人教版-欧拉公式课件.ppt

1、欧拉欧拉欧拉公式欧拉公式 著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法国度过他国度过他1717岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史上最高产的作家在世发表论文上最高产的作家在世发表论文700700多篇，去世后还多篇，去世后还留下留下100100多篇待发表其论著几乎涉及所有数学分多篇待发表其论著几乎涉及所有数学分支他首先使用支他首先使用f(x)表示函数，首先用表示函数，首先用表示连加，首表示连加，首先用先用i表示虚数单位在立体几何中多面

2、体研究中，首表示虚数单位在立体几何中多面体研究中，首先发现并证明欧拉公式先发现并证明欧拉公式多面体多面体多面体的定义多面体的定义若干个平面多边形围成的几何体若干个平面多边形围成的几何体(1)（2）（3）(4)(5)多面体的有关概念多面体的有关概念多面体的面多面体的面棱棱顶点顶点凸多面体凸多面体把多面体的任何一个面延伸为平面把多面体的任何一个面延伸为平面,如果所有其他各如果所有其他各面都在这个平面的同侧面都在这个平面的同侧,这样的多面体叫做凸多面体这样的多面体叫做凸多面体多面体的分类多面体的分类四多面体四多面体 五多面体五多面体六多面体等六多面体等多面体多面体正多面体正多面体每个面都是有相同边数

3、的正多边形每个面都是有相同边数的正多边形,且以每个顶点为且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体其一端都有相同数目的棱的凸多面体,叫正多面体叫正多面体.(1)（2）（3）正四面体正四面体正六面体正六面体正八面体正八面体正十二面体正十二面体正二十面体正二十面体多面体多面体（6）(7)(8)简单多面体简单多面体表面经过连续变形表面经过连续变形能变成一个球面的多面体能变成一个球面的多面体(5)讨论讨论问题问题1：（1）数出下列四个多面体的顶点数）数出下列四个多面体的顶点数V、面数面数F、棱数棱数E 并填表并填表(1)（2）（3）图形编号图形编号顶点数顶点数V面数面数F棱数棱数E (1)（2）（

4、3）（4）规律规律：V+F-E=2 464 8612 6812201230（欧拉公式）欧拉公式）(4)(6)(5)问题问题1：（2）数出下列多面体的顶点数）数出下列多面体的顶点数V、面数面数F、棱数棱数E 并填表并填表5857812图形编号图形编号顶点数顶点数V面数面数F棱数棱数E（5)（6）V+F-E=2（欧拉公式）欧拉公式）简单多面体简单多面体讨论讨论问题问题2 2：如何证明欧拉公式如何证明欧拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1讨论讨论思考思考1：多面体的面数是：多面体的面数是F，顶点数是顶点数是V，棱数是棱数是E，则平面图形中则平面图形中的多边形个数、顶点数

5、、边数分别为的多边形个数、顶点数、边数分别为思考思考2：设多面体的：设多面体的F个面分别是个面分别是n1,n2,nF边形，各个面的内角总和是多边形，各个面的内角总和是多少？少？(n1-2)1800+(n2-2)1800+(nF-2)1800=(n1+n2+nF-2F）1800思考思考3：n1+n2+nF和多面体的棱数和多面体的棱数E有什么关系有什么关系n1+n2+nF=2EF、V、E问题问题2 2：如何证明欧拉公式如何证明欧拉公式讨论讨论ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1多边形内角和多边形内角和=（EF）3600思考思考4：设平面图形中最大多边形（即多边形：设平面图形

6、中最大多边形（即多边形ABCDE）是）是m边形，则它和它边形，则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少？内部的全体多边形的内角总和是多少？2（m-2)1800+(V-m)3600=(V-2)3600（E-F）3600=(V-2)3600问题问题2 2：如何证明欧拉公式如何证明欧拉公式讨论讨论ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1V+F-E=2欧拉公式欧拉公式问题问题3:欧拉公式的应用欧拉公式的应用例例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的有重大贡献的三位科学家三位科学家C60是有是有60 个个C原子组成的分子，它结构为简原子组成

7、的分子，它结构为简单多面体形状这个多面体有单多面体形状这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出个顶点，从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种计算条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种计算C60分分子中形状为五边形和六边形的面各有多少？子中形状为五边形和六边形的面各有多少？解：设解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有分子中形状为五边形和六边形的面各有x个个和和 y个个由题由题意有顶点数意有顶点数V=60，面数面数=x+y，棱数，棱数E=（360）21根据欧拉公式，可得根据欧拉公式，可得 60+（x+y)（360）=221另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即另一

8、方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即 （5x+6y)=（360）2121由由以上两个方程可解出以上两个方程可解出 x=12,y=20答：答：C60分子中形状为五边形和六边形的面各有分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和个和20个个例例2、有没有棱数是、有没有棱数是7 的简单多面体？的简单多面体？解：假设有一个简单多面体的棱数解：假设有一个简单多面体的棱数E=7根据欧拉公式得根据欧拉公式得 V+F=E+2=9因为多面体的顶点数因为多面体的顶点数V4，面数面数F4，所以只有两种所以只有两种情形：情形：V=4，F=5 或或 V=5，F=4但是，有但是，有4 个顶点的多面体只有个顶点的多面体只有

9、4个面，而四面体也只有个面，而四面体也只有四个顶点所以假设不成立，没有棱数是四个顶点所以假设不成立，没有棱数是7 的简单多面体的简单多面体问题问题3:欧拉公式的应用欧拉公式的应用1、（、（1）一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点）一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点 数数V和面数和面数F有有F=2V4的关系的关系练习练习（2）若简单多面体的各面都是四边形，则它的顶点数）若简单多面体的各面都是四边形，则它的顶点数V和面数和面数F又有怎样的关系？又有怎样的关系？2、简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都简单多面体的每个面都是五边形，且每个顶点的一端都有三条棱，求这个多面体的面数和棱数有三条棱，求这个多面体的面数和棱数小结小结猜想猜想证证明明应用应用空间问题平面化空间问题平面化作业作业 P.61 3、4V+F-E=2欧拉公式欧拉公式