二重积分的概念与性质78850课件.ppt
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- 二重积分 概念 性质 78850 课件
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1、 第九章一元函数积分学一元函数积分学多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分重 积 分 三、二重积分的性质三、二重积分的性质 第一节一、引例一、引例 二、二重积分的定义与可积性二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 第九章 解法解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例一、引例1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:0),(yxfz底:底:xoy 面上的闭区域 D顶顶:连续曲面侧面:侧面:以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”D),(yxfz xzy 1)“大化小大化小
2、”用用任意任意曲线网分曲线网分D为为 n 个区域个区域n,21以它们为底把曲顶柱体分为以它们为底把曲顶柱体分为 n 个个2)“常代变常代变”在每个在每个,),(ii3)3)“近似和近似和”niiVV1niiiif1),(),2,1(),(nifViiii则则中中任取任取一点一点小曲顶柱体小曲顶柱体),(yxfz xzyoDi),(iii 4)4)“取极限取极限”的直径为定义iii,PPPP2121max)(令令)(max1ininkkkkfV10),(lim 2.2.平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片,在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D,),(Cyx计算该薄
3、片的质量计算该薄片的质量 M.度为度为),(),(常数若yx设设D 的面积为的面积为 ,则则M若若),(yx非常数非常数,仍可用仍可用其面密其面密“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,求求 极限极限”解决解决.1)“大化小大化小”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域,21n相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域.Dyxo 2)“常代变常代变”在每个在每个 中中任取任取一点一点i),(ii3)“近似和近似和”niiMM1niiii1),(4)“取极限取极限”)(max1ini令niiiiM10),(limi),(ii),2,1(),(niMiiii则第则第 i
4、小块的质量小块的质量yxo 两个问题的两个问题的共性:共性:(1)解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同所求量的结构式相同“大化小大化小,常代变常代变,近似和近似和,取极限取极限”niiiifV10),(limniiiiM10),(lim曲顶柱体体积曲顶柱体体积:平面薄片的质量平面薄片的质量:二、二重积分的定义及可积性二、二重积分的定义及可积性定义定义:),(yxf设将区域将区域 D 任意任意分成分成 n 个小区域个小区域),2,1(nii一点一点,),(iii 当当 中最大直径中最大直径 趋于零趋于零时,若时,若存在,则称此极限为函数在闭区域上的二重积分,也存在,则称此
5、极限为函数在闭区域上的二重积分,也称称 并记作并记作可积可积,),(yxfDyxfd),(是定义在有界闭区域是定义在有界闭区域 D上的有界函数上的有界函数,),2,1(niiniiiif10),(lim任取任取niiiif10),(limDyxfd),(即有即有 称为积分变量yx,积分域积分域被积函数被积函数积分表达式积分表达式面积元素面积元素niiiif10),(limDyxfd),(积分和积分和 DyxfVd),(引例引例1中曲顶柱体体积中曲顶柱体体积:DyxMd),(引例引例2中平面薄板的质量中平面薄板的质量:如果如果 在在D上可积上可积,),(yxf也常也常d,ddyx二重积分记作二重
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