无穷级数习题课一课件.pptx

1、第十一章第十一章 无穷级数习题课无穷级数习题课(一一)常数项级数常数项级数 解题方法流程图解题方法流程图 Yes判断判断 的敛散性的敛散性1nna 比值法比值法根值法根值法比较法比较法 1 找正项收敛找正项收敛级数级数1nnb 找正项发散找正项发散级数级数1nnc 用其它方用其它方法证明法证明0na lim0nna No 1|nna 1limnnnaa limnnna 1 1 (1)nnnau 莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法 nnab YesNoNoNoYesNoYesNoYes 为正项级数为正项级数1nna 为任意项级数为任意项级数1nna 发散发散1nna 收敛收敛1nna 收敛收敛1nna

2、 发散发散1nna 条件收敛条件收敛1nna 绝对收敛绝对收敛1nna 为交错级数为交错级数1nna 收敛收敛1|nna 且且 lim0nnu 1,nnuu nnca 三、典型例题三、典型例题，由定义，由定义 2231223341(1)()()()3333333nnnnnS 113nn 1limlim(1)13nnnnnSS 所以原级数收敛，且和为所以原级数收敛，且和为1。【例例1】判别级数判别级数 的收敛性，并求级数的和。的收敛性，并求级数的和。1213nnn 解：解：由于由于12131133333nnnnnnnnnnna 11limlimnxnxnx 01e11lnlimlnlimxxxx

3、xxee1lim01xxeelim10nna由级数收敛的必要条件，原级数发散。由级数收敛的必要条件，原级数发散。【例例2】判别级数判别级数 的收敛性。的收敛性。111()nnnnnnn 解：解：因为因为11211()(1)nnnnnnnnnannn 而而212211lim(1)lim(1)nnnnnnn6175limlim165()1()77nnnnnnn 故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。【例例3】判别级数判别级数 的收敛性。的收敛性。1675nnnn 解法解法1：此级数为正项级数，：此级数为正项级数，675nnnna 而级数而级数 为等比级数收敛，

4、为等比级数收敛，16()7nn 解法解法2：由比值审敛法：由比值审敛法1111675limlim675nnnnnnnnnnaa 116(75)lim75nnnnn 156(1()67lim1571()7nnn 故由比值审敛法知原级数收敛。故由比值审敛法知原级数收敛。111 211limlimlim1222nnnnnnnvnnvnn 12nnn 收敛，故由比较审敛法，原级数收敛。收敛，故由比较审敛法，原级数收敛。【例例4】判别级数判别级数 的收敛性。的收敛性。21cos32nnnn 解：此级数为正项级数，解：此级数为正项级数，2cos322nnnnnna 2nnnv 令令【例例5】判别级数判别级

5、数 的收敛性。的收敛性。1!nnna nn 解：令解：令!nnna nun 111(1)!(1)limlim!nnnnnnnnanuna nun limlim11(1)nnnnnaaanen 由比值审敛法，当由比值审敛法，当 时，原级数收敛；时，原级数收敛；ae 当当 时，原级数发散。时，原级数发散。ae 111(1)nnnueun 1lim0nnnnuuu 所以，原级数发散。所以，原级数发散。当当 时，时，比值审敛法失效，注意到比值审敛法失效，注意到 ae 1lim1nnnaa nnn11limlimlim01ln(1)ln(1)nnnnunn故由根值审敛法，原级数收敛故由根值审敛法，原级数

6、收敛。【例例6】判断级数判断级数 的敛散性的敛散性.1)1ln(1nnn解：此级数为正项级数，解：此级数为正项级数，1)1ln(1nnnnu【例例7】判断级数判断级数 收敛？如果收敛，是条件收敛收敛？如果收敛，是条件收敛 还是绝对收敛？还是绝对收敛？1(1)lnnnnn 解：此级数为交错级数，因为解：此级数为交错级数，因为 ,而而 发散发散,11lnnnn 11nn 原级数非绝对收敛原级数非绝对收敛.因为因为 为交错级数为交错级数,由莱布尼玆定理由莱布尼玆定理1(1)lnnnnn 由比较审敛法知由比较审敛法知 发散发散11(1)1lnlnnnnnnnn 1()10(1)fxxx 111(1)ln(1)ln(1)nnuunnnnn 所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛。所以所以 在在 上单增，即上单增，即 单减单减，()f x(1,)1lnxx 故当故当 时，时，单减，单减，1n 1lnnn lnln1limlimlim0nxxnxnxx11limlimlnln1nnnnnnn 0()ln(0)f xxxx令令