线性代数之二次曲面课件.ppt

1、8.4 空间中的曲面与曲线曲面(曲线)方程:1.曲面(曲线)上的任一点的坐标都满足该方程.2.坐标满足方程的点都在该曲面(曲线)上.这一节我们主要研究：1.球面 2.柱面 3.旋转曲面 一、空间曲线的一般方程 4.空间曲线 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在平面上的投影1.球面(,)M x y z 在球面上任取一点2222000()()()xxyyzzr,将球面方程展开 得0000(,),M x y zr 已知一个球面的球心在点半径是 求该球面的方程.(,)M x y z0000(,),M x y z,M Mr0则 从而该球面的方程为:22222220000002220 xyzx xy y

2、z zxyzr球面方程具有三个特点:1.三元二次方程.2.平方项的系数相同.3.交叉项的系数都是零.一般说来,满足这三个条件的方程也是球面方程.事实上,这样的方程可改写成:222000()()()xxyyzzk0 ,k 时 表示一个球面0 ,k 时 表示一个点(点球面)0 ,k 时 无图形(虚球面)2222xyzr球心在坐标原点的球面方程为:222 2220 xyzxy 例:问方程 表示什么几何图形?解:原方程可写成222(1)(1)4xyz 02,(1,1,0)M故该方程表示半径为 球心在的球面.ro。o。2224020 xyzxxyz例：求球面被平面所截得的 224xyz2解：球面(-2)

3、半径 r=2,球心 O(2,0,0).圆的半径球心到平面的距离2222 1 0 20 12612(1)OO 22222302()36rroo r2.柱面柱面:平行于给定直线并沿定曲线C移动的直线L所 形成的轨迹叫做柱面.准线:定曲线C叫做柱面的准线.母线:动直线L叫做柱面的母线.CL222xyr例 讨论方程 的图形222oxyxyr*在平面上,表示一个圆222*xyr在三维几何空间中,表示一个柱面222:xyr园柱面222 0 xyrz准线：oxyzLA母线平行于z轴 一般地，含有两个变量的方程在平面几何中一般地，含有两个变量的方程在平面几何中表示一条曲线，而在空间几何中则表示一个柱面表示一条

4、曲线，而在空间几何中则表示一个柱面,母线平行于不出现的那个变量对应的坐标轴母线平行于不出现的那个变量对应的坐标轴.具体具体地地:(,)0(,)0 ,0 f x zf x zyy 方程 表示以曲线:为准线母线平行于 轴的柱面(,)0(,)0 ,0 f x yf x yzz 方程 表示以曲线:为准线母线平行于 轴的柱面(,)0(,)0 ,0 f y zf y zxx 方程 表示以曲线:为准线母线平行于 轴的柱面2222:1xyab双曲柱面2:2 (0)xpyp抛物柱面3.旋转曲面旋转曲面：平面曲线C 绕该平面上一条定直线L 旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面母 线：曲线C旋 转 轴：定直线L3:8(4

5、),260zzyyx 旋转轴轴母 线:(,)0 :0 ,yozf y zCxz例 在平面上给定曲线将其绕 轴旋转一周 求此旋转曲面的方程(,).M x y z解:在曲面上任取一点1 zz221 xyy221yxy 即 111(0,)MCMy z设点位于曲线 上点所转过的圆周上.故22 (,)0fxyz所求曲面方程为：yxozCM。1M。22:(,)0 :0 (,)0fy zCxyfyxz同理，曲线绕 轴旋转一周所成的旋转曲面的方程为：总之，在坐标面上的曲线绕其上一个轴旋转一周得到的旋转曲面方程可以这样得到：将曲线方程中与转轴相同的变量不动，把另一个变量换为它自己的平方与方程中未出现的变量的平方

6、和的平方根即可.,0zkyzx例 求直线绕 轴旋转一周得到的曲面的方程22222222 x 0zxyzkyyzkyzxyk 解：不动，用替代 中的 得即圆锥面：直线L绕另一条与L相交的直 线旋转 一周所得的旋转面 02：两直线的夹角（半顶角）xyzo22221 0 xzxaby例 求双曲线绕 轴旋转一周所得曲面的方程2222221 0 xzxyzzaby解：不动，用替代 中的 得222221xyzab旋转双叶双曲面22221 0 xzzaby例 求双曲线绕 轴旋转一周所得曲面的方程2222221 0 xzzxyxaby解：不动，用替代 中的 得22222 1xyzab旋转单叶双曲面旋转椭球面2

7、2221 0 xyxabz椭圆绕轴旋转一周得222221xyzab旋转抛物面220 ypzzx抛物线绕 轴旋转一周得222xypz4.空间曲线一、空间曲线的一般方程(,)0(,)0FxyzGxyz22221 313 xyxyzxyxyz 例如 表示圆柱面与平面 的相交曲线22222 1 2,0 xyxyzz再比如,方程组222222 0)1 xyzzxy表示上半球面 (与柱面 的交线221,01xyzz注：由于过曲线C的曲面有无穷多，所以曲线的一般 方程不唯一.上面讨论的半球面与柱面的交线也可视为柱面与平面的交线.1 由此方程可清楚地看出：该交线是一个位于平面z=1上，半径为 的圆222222

8、222 22,220 zzaxyaaxyaaaxyz方程组表示一个球心在原点 半径为 的上半球面与一个以圆 为准线,母线平行与 轴的圆柱面的交线.维维亚尼曲线各种空间曲面可以相交出许多有趣的空间曲线二、空间曲线的参数方程与平面曲线一样，也可由参数方程表示空间曲线C.():()()xx tyy tzz t空间曲线参数方程的一般形式为 aMvM例 在半径为 的圆柱面上，有一动点以角速度 绕轴转动，同时又以匀速 沿母线上升，求点运动 轨迹的方程 0(,0,0)(,)tzzttMA atMx y z解：以圆柱面的轴为 轴，取动点运动 的方向为 轴的正向.取 为参数,时,点位于处.经过 时间,动点运动到

9、.xyzOAtM。M设 为在xoy面上的投影MtM，(,0)Mx yAOMtcos()sin()xatyat于是cos():sin()xatyatzvt该曲线参数方程为称此曲线为螺旋线三、空间曲线在坐标面上的投影,CCC 设 是一条空间曲线是一个平面 以 为准线,作母线垂直与 的柱面 称该柱面与平面 的交线为 在平面 上的投影曲 投影线,简曲线称投影.C求由一般方程表示的空间曲线到坐标面的投影12(,)0(,)0F x y zCF x y z设曲线 的方程为(,)0.zF x y 消去，得方程(,),F x yCxoy代表的柱面包含以 为准线 母线垂直于面的柱面.3xyz224zxyCzoxy

10、oz类似可得曲线 到平面、平面的投影.(,)00 F x yCzxoy从而,曲线包含曲线 在从而,曲线包含曲线 在面上的投影面上的投影222221,(0)0 ,.xyzzxyxxoy zox 例 求曲线在坐标面的投影2200 xyxz,Cy从曲线 的方程中消去得21 (0,0)zxxz22:0,xyxCxoyCxoy 解就是以 为准线 母线垂直于平面的柱面,在平面的投影曲线为21 (x0,z0),0 Czoxzxy曲线 在面上的投影曲线为抛物线段cossin xtCytztxoyyoz例 求 螺 旋 线:到、坐 标 面 的 投 影.2cos1sin,0 0 Cxoyxtxyytzz2解:到坐标

11、面的投影为 即 0 sinsin,0 Cyozxyzytxzt到坐标面的投影为 即求由参数方程表示的空间曲线在坐标面上的投影8.5 二次曲面截痕法:类似与医学中CT诊断的方法,用平行于坐 标面的平面截割所研究的曲面，考察截痕 的形状，然后综合出曲面的全貌.二次曲面：在空间解析几何中，称三元二次方程表示的曲面为二次曲面.研究路线:1.先研究标准方程表示的二次曲面:椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面、二次锥面.2.把二次曲面的一般方程转化成标准 方程.222112233121323142434442220a xa ya za xya xza yz a x a y a z a22

12、2222 1(,0)(1),xyza b cabca b c 由方程确定的曲面，称为，称为椭球面的椭球面三个半轴.一、椭球面222222(1)1,1,1.xyzabc由方程知|,|,|xaybzc即所以椭球面(1)完全包含在以原点为中心的一个长方体内.为了解该椭球面的形状，先考察坐标面与与该曲面的交线.222210 xyabz222210yzbcx222210 xzacy 这些交线都是椭圆.22222222221()()xyabchchcczh2222,.zhabchchcchz这是平面 上的一个椭圆它的两个半轴分别为 和 当由小变到大时,椭圆由大变到小,最后缩成一点.且这一系列椭圆的中心都在

13、 轴上.(|)zhhc平面截割该曲面的截痕(交线)为：xyzo 同样,用平行于yoz面和平行于zox面的平面截椭球面分别可得类似的结论.根据这些截痕，就可以知道椭球面的形状了.二、单叶双曲面222222 1 (,0)(2)xyza b cabc单叶双曲面:平方项系数两正方程特点、一负.2222222211/1/xyzahcbhchhz平面截该曲面,截线椭（）圆）为,h随的增大 其长、短半轴也随着增大.2222221 xzkaykcbyk 用平面截该曲面,截线方程为 kbx当时,截 线 是 实 轴 在 轴 上 的 双 曲 线,kbz当时,截 线 是 实 轴 在 轴 上 的 双 曲 线.kb当时,

14、截线是两条相交直线.2222221 (,0)xyza b cabc 根据上述截痕,可知单叶双 曲面:的形状.2222221:xzkacbyk 截线 三、双叶双曲面 222222 1 (,0)(3)xyza b cabc双叶双曲面:平方项系数两负方程特点、一正.zhyh用平面或截该曲面,得双曲线 ()xhha用平面截该曲面,得椭圆22222222222211 xyhxzhabcacbzhyh或 2222221 yzhbcaxh 2222221xzhacbyh 四、椭圆抛物面22 (,)(4)22xyzp qpq同号椭圆抛物面:得椭圆抛物面的图形.xoyxoy图形在面上方,与面交于原点.不妨设p,

15、q0.,(0)zhh与平面的交线是椭圆.yoz与平行于面的平面的交线是抛物线.zox与平行于面的平面的交线是抛物线.五、双曲抛物面（马鞍面）22 (,)(5)22xyzp qpq同号双曲抛物面:不妨设p,q0.仿照前面的讨论.xoy与面的交线是两条相交直线.xoy与平行于面的平面的交线是双曲线.yoz与平行于面的平面的交线是抛物线.zox与平行于面的平面的交线是抛物线.可得双曲抛物面(马鞍面)的形状.六、二次锥面 ab时为圆锥面xoy与面交于一点yoz与面交于两条相交直线ox与z面交于两条相交直线xoy 与平行于面的平面 的交线是椭圆222222 0 (,0)(6)xyza b cabc二次锥

16、面:七、二次曲面的一般方程3 3142434()(,),(,),ijAaXx y z va a a令,则三元二次曲面的一般方程440:X AXv Xa可化为,由于经正交变换可将实二次型化为标准型 存在正交变换,使得该方程化为222123142434440 (1)xyza xa ya za:分如下四种情况讨论123,.1、都不等于零,且符号相同123,0,0,0.1232、都不等于零,且符号不同,不妨设123,0,0,0.1233、中只有一个等于零.不妨设123,0,0,0.1234、中有两个等于零.不妨设 我们通过用正交变换和平移变换化三元二次方程为标准形式,研究三元二次方程表示的几何图形.2

17、22112233121323142434442220a xa ya za xya xza yz a x a y a z a 123,.1、都不等于零,且符号相同对方程(1)配方后,经平移变换得:222123xyzd1232222221:,().:1.dxyzabc 情形同号 与 异号 方程可化为虚椭球面123222222:,().1.dxyzabc 情形3同号 与 同号 方程可化成:椭球面222222:0.0.xyzdabc情形2方程化为退化椭球面:222123142434440 (1)xyza xa ya za123,0,0,0.1232、都不等于零,且符号不同,不妨设对方程(1)配方后,经

18、平移变换得:222123xyzd222222:0.0 xyzdabc情形5可化成的标准方程:二次锥面.222222:0.1.xyzdabc情形4可化成的标准方程:单叶双曲面222222:0.1xyzdabc情形6可化成的标准方程:双叶双曲面.222123142434440 (1)xyza xa ya za123,0,0,0.1233、中只有一个等于零.不妨设对方程(1)配方后,经平移变换得:221234xya zd2213420 xayd 当时,221222:,.1.xydab 椭圆柱情形7同号 可化成程:面的标准方221222:,.1.xydab 情形8同号 且与 异号 方程化为,虚椭 圆柱

19、面 221222:,0.0,xydazb 情形9同号 且方程化为:直线 轴.221222:,0.:0.xydab 情形10异号 且可化,相交平面为1222222222:,0.1 1.dxyxyabab 双曲情形11异号 且可化为的标准方程:柱或者面222123142434440 (1)xyza xa ya za2212340axyaz当时,经平移方程(1)可化为:1222:,.,(,)22xyzp qpq 情形12同号 方程可化为的标准方程:椭圆抛物 面 同号.1222:,.,(,)22xyzp qpq 情形13异号 方程可化为的标准方程:双曲抛物面 同号.222123142434440 (1

20、)xyza xa ya za123,0,0,0.1234、中有两个等于零.不妨设21142434440)(1xa xa ya za方程为:221:dxa情形14与 同号.方程可化平为,行平面.1:d情形15与 异号.没有实点满足方程,虚平行平面.:0dyoz情形16.方程表示两个重合平面,新坐标系的平面.22434:0,02,aaxpy情形17.抛方程可化为物柱面.321244 0 axda时.22434 0,02,aaxpz情形18:.抛方程可化为物柱面.224341 0,00aaxpyqz情形19:.方程可化为:.222123142434440 (1)xyza xa ya za2434,.

21、aa 不全为零时22.xpy再经一个正交变换,方程可化为:抛物柱面.8.5 定理三维几何空间中任一二次曲面方程经正交变换和 平移变换可化成下列十七种二次曲面方程之一:2222221.1;xyzabc椭球面2222222.1;xyzabc 虚椭球面2222223.0;xyzabc退化的椭球面2222224.1;xyzabc单叶双曲面2222225.0;xyzabc二次锥面2222226.1;xyzabc双叶双曲面22227.1;xyab椭圆柱面22228.1;xyab 虚椭圆柱面22229.0;xyab直线222210.0;xyab相交平面222211.1;xyab双曲柱面2212.,(,);2

22、2xyzp qpq椭圆抛物面同号2213.,(,);22xyzp qpq双曲抛物面同号2214.,(0);xaa平行平面 2215.,(0);xaa 虚平行平面 216.0;x 重合平面 217.2,(0);xpyp抛物柱面 22221.1;xyab椭圆柱面22222.1;xyab双曲柱面 除去点、线、面及虚图形外，在三维几何空间中，二次曲面就是我们曾经研究过的九种二次曲面：2222224.1;xyzabc椭球面23.2,(0);xpyp抛物柱面 2222225.1;xyzabc单叶双曲面2222226.1;xyzabc双叶双曲面227.,22 (,);xyzpqp q椭圆抛物面同号228.,

23、(,);22xyzp qpq双曲抛物面（马鞍面）同号2222229.0;xyzabc二次锥面222123123121323(,)553266f xxxxxxx xx xx x例问123(,)1f x x x 表示何种曲面.513153333A 解：(4)(9)EA 特征值0,4,9.1,23(,)1f x x x在正交变换下化为2221230491yyy椭圆柱面222(,)626484820f x y zxyzxzxyz方程例：表示何种二次曲面解：记6028020,42068Av 123(2)(4)(8)842EA 特征值，分别求A的属于，的特征向量，将其标准正交化，得A的标准正交的特征向量123220220,0,102222PPP 12322022(,)00122022PP P P令xxyP yzz在正交变换下，原方程化为2228 4 2 8 2 4 20 xyzyz配方得2228 4(2)2(1)4xyz作平移变换2 1xxyyzz得2228424xyz即22211122xyz单叶双曲面