪个点处展开（在信的就是想清楚在哪个点处展开（在信息多的点处展开）息多的点处展开）v特别是高等数学题不好下手时，一定特别是高等数学题不好下手时，一定要想到泰勒！要想到泰勒！成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研200000()001()()()()()()2!()()()!nnnf xf xfxx

14、xfxxxfxxxR xn数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v例：例：f(x)在在0,1上可导，且上可导，且f(1)=0，。v证明至少存在一点证明至少存在一点成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研10()d1xfxx(0,1),()2f使数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v证明证明v引入函数引入函数成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研11100010()d()()d1()d1xfxxxf xf xxf xx 0()()d(0)0,(1)1(1)(1)0 xF xf ttFFFf 数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v由泰勒

15、公式由泰勒公式v对对F(x),在在x0=1展开，且令展开，且令x=0得得v得得v证明完毕证明完毕成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研200001()()()()()()2F xF xF xxxFxx21(0)(1)(1)(0 1)()(0 1),(0,1)2FFFF()2,()()FFxfx且数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v说明，一般思路，如果出现说明，一般思路，如果出现f(x)具有二具有二阶或以上导数，这种题目是肯定要想到阶或以上导数，这种题目是肯定要想到泰勒公式的泰勒公式的v本题本题f(x)只给一阶可导，确实不容易想只给一阶可导，确实不容易想到泰勒，但高数

16、不好下手时就是应该想到泰勒，但高数不好下手时就是应该想到泰勒，怎么办呢？所以引入了到泰勒，怎么办呢？所以引入了成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研0()()dxF xf tt数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v常用的展开式一定要熟记！常用的展开式一定要熟记！Very Important!成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研232343572462312!3!ln(1)234sin3!5!7!cos12!4!6!(1)(1)(2)(1)12!3!xaxxexxxxxxxxxxxxxxxa aa aaxaxxx 数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和

17、易错点 v说明说明 公式五有两个特殊类型公式五有两个特殊类型v两个补充的也要了解两个补充的也要了解成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研234234111111xxxxxxxxxx 3535arctan3512tan315xxxxxxxx数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v等价无穷小是粗略的展开等价无穷小是粗略的展开v所以有时等价无穷小替换会出问题所以有时等价无穷小替换会出问题（特别是和差替换时）（特别是和差替换时）v例例成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研330033330sinlimlim01()sin16lim6xxxxxxxxxxxo xxxx

18、xx 数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v在用等价无穷小替换时，首先变量应在用等价无穷小替换时，首先变量应是趋于零的，不能头昏了，看见类似是趋于零的，不能头昏了，看见类似的什么都替换的什么都替换v例例成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研1limlim1xxxexxx 数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v左右极限问题左右极限问题v注意常见的下面两个极限左右不相等注意常见的下面两个极限左右不相等成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研110100000limlimlim01lim arctan12limarctan1lim arctan2xx

19、xxxxxxxeeeeexxx 数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v用幂指函数型极限用用幂指函数型极限用v计算时，切记不要忘了当你单独算计算时，切记不要忘了当你单独算v 的极限后，别忘了这个的极限后，别忘了这个数还应写回数还应写回e的指数上面的指数上面成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研lim lnlimvvuuelim lnvu数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v例例 计算计算v所以结果为所以结果为成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研2211lncosln(1)ln(1)0020lim(cos)limlncos1limln(1)2x

20、xxxxxxexx 12e数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v零点的证明零点的证明v1连续函数的零点定理（介值定理）连续函数的零点定理（介值定理）v2罗尔定理（找原函数，而且要找到他罗尔定理（找原函数，而且要找到他的两个零点，导数才至少有一个零点）的两个零点，导数才至少有一个零点）成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v函数不等式证明函数不等式证明v1利用中值定理利用中值定理v2函数单调性函数单调性v3利用最大值最小值利用最大值最小值v4利用凹凸性（记住四个图）利用凹凸性（记住四个图）v5用泰勒公式用泰勒公式v6绝对

21、值不等式绝对值不等式v7常值重要不等式（放缩）常值重要不等式（放缩）成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v几个易混的积分公式（几个易混的积分公式（4个）个）成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研2222222222d1arctandarcsind1ln2dln()xxCaxaaxxCaaxxaxCaxaaxxxxaCxa数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v曲率公式曲率公式v斜渐近线公式斜渐近线公式成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研()lim,lim()xxf xkbf xxxykxb2

22、1.5(1)yy数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v经典的积分值经典的积分值v华里氏公式华里氏公式(偶数才有偶数才有 )记！记！成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研22200sindcosd131,22 2132123nnx xx xnnnnnnnnnn是偶数，是奇数数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v经典的积分值经典的积分值v三角函数正交性三角函数正交性v四分之一圆面积四分之一圆面积成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研222200cosdsindx xx x20sincosdsincosd0,()nxmx xnxmx xnm1201

23、d4xx数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v经典的积分值经典的积分值v概率中概率中vsinx一拱图像面积为一拱图像面积为2 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研20d2xex数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v常见的特殊值法选用函数常见的特殊值法选用函数 vy=C vy=x vy=x2 vy=x3v v等这些都是很好的特殊值法例子等这些都是很好的特殊值法例子成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研yx数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v例设例设f(x)有连续导数，有连续导数，f(0)=0,，且当且当 时时 与与 是是同阶无

24、穷小，则同阶无穷小，则k等于？等于？这种是典型的用特殊值法题目，取这种是典型的用特殊值法题目，取f(x)=x很快你就能做出很快你就能做出k=3成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研(0)0f220()()()xF xxtf t dt0 x()F xkx数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v例：已知例：已知f(x)在在x=0处某邻域内连续，处某邻域内连续，则则f(x)在在x=0 处处A不可导不可导B可导且导数不等于零可导且导数不等于零C取得极大值取得极大值D取得极小值取得极小值成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研0()lim21 cosxf xx2()f

25、xx特取D数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v重要的三角公式要记（能记记和差重要的三角公式要记（能记记和差化积公式就更好）化积公式就更好）成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研2222222222cos2cossin2cos112sincos211cos2cos,sin22sin22sincos1tansec,1cotcscxxxxxxxxxxxxxxxx 数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v几个重要的初等数学知识几个重要的初等数学知识v1韦达定理，两根之和韦达定理，两根之和=-b/a，两根，两根 之积之积=c/av2已知零点构造多项式已知零点构造多

26、项式 (x-x1)(x-x2)(x-x3)=0成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v3常用的因式分解常用的因式分解成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研22222332233322123221()2()()()33()()()()nnnnnnnabaabbabab ababaa babbabab aabbabab aabababb数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v4求根公式求根公式成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研20axbxc21,242bbacxa 数学考研常用技巧和易错点数学考研

27、常用技巧和易错点 v5常用的数列求和常用的数列求和成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研2222333321123(1)21123(1)(21)61123(1)211 22 3(1)(1)(2)3nn nnn nnnn nn nn nn 数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 vvx=a点不可导点不可导vx=a点最起码一阶可导点最起码一阶可导v例例v不可导点为不可导点为x=-3成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研()f xxa()(2)(2)(3)f xx xxx()()f xxa xa数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v奇函数积分是偶函数，

28、偶函数求导奇函数积分是偶函数，偶函数求导是奇函数是奇函数v但是偶函数积分就不一定是奇函数但是偶函数积分就不一定是奇函数v（只有过原点那个才是）（只有过原点那个才是）成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v出现出现v一定联想一定联想v出现出现v一定联想一定联想成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研()()()()fx g xf x g x()()()()fx g xf x g x()()f xg x()()f x g x数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v例例v你能快速看出它是什么的导数吗？你能快速看出它是

29、什么的导数吗？成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研1()d()xf ttxf t1()dxxf tt数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v七种积分的简单物理背景（要很熟）七种积分的简单物理背景（要很熟）v一重是曲边梯形面积一重是曲边梯形面积v二重平面薄板质量（面密度）二重平面薄板质量（面密度）v三重空间体质量（体密度）三重空间体质量（体密度）v一型曲线曲线质量（有补偿值）一型曲线曲线质量（有补偿值）v二型曲线变力沿曲线做功（方向很重要）二型曲线变力沿曲线做功（方向很重要）v一型曲面空间壳体质量（有补偿值）一型曲面空间壳体质量（有补偿值）v二型曲面流量（有向曲面）二型

30、曲面流量（有向曲面）成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v被积函数是被积函数是1时的几种积分的值能快时的几种积分的值能快速算出（有实际物理背景）速算出（有实际物理背景）v例例 为积分区域为积分区域D的面积的面积v例例 ，为空间曲线为空间曲线v终点终点y坐标坐标-起点起点y坐标坐标&弧长弧长成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研1d dDx y1ds1dy数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v曲线曲面积分曲线曲面积分v第一类是乘补偿值（三换）第一类是乘补偿值（三换）v第二类的要及时代入曲线面方程式第二类的要

31、及时代入曲线面方程式成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v定积分题定积分题“换元必换限换元必换限”！v比较好的习惯是比较好的习惯是成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研:0ln2:121ln,ddxxtetxtxtt数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v变上限函数求导变上限函数求导v将上限代入被积函数在对上限求导将上限代入被积函数在对上限求导v分段函数求导分段函数求导v在连续点处用法则，分段点处用定义在连续点处用法则，分段点处用定义成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点

32、数学考研常用技巧和易错点 v用罗比塔法则求导时用罗比塔法则求导时v请一定检验是否是不定型！请一定检验是否是不定型！成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研00数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v用分步积分法时，第一项上下限的处理用分步积分法时，第一项上下限的处理v例例 有一个已知有一个已知 和和 求求成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研(0)0f11100010()d()()d(1)0()d?f xxxf xxfxxfxfxx10()d1f xx 10()d?xfxx 数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 成都理工大学成都理工大学 理工理工数

33、学数学考研考研11100010()d()()d(1)0()d?f xxxf xxfxxfxfxx11100010()d(1)(1)()()d00()df xxxf xxfxxxfxx数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v出现不定积分题，不好做时，心里反复出现不定积分题，不好做时，心里反复想想“不是分步就换元不是分步就换元”.v面临不定积分题心里想想我能做什么？面临不定积分题心里想想我能做什么？v例例成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研2arctandxxexe21arctand()2xxee数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v计算重积分时一定考虑对称

34、性奇偶性（计算重积分时一定考虑对称性奇偶性（函数可能要处理，积分区域可能要处理）函数可能要处理，积分区域可能要处理）v第二类曲面积分也应先考察它的奇偶性后第二类曲面积分也应先考察它的奇偶性后在用高斯公式（特别是填空题）在用高斯公式（特别是填空题）v特别注意第二类曲面积分奇偶性和前面的特别注意第二类曲面积分奇偶性和前面的这些不一样！这些不一样！成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v 例设区域例设区域v 计算二重积分计算二重积分v D是关于是关于x轴对称的，考察轴对称的，考察y的奇偶性的奇偶性 在用极坐标换元在用极坐标换元成都理工大学

35、成都理工大学 理工理工数学数学考研考研22(,)1,0Dx y xyx221d d1DxyIx yxy22d d01Dxyx yxy1222211d d2d d11DDx yx yxyxy数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v(定积分定积分)不等式证明常用不等式证明常用成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研2212;0,2ababaaa222()()d()d()dbbbaaaf x g xxfxxgxx数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v用定积分的定义做题时，常要放缩用定积分的定义做题时，常要放缩后才能写出被积函数后才能写出被积函数v例求例求v这是典型

36、用定积分意义做的题这是典型用定积分意义做的题成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研2sinsinsinlim1112nnnnnnn1011lim()()dnniiff xxnn数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v不能直接写出被积函数要适当放缩不能直接写出被积函数要适当放缩v在用夹逼定理得出答案在用夹逼定理得出答案v为了求为了求成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研1sinlim1nniinni111sinsinsin110nnniiiiiinnnnnni数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v右边式子右边式子成都理工大学成都理工大学 理工理工

37、数学数学考研考研1110sin1limlimsin02sindnnnniiiinnnnx x数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v弧长公式弧长公式 v极坐标中极坐标中成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研2221d()()dbalyxlxtytt22()()dlrr数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v轮回对称性，区域要关于轮回对称性，区域要关于y=x对称对称v被积函数就可换被积函数就可换f(x,y)为为 f(y,x)vx和和y地位均等地位均等成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v轮回对称性

38、轮回对称性v例例 在圆形区域内积分，在圆形区域内积分，成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研221D xy2222212001d dd dd d21dd2DDDxx yyx yxyx yr r r数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v斯托克斯公式有两种表达方法，他斯托克斯公式有两种表达方法，他们分别联系第二类曲线积分和第一类们分别联系第二类曲线积分和第一类曲面、二类曲面积分的联系曲面、二类曲面积分的联系v如果曲面是平面，法向量恒定，就用如果曲面是平面，法向量恒定，就用前者较为简单前者较为简单成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研Sdydzdzdxdxdzx

39、yzPQRcoscoscosdSsxyzPQR数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v用格林公式有坏点时，做一曲线用格林公式有坏点时，做一曲线（圆、椭圆），挖去坏点（圆、椭圆），挖去坏点v奥高公式内部有坏点时，就是做一小奥高公式内部有坏点时，就是做一小体（球体），也可以挖去坏点体（球体），也可以挖去坏点v格林公式是可以用于复连通区域的格林公式是可以用于复连通区域的v复连通区域内圈曲线的正方向和外复连通区域内圈曲线的正方向和外圈是相反的（外逆内顺）圈是相反的（外逆内顺）成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v四个等价条件（

40、在单连通区域内）四个等价条件（在单连通区域内）v1 判别式判别式v2与积分路径无关与积分路径无关v3封闭曲线上积分等于零封闭曲线上积分等于零v4是某一个函数的全微分是某一个函数的全微分成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研QPxy数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v用格林公式奥高公式时，首先要判用格林公式奥高公式时，首先要判断正负号，由曲线面的方向决定断正负号，由曲线面的方向决定v其次可能会要算一些常见几何体的面其次可能会要算一些常见几何体的面积体积积体积v比如锥体积比如锥体积=1/3底面积乘高底面积乘高v球体积球体积=成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研

41、考研343R数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v球坐标和柱坐标不能误用了球坐标和柱坐标不能误用了 v记球坐标记球坐标v记柱坐标记柱坐标成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研2sin d d drr d d dr rz数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v截面法做三重积分截面法做三重积分v其中其中D(z)是截面面积，要自己根据几是截面面积，要自己根据几何知识写出何知识写出S(z)（截面面积大小随截（截面面积大小随截面在面在z轴上高低位置变化函数）轴上高低位置变化函数）成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研()()dd()d d()()dbba

42、aD zf zvzf zx yf z S zz数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v满足一定条件时，混合偏导数与求满足一定条件时，混合偏导数与求导顺序无关导顺序无关v 注意注意成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研2zzzx yxy 22zzx yy x 数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v多元函数某点可微验证一般用定义多元函数某点可微验证一般用定义 v考试中常是（考试中常是（0，0）点，（且两个偏）点，（且两个偏导数一般为零），故只需看导数一般为零），故只需看 v是否是零是否是零 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研()zdzo 220

43、00(,)(0,0)limlimxyxyzfxfyfxyfxy 数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v曲线曲线v可视可视x为参数就能换成参数方程了为参数就能换成参数方程了 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研(,)0zf x yy0(,0)xxyxzf x数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v点到直线距离公式（记）点到直线距离公式（记）v类似点到平面距离公式类似点到平面距离公式成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研0022AxByCdAB000222AxByCzDdABC数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v算二元函数极值的题

44、时切记不要忘算二元函数极值的题时切记不要忘记用判别式检验此点是不是极值点记用判别式检验此点是不是极值点成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研220 xyxxyyBACfff 数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v如果目标函数较复杂，可借助约束如果目标函数较复杂，可借助约束条件或者取目标函数的平方什么的，条件或者取目标函数的平方什么的，改造成易求偏导数的类型改造成易求偏导数的类型v比如目标函数是比如目标函数是v要他最大，也可求要他最大，也可求 v使他最大使他最大成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研22Fxy222GFxy数学考研常用技巧和易错点数学考研常用

45、技巧和易错点 v级数的题，不管是求和还是展开成级数的题，不管是求和还是展开成什么幂级数，一定要往五个常用展开什么幂级数，一定要往五个常用展开式上靠近，不能硬来式上靠近，不能硬来成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v级数求和时，级数求和时，下标起点的变化下标起点的变化（抓住首项相等就行）（抓住首项相等就行）v例例成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研21210(1)(1)(2)(1)nnnnnnn nxnnxnnx数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v级数级数 发散发散v所以要知道所以要知道lnx 的增长性

46、是很慢的，的增长性是很慢的，我喜欢说我喜欢说lnx力量很小力量很小v一般的一般的 k1才收敛才收敛 成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研1lnnn1lnknn数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v级数级数v0p1绝对收敛绝对收敛成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研(1)npn数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v级数求和时级数求和时v注意注意S(0)不一定什么时候都为零！不一定什么时候都为零！v切记切记!v自己把自己把x=0代入原始级数中，算算代入原始级数中，算算S(0)就行就行成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研0()(0

47、)()dxS xSS tt数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v交错级数莱布尼兹判定定理交错级数莱布尼兹判定定理v级数收敛的必要条件，一般项趋于零（级数收敛的必要条件，一般项趋于零（筛选器）筛选器）v用三大判别法的时候请检查是否是正项用三大判别法的时候请检查是否是正项级数级数v收敛级数与发散级数的和为发散级数收敛级数与发散级数的和为发散级数成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v抽象级数，一般要用放缩法对他进抽象级数，一般要用放缩法对他进行估计，然后用比较判别法行估计，然后用比较判别法v用初等重要不等式放缩一些级数后用

48、初等重要不等式放缩一些级数后可用比较判别法可用比较判别法成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研2211(),()22abababab数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v有有 的抽象级数不一定是交错级的抽象级数不一定是交错级数数成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研(1)n(1)nnnau 数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v傅立叶级数的计算公式傅立叶级数的计算公式v梯度（矢）散度（数）旋度公式（矢）梯度（矢）散度（数）旋度公式（矢）v微分方程的几种类型微分方程的几种类型v（特别注意可分离变量和齐次方程，可（特别注意可分离变量和齐次方程，可

49、降解的两种类型，伯努利方程，一阶二降解的两种类型，伯努利方程，一阶二阶的公式法，阶的公式法，y*的设法）的设法）成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v高斯消元法解方程时不能用列变换高斯消元法解方程时不能用列变换v求极大线性无关组也不能用列变换求极大线性无关组也不能用列变换v求矩阵的秩和行列式求值行列变换均可求矩阵的秩和行列式求值行列变换均可成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v副对角线的行列式符号判别副对角线的行列式符号判别成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考

50、研考研1(1)2100000(1)0n nniinaaa 数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 v不对应的行列余子式展开为零，对不对应的行列余子式展开为零，对应的就是他的值了应的就是他的值了v方程有解，无解；只有零解，有非方程有解，无解；只有零解，有非零解，有唯一解的相关联系不能搞晕零解，有唯一解的相关联系不能搞晕了了v基础解系和方程系数矩阵秩的关系基础解系和方程系数矩阵秩的关系v基础解系的三个条件基础解系的三个条件v1是解，是解，2线性无关，线性无关，3个数个数=n-r(A)成都理工大学成都理工大学 理工理工数学数学考研考研数学考研常用技巧和易错点数学考研常用技巧和易错点 vn+