人教版-数学归纳法完美课件.ppt
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1、 数学归纳法数学归纳法 .,|sin|sin|:,.,NnxnxxnNnnNnnnnnNnnnNnnnn11152200例例如如等等式式数数多多个个正正整整数数相相关关的的不不就就出出现现了了与与无无为为表表达达这这样样的的关关系系关关系系成成立立都都有有某某种种不不等等任任意意正正整整数数的的或或不不小小于于某某个个数数任任意意正正整整数数对对于于人人们们会会遇遇到到这这样样的的情情况况在在数数学学研研究究中中一、提出问题一、提出问题,.在高考中 这类问题也是经常出现,同时这也是一种重要的数学推理方法数学归纳法 .?,97531753153131121531证明你的结论证明你的结论吗吗的结果
2、的结果你能猜出你能猜出通过计算下面式子通过计算下面式子思考思考nn二、情景引入二、情景引入?.:,怎怎样样证证明明它它呢呢由由此此猜猜想想别别是是上上面面四四个个式式子子的的结结果果分分nnnn11215315432 .,.,.:成证明成证明通过验证的方法无法完通过验证的方法无法完所以所以证证我们无法对它们一一验我们无法对它们一一验但是正整数是无限多个但是正整数是无限多个时这个等式成立时这个等式成立甚至甚至虽然我们可以验证虽然我们可以验证任何正整数时都成立任何正整数时都成立为为在在要证不等式要证不等式这个问题的特点是这个问题的特点是分析分析 000100000154321nnn.,象象的的方方
3、法法能能够够处处理理完完无无限限多多个个对对就就骤骤必必须须寻寻找找一一种种有有限限个个步步要要证证明明这这个个问问题题.,.,1,1,2;2,3,.我们先从多米诺骨牌游戏说起 这是一种码放骨牌的游戏 码放时保证任意相邻的两块骨牌 若前一块骨牌倒下 则一定导致后一块骨牌倒下这样 只要推倒第 块骨牌 由于第块骨牌倒下 就可导致第 块骨牌倒下 而第块骨牌倒下 就可导致第 块骨牌倒下最后 不论有多少块骨牌 都能全部倒下:,件有两个件有两个使所有骨牌都倒下的条使所有骨牌都倒下的条可以看出可以看出 ;第一块骨牌倒下第一块骨牌倒下1 .,:,.,块也倒下块也倒下相邻的第相邻的第倒下时倒下时块块当第当第系系
4、事实上就是一个递推关事实上就是一个递推关条件条件其中其中倒下倒下一块一块前一块倒下一定导致后前一块倒下一定导致后任意相邻的两块骨牌任意相邻的两块骨牌122 kk .,倒倒下下以以全全部部那那么么所所有有的的骨骨牌牌一一定定可可成成立立只只要要保保证证21三、原理分析三、原理分析人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件.,1321kk一一队队到到大大依依次次排排列列为为无无限限长长由由小小我我们们设设想想将将全全部部正正整整数数类类比比多多米米诺诺骨骨牌牌游游戏戏 .,成成立立式式即即这这时时等等的的左左右右两两边边都都等等于于等等式式时时当当可可以以验验证证 111n
5、.,的的自自动动递递推推关关系系由由前前到到后后的的诺诺骨骨牌牌那那样样则则可可以以建建立立一一种种像像多多米米也也成成立立式式时时等等能能推推出出成成立立时时等等式式若若从从可可以以想想象象 12knkn人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件 :,这这个个等等式式的的方方法法就就自自然然地地想想到到一一种种证证明明综综合合21 ;成成立立时时等等式式首首先先证证明明 11 n .中中的的递递推推关关系系然然后后证证明明 2 .,:,;,成成立立等等式式对对于于任任意意正正整整数数就就可可以以说说下下去去如如此此继继续续自自动动递递推推成成立立时时等等式式递递推推出出
6、成成立立时时等等式式再再由由成成立立时时等等式式递递推推出出成成立立为为起起点点时时等等式式就就可可由由完完成成以以上上两两步步后后 nnnnn3221 :证证明明等等式式下下面面按按照照上上述述思思路路具具体体人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件 .,成立时等式即这左右两边都等于式时当证明 111n .,kkkknkk112153112 即成立时等式假设当 .,的左右两边时式再考虑在这个假设下 1kn .11211112112153111 kkkkkkkk左边 11211 kkk 111 kk.右边 .成立时等式所以当 1kn .Nnnnnn1121531 可知由
7、21,人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件.:.,;,:,都成立都成立命题命题正整数正整数对于从起点向后的所有对于从起点向后的所有由这两步保证由这两步保证的递推关系的递推关系由前向后由前向后证明证明然后然后先作归纳假设先作归纳假设第二步第二步立的一个起点立的一个起点从而奠定了命题成从而奠定了命题成时命题成立时命题成立证明证明第一步第一步我们用了两个步骤我们用了两个步骤总结上述过程总结上述过程 Nnn1人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件:,下两个步骤下两个步骤可以用以可以用以都成立时都成立时的所有正整数的所有正整数正整数正整数对于不小于某
8、个对于不小于某个当要证明一个命题当要证明一个命题一般地一般地nn0 ;时命题成立时命题成立证明当证明当01nn .,时命题也成立时命题也成立证明证明时命题成立时命题成立且且假设当假设当120 knnkNkkn .,inductionalmathematicn法称为法称为这种证明方这种证明方的所有正整数都成立的所有正整数都成立不小于不小于就可以断定命题对于就可以断定命题对于在完成这两个步骤后在完成这两个步骤后0数学归纳法数学归纳法?,基本思想是什么基本思想是什么你认为数学归纳法的你认为数学归纳法的结合上面的证明结合上面的证明思考思考人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件
9、;,.,.,水水没没有有它它递递推推就就成成无无源源之之后后面面递递推推的的出出发发点点成成为为时时命命题题成成立立第第一一步步确确定定了了可可缺缺一一不不这这两两步步都都非非常常重重要要二二步步是是假假设设与与递递推推第第第第一一步步是是奠奠基基骤骤中中在在数数学学归归纳纳法法的的两两个个步步00nnnn .,成证明成证明从而完从而完以后的每一个正整数以后的每一个正整数数无限传递到数无限传递到向后一个数一个向后一个数一个开始开始的范围就能从正整数的范围就能从正整数立立成成命题命题借助它借助它推关系推关系一种递一种递确认确认第二步第二步00nn.,基本原理基本原理以上就是数学归纳法的以上就是数
10、学归纳法的握上握上的把的把在对有限情况在对有限情况没有它我们就只能停留没有它我们就只能停留的关键的关键限的飞跃限的飞跃递推是实现从有限到无递推是实现从有限到无因此因此,人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件.归纳法的基本过程下面的框图表示了数学 .,命题成立对所有的0nnNnn 奠基假设与递推 .:时命题成立证明 Nnnn001 .,:时命题也成立则时命题成立若证明120 knnkkn人教版-数学归纳法ppt完美课件人教版-数学归纳法ppt完美课件.,?到到较较好好的的效效果果用用数数学学归归纳纳法法可可能能会会收收的的方方法法证证明明如如果果不不易易用用以以前前学学
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