2021-2022学年北京市海淀区九年级上学期期末数学试卷(word版含答案解析).docx

1、2021-2022学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1. 在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是A. B. C. D. 2. 下列各曲线是在平面直角坐标系中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标为A. B. C. D. 4. 在中，点为中点以点为圆心，长为半径作，则与的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定5. 小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度，设计出一个外轮廓为正六边形的图案如图，则可以为A. B. C. D. 6. 把长为的绳子分成两段，使较长一段的长

2、的平方等于较短一段的长与原绳长的积设较长一段的长为，依题意，可列方程为A. B. C. D. 7. 如图，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是A. ，都不在B. 只有C. 只有，D. ，8. 做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：抛掷次数“正面向上”的次数“正面向上”的频率下面有个推断：当抛掷次数是时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是；若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为时，出现“正面向上”的次数不一定是次

3、其中所有合理推断的序号是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 已知是的函数，且当时，随的增大而减小则这个函数的表达式可以是_ 写出一个符合题意的答案即可10. 在一个不透明袋子中有个红球和个黑球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取出个球，则取出红球的概率是_11. 若点，在二次函数的图象上，则，的大小关系为：_填“”，“”或“”12. 如图，在平面直角坐标系中，点，点将线段绕点旋转得到线段，则点的坐标为_13. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为_14. 如图，分别切于点，是优弧上一点，若，则的度数是_15. 小明烘焙了几款不同口味的饼干，分

4、别装在同款的圆柱形盒子中，为区别口味，他打算制作“饼干”字样的矩形标签粘贴在盒子侧面为了获得较好的视觉效果，粘贴后标签上边缘所在弧所对的圆心角为如图已知该款圆柱形盒子底面半径为，则标签长度应为_取16. 给定二元数对，其中或，或三种转换器，对的转换规则如下：规则转换器当输入时，输出结果为；其余输出结果均为转换器当输入时，输出结果为；其余输出结果均为转换器当输入时，输出结果为；其余输出结果均为在组合使用转换器时，可以重复使用在图所示的“”组合转换器中，若输入，则输出结果为_；在图所示的“”组合转换器中，若当输入和时，输出结果均为，则该组合转换器为“_”写出一种组合即可三、解答题（本大题共12小题

5、，共68.0分）17. 解方程：18. 已知是方程的一个根，求代数式的值19. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点求该抛物线的表达式；将该抛物线向上平移_个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点20. 如图，在中，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，依题意补全图形；若，求线段的长21. “化圆为方”是古希腊尺规作图难题之一即：求作一个方形，使其面积等于给定圆的面积这个问题困扰了人类上千年，直到世纪，该问题被证明仅用直尺和圆规是无法完成的，如果借用一个圆形纸片，我们就可以化圆为方，方法如下：已知：纸片，其半径为求作：一个正方形，使其面积等于的面积作法：如图，取的直径，作射线，过点作的垂线；如图，以

6、点为圆心，长为半径画弧交直线于点；将纸片沿着直线向右无滑动地滚动半周，使点，分别落在对应的，处；取的中点，以点为圆心，长为半径画半圆，交射线于点；以为边作正方形正方形即为所求根据上述作图步骤，完成下列填空：由可知，直线为的切线，其依据是_由可知，则_，_用含的代数式表示连接，在中，根据，可计算得_用含的代数式表示由此可得22. 已知关于的一元二次方程求证：该方程总有两个实数根；若，且该方程的两个实数根的差为，求的值23. 如图，内接于，高经过圆心求证：；若，的半径为，求的面积24. 邮票素有“国家名片”之称，方寸之间，包罗万象为宣传北京年冬奥会，中国邮政发行了若干套冬奥会纪念邮票，其中有一套展

7、现雪上运动的邮票，如图所示：某班级举行冬奥会有奖问答活动，答对的同学可以随机抽取邮票作为奖品在抢答环节中，若答对一题，可从枚邮票中任意抽取枚作为奖品，则恰好抽到“冬季两项”的概率是_；在抢答环节中，若答对两题，可从枚邮票中任意抽取枚作为奖品，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率25. 如图，为的直径，弦于，连接，过作，交于点，连接，过作，交的延长线于点求证：是的切线；若，求的长26. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上求该抛物线的对称轴；已知，当时，的取值范围是求，的值；在的条件下，是否存在实数，使得当时，的取值范围是若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由2

8、7. 如图，在中，延长，并将射线绕点逆时针旋转得到射线，为射线上一动点，点在线段的延长线上，且，连接，过点作于依题意补全图，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；取的中点，连接，添加一个条件：的长为_，使得成立，并证明28. 在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为对点及图形给出如下定义：点为图形上任意一点，若，两点间的距离有最大值，且最大值恰好为则称点为图形的“倍点”如图，图形是半径为的图形上任意两点间的距离的最大值为_；在点，中，的“倍点”是_；如图，图形是中心在原点的正方形，点若点是正方形的“倍点”，求的值；图形是长为的线段，为的中点，若在半径为的上存在线段

9、的“倍点”，直接写出所有满足条件的点组成的图形的面积答案和解析1.【答案】【解析】解：、直线不经过点，故不符合题意；B、抛物线经过点，故符合题意；C、抛物线不经过点，故不符合题意；D、双曲线不经过点，故不符合题意；故选：根据反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征判断即可本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征，熟练掌握各函数图象上点的坐标特征是解题的关键2.【答案】【解析】解：选项A、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的

10、一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，故选：根据中心对称图形的概念求解在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形这个旋转点，就叫做中心对称点此题主要考查了中心对称图形的概念中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合3.【答案】【解析】解：抛物线是以抛物线的顶点式给出的，其顶点坐标为：故选：抛物线的顶点式为：，其顶点坐标是，可以确定抛物线的顶点坐标本题考查的是抛物线的性质，根据抛物线的顶点式确定抛物线的顶点坐标4.【答案】【解析】解：连接，点为中点，以点为圆心，长为半径作，点到的距离等于的半径，与

11、的位置关系是相切，故选：连接，根据等腰三角形的性质得到，于是得到点到的距离等于的半径，根据切线的判定定理即可得到结论本题考查了直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键5.【答案】【解析】解：如图，当经过一次旋转后点旋转至点的位置上， 此时，故选：根据旋转的定义确定两个对应点的位置，求得其与点连线的夹角即可求得旋转角本题考查了利用旋转设计图案，解题的关键是能够找到一对对应点确定旋转角，从而确定旋转角的度数，难度不大6.【答案】【解析】解：较长一段的长为，较短一段的长为依题意得：故选：由较长一段的长为可得出较短一段的长为，根据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳

12、长的积，即可得出关于的一元二次方程，此题得解本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键7.【答案】【解析】解：，是直角三角形，点是斜边的中点，点、都在圆内，这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是，故选：根据勾股定理的逆定理证得是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得的长，然后与比较大小，即可解答本题本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到点的距离8.【答案】【解析】解：当抛掷次数是时，“正面向上”的频率是，但“正面向上”的概率不一定是，本小题推断不合理；随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出

13、一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，本小题推断合理；若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为时，出现“正面向上”的次数不一定是次，本小题推断合理；故选：根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率9.【答案】，答案不唯一【解析】解：只要使反比例系数大于即可如，答案不唯一故答案为：，答案不唯一反比例函数的图象在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大，则反比例函数的反比例系数；反之，只要，则反比

14、例函数在每个象限内，函数值随自变量的增大而增大本题主要考查了反比例函数的性质：时，函数图象在第一，三象限在每个象限内随的增大而减小；时，函数图象在第二，四象限在每个象限内随的增大而增大10.【答案】【解析】解：在一个不透明袋子中有个红球和个黑球，共个球，取出红球的概率是故答案为：根据概率的求法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率11.【答案】【解析】解：由可得抛物线开口向上，对称轴为轴，故答案为：由抛物线开口向上可得距离对称轴越远的点值越大，从而求解本题考

15、查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握比较函数值大小的方法12.【答案】【解析】解：设线段绕点旋转得到线段，点，点，设利用中点坐标公式构建方程组求解即可本题考查坐标与图形变化旋转，中点坐标公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题即可13.【答案】【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，即，故答案为：利用根的判别式进行计算，令即可得到关于的不等式，解答即可本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根14.【答案】【解析】解：连接、， ，分别切于点，故答案为：连接、，根据切线的性质得到，根据四

16、边形内角和等于求出，根据圆周角定理计算即可本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键15.【答案】【解析】解：标签长度，故答案为：利用弧长公式求解即可本题考查弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式16.【答案】 【解析】解：在图所示的“”组合转换器中，若输入，则输出结果为；故答案为：；若当输入和时，输出结果均为，则该组合转换器为“”写出一种组合即可故答案为：，根据题中的转换规则计算即可得到结果；根据输入的二元数，由确定出第一个数，由确定出第二个数，再由确定出结果即可此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，弄清转换器中的规则是解本题的关键17.【答案】解：

17、 ，或，【解析】把方程左边分解得到，则原方程可化为或，然后解两个一次方程即可本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想18.【答案】解：是方程的一个根，【解析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的

18、解也称为一元二次方程的根19.【答案】【解析】解：把点代入中，得：，解得，；由知抛物线的顶点坐标为，把该抛物线向上平移个单位后，与轴的交点个数位，故答案为：把点代入抛物线的解析式即可得出答案；求出抛物线的顶点坐标，根据纵坐标即可得出答案本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要或用待定系数法求函数的解析式20.【答案】解：如图，即为补全的图形； 在中，由旋转可知：，【解析】根据题意，利用旋转的性质即可补全图形；根据含度角的直角三角形和旋转的性质可得，再利用勾股定理即可解决问题本题考查了作图旋转变换，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质是解决本题的关键21.【答案】经过半径的外端并

19、且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】解：于点，为的半径，直线为的切线经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线故答案为：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，纸片沿着直线向右无滑动地滚动半周，使点，分别落在对应的，处，为的中点，故答案为：；连接，如图， 则在中， 故答案为：利用已知条件结合切线的判定定理解答即可；利用中点的定义和线段和差的意义解答即可；利用勾股定理将中的数据代入即可得出结论本题主要考查了圆的切线的判定，圆的周长与面积，正方形的面积，勾股定理，本题是操作型题目，根据题干中的作图步骤转化成几何语言是解题的关键22.【答案】

20、证明：，原方程有两个相等的实数根或两个不等的实数根，即该方程总有两个实数根；设方程的较大的实数根为，较小的实数根为，依题意得：，整理得：，解得：或，【解析】利用根的判别式进行求解即可；设方程的较大的实数根为，较小的实数根为，则有，从而可进行求解本题主要考查根与系数的关系，解答的关键是对根与系数的关系的掌握并灵活运用23.【答案】证明：， ；解：连接，在中，【解析】根据垂径定理得到，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键24.【答

21、案】【解析】解：恰好抽到“冬季两项”的概率是，故答案为：；“越野滑雪”、“高山滑雪”、“冬季两项”、“自由式滑雪”分别记为甲、乙、丙、丁，画树状图如下： 共有种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有种结果，恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的概率为：直接由概率公式求解即可；画树状图，共有种等可能结果，其中恰好抽到“高山滑雪”和“自由式滑雪”的有种结果，再由概率公式求解即可此题考查的是用树状图法求概率树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比25.【答案】证明：，在上，四边形中，半径是的切线解：连接，

22、 ，是的直径直径于，是的中位线，是等边三角形，为的中点，四边形是矩形【解析】由题意根据切线的判定证明半径，即可证明是的切线；根据题意连接，根据圆周角定理和中位线性质得出，进而依据等边三角形和四边形是矩形，由矩形的性质可得出的长本题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、矩形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题26.【答案】解：抛物线，时，抛物线过点，抛物线过点，该抛物线的对称轴为直线抛物线的对称轴为直线，即，抛物线开口向上，当时，函数值在上取得最小值即联立，解得，抛物线的表达式为，即，当时，随的增大而减小，当时取得最大值，

23、当时，随的增大而增大，当时取得最大值，对称轴为，与时的函数值相等，当时的函数值大于当时的函数值，即时的函数值当时，函数值在上取得最大值代入有，舍去负解，得存在，当时，的取值范围是，无法取到最大值与最小值，关于的取值范围一定不包含对称轴，当时，在对称轴的左侧，二次函数开口向上，时，有最大值，时，有最小值，由题意可知：，解得：，故，当时，在对称轴的右侧，二次函数开口向上，时，有最小值，时，有最大值，由题意可知：，此时无解，故不符合题意，【解析】利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的倍，即可求出该抛物线的对称轴分别讨论的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下取最大值与最小值时，

24、对应的的取值，进而求出，的值由于的取值范围是，取不到最大值和最小值，故不包含对称轴，分别讨论在对称轴的左右两侧即可本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键27.【答案】【解析】解：图形如图所示，结论： 理由：连接，当时，成立理由：过点作于点，交的延长线于点则四边形是正方形，根据要求作出图形即可结论：证明，推出，可得结论；当时，成立过点作于点，交的延长线于点则四边形是正方形分别求出，即可判断本题考查作图旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考

25、题型28.【答案】 【解析】解：图形是半径为的，图形上任意两点间的距离的最大值为故答案为：；如图，连接并延长交于点，不是的“倍点”；到上各点连线中最大距离为，不是的“倍点”；到上各点连线中最大距离为，是的“倍点”故答案为：如图，在正方形中，正方形上任意两点之间距离的最大距离，由图可知当点在如图所示的位置时，是正方形的“倍点“，的值为：或上，当线段在外部时，大的半径为，同理，小的半径为，点所构成的图形是圆环，它的面积故答案为：根据定义解答可；分别找出、的最大值，再根据定义判断即可；正方形上的任意两点间的距离最大值为，若点是正方形的“倍点”，则点到上点的最大距离好为结合图形即可求解；分线段在内部和在外两种情况讨论即可求解此题考查考查了圆的性质和新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题第29页，共29页