惯性导航的概念课件.ppt

1、惯性导航原理惯性导航原理Inertial Navigation惯性导航的基本思想惯性导航的基本思想牛顿三定律是惯性导航的力学基础牛顿三定律是惯性导航的力学基础 第一定律第一定律 当物体未受外当物体未受外力力 第二定律第二定律 maF 第三定律第三定律 作用力与反作用力作用力与反作用力 任何运动体的运动状态都可以用任何运动体的运动状态都可以用加速度来表征加速度来表征 加速度、速度和航程之间的关系加速度、速度和航程之间的关系 加速度可以由加速度计测量加速度可以由加速度计测量 惯性导航：以加速度测量为惯性导航：以加速度测量为基础的导航定位方法基础的导航定位方法 22dtsddtdVatadtVV00

2、tVdtSS00 ttadttVS00200这种不依赖外界信息，只靠对这种不依赖外界信息，只靠对载体本身的惯性测量来完成导载体本身的惯性测量来完成导航任务的技术称作惯性导航航任务的技术称作惯性导航 平面上的导航平面上的导航在平面上的导航在平面上的导航 对加速度计的输出信号进行对加速度计的输出信号进行计算，就可以实时计算出载计算，就可以实时计算出载体在坐标系中的位置和瞬时体在坐标系中的位置和瞬时速度速度 平台在整个导航过程中，始平台在整个导航过程中，始终模拟平面坐标系终模拟平面坐标系 OXY在工程上通过陀螺稳定平台在工程上通过陀螺稳定平台来实现来实现地球形状地球形状地球的形状地球的形状 几乎所有

3、的导航问题都和几乎所有的导航问题都和地球发生联系。地球发生联系。地球表面形状是不规则的。地球表面形状是不规则的。大地水准面：采用海平面大地水准面：采用海平面作为基准，把作为基准，把“平静平静”的海的海平面延伸到全部陆地所形成平面延伸到全部陆地所形成的表面（重力场的等位面）。的表面（重力场的等位面）。最简单的工程近似：半径最简单的工程近似：半径为为 R 的球体的球体 进一步的精确近似：旋转进一步的精确近似：旋转椭球体（参考椭球）椭球体（参考椭球）目前各国使用的几种参考椭球目前各国使用的几种参考椭球扁率扁率=（长轴（长轴-短轴）短轴）/长轴长轴 椭球的曲率半径（和纬度有关）椭球的曲率半径（和纬度有

4、关）地球重力场特性地球重力场特性地球的重力是地心引力和地球自地球的重力是地心引力和地球自转产生的离心力的合力：转产生的离心力的合力：FjW离心力比重力小得多，离心力比重力小得多，最多有几个角分最多有几个角分 重力加速度重力加速度 g 的巴罗的巴罗氏算法（公式略）：氏算法（公式略）：考虑地球为椭球体时，考虑地球为椭球体时，g 与纬度以及高度的关与纬度以及高度的关系。系。地球垂线及纬度定义地球垂线及纬度定义 纬度纬度：地球表面某点的垂线方向和赤道：地球表面某点的垂线方向和赤道平面的夹角平面的夹角 垂线垂线：地心垂线地心垂线地球表地球表面一点和地心的连线面一点和地心的连线 测地垂线测地垂线地球椭地球

5、椭球体表面一点的法线方球体表面一点的法线方向向 重力垂线重力垂线重力方重力方向（又称天文垂线）向（又称天文垂线）对应三种垂线定义，有三种纬度定义：对应三种垂线定义，有三种纬度定义：地球的运动地球的运动对应三种垂线定义，有三种纬度对应三种垂线定义，有三种纬度定义定义 1、地心纬度、地心纬度2、测地纬度（大地纬度）、测地纬度（大地纬度）3、天文纬度、天文纬度后两者偏差角一般很小，不超后两者偏差角一般很小，不超过过 30 角秒，统称地理纬度。角秒，统称地理纬度。地球的运动地球的运动地球相对惯性空间的运动是由地球相对惯性空间的运动是由多种运动形式组成，主要有：多种运动形式组成，主要有：地球绕自转轴的逐

6、日旋转地球绕自转轴的逐日旋转（自转）（自转）相对太阳的旋转（公转）相对太阳的旋转（公转）进动和章动进动和章动极点的漂移极点的漂移随银河系的一起运动随银河系的一起运动地球相对惯性空间的旋转角地球相对惯性空间的旋转角速度与地球相对太阳的旋转速度与地球相对太阳的旋转角速度（区别）。角速度（区别）。坐标系坐标系-惯性坐标系惯性坐标系 一、惯性坐标系一、惯性坐标系 太阳中心惯性坐标系太阳中心惯性坐标系 地心惯性坐标系地心惯性坐标系 坐标系坐标系-确定载体位置的坐标系确定载体位置的坐标系确定载体相对地球位置的坐标系确定载体相对地球位置的坐标系 地理坐标系（东北天坐标系）地理坐标系（东北天坐标系）地球坐标系

7、（运动物体在该坐地球坐标系（运动物体在该坐标系中的定位标系中的定位、R）坐标系坐标系-确定载体位置的坐标确定载体位置的坐标系系大圆弧坐标系（发射点、目标点、飞行器）大圆弧坐标系（发射点、目标点、飞行器）方向余弦方向余弦 二维情形二维情形方向余弦的物理意义方向余弦的物理意义 二维平面中，同一个矢量在二维平面中，同一个矢量在两个坐标系两个坐标系OXY 和和 OXY中的投影分别为中的投影分别为 yxVyxV则则 CVV 其中其中 cossinsincosC方向余弦方向余弦 三维情形三维情形类似地，对于三维空间，仍有类似地，对于三维空间，仍有 CVV 只不过只不过 V 和和 V 都是三维矢量，或可写成

8、都是三维矢量，或可写成 zyxzyx321321321coscoscoscoscoscoscoscoscos方向余弦矩阵方向余弦矩阵 C 为正交矩阵，有时以表格形式给出为正交矩阵，有时以表格形式给出 321321321coscoscoscoscoscoscoscoscoszyxzyx矩阵法推导方向余弦矩阵法推导方向余弦 转动描述转动描述用矩阵法推导方向余弦表用矩阵法推导方向余弦表 设设 OEN 为定坐标系，为定坐标系，OX0Y0Z0 为动坐标系为动坐标系起始时刻二者重合起始时刻二者重合经绕相应轴三次旋转后，动经绕相应轴三次旋转后，动坐标系达到新位置坐标系达到新位置 OXYZ称三次转动角度称三次

9、转动角度、为欧拉角。为欧拉角。求取求取 OEN 和和 OXYZ 之之间的方向余弦矩阵。间的方向余弦矩阵。矩阵法推导方向余弦矩阵法推导方向余弦 转动转动1 1一、一、OX0Y0Z0 绕绕 轴转过轴转过 角。相应角。相应的方向余弦矩阵记的方向余弦矩阵记为为 C NEZYX1000cossin0sincos111矩阵法推导方向余弦矩阵法推导方向余弦 转动转动2 2二、二、OX1Y1Z1 绕绕 X1 轴转过轴转过 角。相应的角。相应的方向余弦矩阵记为方向余弦矩阵记为 C 111222cossin0sincos0001ZYXZYX矩阵法推导方向余弦矩阵法推导方向余弦 转动转动3 3三、三、OX2Y2Z2

10、 绕绕 Y2轴转过轴转过 角。相应角。相应的方向余弦矩阵记的方向余弦矩阵记为为 C 222cos0sin010sin0cosZYXZYX矩阵法推导方向余弦矩阵法推导方向余弦 合成合成综合以上结果，可得综合以上结果，可得NECNECCCZYX P12 (1-32)关于小角度近似关于小角度近似当角度当角度、非常小时，经常采用如下假设：非常小时，经常采用如下假设：1cossin0sinsin则从上述则从上述 OEN到到 OXYZ 的方向余弦矩阵的方向余弦矩阵 可近似为：可近似为：111C四元数四元数 表示表示 四元数：描述刚体角运动的数学工具四元数：描述刚体角运动的数学工具针对捷联惯性导航系统，弥补

11、欧拉参数在设计现代控制系针对捷联惯性导航系统，弥补欧拉参数在设计现代控制系统时的不足。统时的不足。四元数的表示四元数的表示由一个实单位和三个虚数单位由一个实单位和三个虚数单位 i,j,k 组成的数组成的数 kPjPiPq3211或者省略或者省略 1，写成，写成kPjPiPq321i,j,k 服从如下运算公式：服从如下运算公式：四元数四元数 组成部分组成部分i,j,k 服从如下运算公式服从如下运算公式 1kkjjiikijjiijkkjjkiik（教材有误）（教材有误）kPjPiPq321 称作标量部分，称作标量部分，kPjPiP321称作矢量部分称作矢量部分 四元数的另一种表示法四元数的另一种

12、表示法 Pq,P 泛指矢量部分泛指矢量部分提示：四元数与刚体转动的关系提示：四元数与刚体转动的关系四元数基本性质四元数基本性质 加减法加减法kPjPiPq321kjivM3211四元数加减法四元数加减法 MqkPjPiPv)()()()(332211或简单表示为或简单表示为 PvMq,四元数基本性质四元数基本性质 乘法乘法2四元数乘法四元数乘法)(321321kjivkPjPiPMq)(332211PPPviPPvP)(233211jPPvP)(311322kPPvP)(122133或简单表示为或简单表示为 PvPPvMq 关于相乘符号关于相乘符号 关于交换律和结合律关于交换律和结合律四元数基

13、本性质四元数基本性质 共轭共轭 范数范数3共轭四元数共轭四元数 仅向量部分符号相反的两个四元数仅向量部分符号相反的两个四元数),(Pq和和),(*Pq互为共轭互为共轭 可证明：可证明：*)*(qhqh4四元数的范数四元数的范数 q定义定义 2322212*PPPqqq1q则称为规范化四元数则称为规范化四元数 四元数基本性质四元数基本性质 逆逆 除法除法5逆四元数逆四元数 qq11qq*当当 1q时时*1qq6四元数的除法四元数的除法 若若 Mqh 则则 1 Mhq若若 Mhq 则则 Mhq1不能表示为不能表示为 hMq（含义不确切含义不确切）四元数表示转动四元数表示转动 约定约定一个坐标系或矢

14、量相对参考坐标系旋转，一个坐标系或矢量相对参考坐标系旋转，转角为转角为，转轴转轴 n n 相对参考坐标系各轴之间的方向余弦值为相对参考坐标系各轴之间的方向余弦值为cos、cos、cos。则表示该旋转的四元数可以写为则表示该旋转的四元数可以写为 kjiqcos2sincos2sincos2sin2cos为特征四元数为特征四元数（范数为范数为 1）四元数既表示了转轴方向，又表示了转角大小（转动四元数）四元数既表示了转轴方向，又表示了转角大小（转动四元数）四元数表示转动四元数表示转动 矢量旋转矢量旋转如果矢量如果矢量 R 相对固定坐标系旋转，旋转四元数为相对固定坐标系旋转，旋转四元数为 q，转动后，

15、转动后的矢量为的矢量为 R，则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现则这种转动关系可通过四元数旋转运算来实现1 qRqR含义：矢量含义：矢量 R 相对固定坐标系产生旋转，相对固定坐标系产生旋转，转角和转轴由转角和转轴由 q 决定决定设固定坐标系单位矢量设固定坐标系单位矢量 i,j,k，统一用符号统一用符号 Ee 表示表示 单位矢量单位矢量 Ee 经过经过 q 旋转后，得到一组新的单位矢量旋转后，得到一组新的单位矢量 Ee（以及对应的新坐标系），（以及对应的新坐标系），两个坐标系的单位坐标矢量之间存在：两个坐标系的单位坐标矢量之间存在：1qqEEee四元数表示转动四元数表示转动 坐标系旋转坐标系

16、旋转如果如果坐标系坐标系 OXYZ 发生发生 q 旋转，得到新坐标系旋转，得到新坐标系 OXYZ 一个相对原始坐标系一个相对原始坐标系 OXYZ 不发生旋转变换的矢量不发生旋转变换的矢量 V zkyjxiV矢量矢量 V 在新坐标系上在新坐标系上 OXYZ 的投影为的投影为 kzjyixV则不变矢量则不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：qVqVee1式中式中 zkyjxiVekzjyixVe分别称为矢量分别称为矢量 V 在坐标系在坐标系 OXYZ 和和 OXYZ 上的映像上的映像四元数四元数 映象图解映象图解zkyjxiV kzjyixVkz

17、jyixVezkyjxiVe四元数表示转动四元数表示转动 方向余弦方向余弦qVqVee1将该投影变换式展开，也就是把将该投影变换式展开，也就是把kzjyixVezkyjxiVekPjPiPq321kPjPiPq3211代入上述投影变换式代入上述投影变换式kzjyix)(321kPjPiP)(zkyjxi)(321kPjPiP进行四元数乘法运算，整理运算结果可得进行四元数乘法运算，整理运算结果可得四元数表示转动四元数表示转动 方向余弦方向余弦zyxCzyx其中方向余弦矩阵其中方向余弦矩阵 C222123213223113223212223212313212322212)(2)(2)(2)(2)(

18、2)(2PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP四元数表示转动四元数表示转动 旋转合成旋转合成多次旋转多次旋转的合成的合成对于一个坐标系经过多次旋转后，新坐标系和原始坐标系之间对于一个坐标系经过多次旋转后，新坐标系和原始坐标系之间的关系等效于一个一次转动的效果，的关系等效于一个一次转动的效果，相应地有合成转动四元数相应地有合成转动四元数 假定假定 q1、q2 分别是第一次转动、第二次转动的四元数分别是第一次转动、第二次转动的四元数 q 是合成转动的四元数，是合成转动的四元数，那么有如下关系成立：那么有如下关系成立：21qqq上式中上式中 q1 和和 q2 的转轴方向必须以映象的形

19、式给出。的转轴方向必须以映象的形式给出。如果如果 q1 和和 q2 的转轴方向都以原始坐标系的分量表示，则有的转轴方向都以原始坐标系的分量表示，则有 12qqq求方向余弦求方向余弦 非映象方式非映象方式1 1用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系之间的方向余弦表。用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系之间的方向余弦表。坐标系坐标系 OXYZ 相对相对OXYZ 三次旋转，以三次旋转，以欧拉角欧拉角 、的的形式给出。形式给出。第一转，绕第一转，绕 Z 轴转轴转角，瞬时转轴角，瞬时转轴 n 和和 k 轴重合，则转动四元轴重合，则转动四元数为数为 kq2sin2cos1第二转，绕第二转，绕 OX1 轴转轴

20、转角，角，瞬时转轴瞬时转轴 n 的方向表示式为的方向表示式为)sin(cosji其转动四元数为其转动四元数为 nq2sin2cos2)sin(cos2sin2cosji求方向余弦求方向余弦 非映象方式非映象方式2 2求方向余弦求方向余弦 非映象方式合成非映象方式合成由于由于 q1 和和 q2 的瞬时转轴的瞬时转轴都是以同一个坐标系的方向余弦来都是以同一个坐标系的方向余弦来表示，则合成转动四元数表示，则合成转动四元数 q 的计算采用：的计算采用：12qqqkji2sin2cos)sin(cos2sin2coskji2sin2cos2sin2sin2cos2sin2cos2cos求方向余弦求方向余

21、弦 映象方式映象方式1 1以瞬时转轴以瞬时转轴映象映象形式给出形式给出转动四元数的表达式并求转动四元数的表达式并求出合成转动四元数出合成转动四元数 第一次转时，映象形式的第一次转时，映象形式的 q1 和非映象形式的和非映象形式的 q1 是是一致的：一致的：kq2sin2cos1求方向余弦求方向余弦 映象方式映象方式2 2第二转绕第二转绕 OX1 轴转轴转 角角瞬时转轴瞬时转轴 n 是由是由 OX 经过经过第一转转换来的第一转转换来的OX 轴对应单位矢量轴对应单位矢量 i，所，所以定义以定义 n 的映象为的映象为 i则则 q2 的映象表示式为的映象表示式为 iq2sin2cos2求方向余弦求方向

22、余弦 映象方式映象方式3 3第三转，绕第三转，绕 OZ 轴转动轴转动 角角瞬时转轴瞬时转轴 n 是由是由 OZ 经经过第一转和第二转转换过第一转和第二转转换来的来的OZ 轴对应单位矢量轴对应单位矢量 k，所以定义所以定义 n 的映象为的映象为 k则则 q3 的映象表示式为的映象表示式为kq2sin2cos3求方向余弦求方向余弦 映象合成映象合成由于由于 q1、q2 和和 q3 都是映象形式都是映象形式，所以三次转动的合成转动所以三次转动的合成转动四元数四元数 q 为为321qqqqkik2sin2cos2sin2cos2sin2cosji2sin2sin2cos2sin2cos2cosk2si

23、n2cos据此可算出对应的方向余弦表据此可算出对应的方向余弦表 四元数补充四元数补充 两种转动公式两种转动公式 坐标系旋转时，不变矢量坐标系旋转时，不变矢量 V 在两个坐标系上的投影之间存在在两个坐标系上的投影之间存在如下关系：如下关系：qVqVee1在一些资料中，四元数的转动公式也经常写成如下的形式在一些资料中，四元数的转动公式也经常写成如下的形式 1qqVVEE这个公式的意义是说，在一个超复数空间中，或者在一个固这个公式的意义是说，在一个超复数空间中，或者在一个固定坐标系中，矢量定坐标系中，矢量 VE 按着四元数按着四元数 q 所表示的方向和大小转所表示的方向和大小转动了一个角度，得到一个

24、新的矢量动了一个角度，得到一个新的矢量 VE四元数补充四元数补充 计算上的优点计算上的优点四元数法能得到迅速发展，是由于飞行器控制与导航的发展，四元数法能得到迅速发展，是由于飞行器控制与导航的发展，要求更合理地描述刚体空间运动，以及便于计算机的应用。要求更合理地描述刚体空间运动，以及便于计算机的应用。采用方向余弦矩阵描述飞行器运动时，要积分矩阵微分方程式：采用方向余弦矩阵描述飞行器运动时，要积分矩阵微分方程式：CC式中式中C为动坐标系转置到定坐标系的方向余弦矩阵，为动坐标系转置到定坐标系的方向余弦矩阵，为动坐为动坐标系相对定坐标系旋转角速度标系相对定坐标系旋转角速度的反对称矩阵：的反对称矩阵：

25、000 xyxzyz包含包含 9 个一阶微个一阶微分方程式，计算分方程式，计算量比较大量比较大 四元数补充四元数补充 计算上的优点计算上的优点如果采用四元数法，则是要求解四元数方程式如果采用四元数法，则是要求解四元数方程式 qq21q 为动坐标系的转动四元数，为动坐标系的转动四元数，为动坐标系相对定坐标系为动坐标系相对定坐标系的旋转角速度，也表示为四元数的旋转角速度，也表示为四元数 kjizyx 0按四元数乘积展开按四元数乘积展开 xyzyzyyzxzyxPPPPPPPPPPPP2131323213212222只要解四个一阶微只要解四个一阶微分方程式组分方程式组即可即可本章小结及重点本章小结及

26、重点1-1 惯性导航的概念惯性导航的概念牛顿定律牛顿定律加速度、速度和航程的关系加速度、速度和航程的关系在平面上的导航在平面上的导航1-2 地球形状和重力场特性地球形状和重力场特性地球形状地球形状重力场特性重力场特性垂线及纬度定义垂线及纬度定义地球的运动地球的运动1-3 坐标系坐标系惯性坐标系、惯性坐标系、地理坐标系地理坐标系、地球坐标系地球坐标系、大圆弧坐标系、大圆弧坐标系1-4 用矩阵法推导方向余弦表用矩阵法推导方向余弦表方向余弦的物理意义方向余弦的物理意义用矩阵法推导方向余弦用矩阵法推导方向余弦小角度近似小角度近似本章小结及重点本章小结及重点1-5 用四元数表示坐标变换用四元数表示坐标变

27、换四元数四元数四元数的基本性质四元数的基本性质四元数表示转动的公式四元数表示转动的公式方向余弦表的建立方向余弦表的建立小结小结相关英文相关英文In mathematics,the quaternions were first described by Sir William Rowan Hamilton of Ireland in 1843 and applied to mechanics in three-dimensional space.At first,the quaternions were regarded as pathological,because they disobeye

28、d the commutative law ab=ba.Although they have been superseded in most applications by vectors,they still find uses in both theoretical and applied mathematics,in particular for calculations involving three-dimensional rotations.the quaternions are obtained by adding the elements i,j and k to the re

29、al numbers which satisfy i2=j2=k2=ijk=-1Addition of quaternions is accomplished by adding corresponding coefficients.相关英文相关英文Unlike real or complex numbers,multiplication of quaternions is not commutative.The non-commutativity of multiplication has some unexpected consequences,among them that polyno

30、mial equations over the quaternions can have more distinct solutions than the degree of the polynomial.The equation z2+1=0,for instance,has the infinitely-many quaternion solutions z=bi+cj+dk with b2+c2+d2=1Quaternion reciprocal:The inverse of a quaternion is defined in a way that p-1p=1Quaternion d

31、ivision:The non-commutativity of quaternions allows for two divisions of numbers p-1q and qp-1.This means that the notation of q/p cannot be used unless p is a scalar only.相关英文相关英文Even by this time there was controversy about the use of quaternions.Some of Hamiltons supporters vociferously opposed t

32、he growing fields of vector algebra and vector calculus,maintaining that quaternions provided a superior notation.While this is debatable in three dimensions,quaternions cannot be directly applied in higher dimensions.Vector notation had nearly universally replaced quaternions in science and enginee

33、ring by the mid-20th century.Recent years,quaternions are often used in computer graphics,control theory,signal processing,attitude control,physics,and orbital mechanics.The rationale is that combining many quaternion transformations is more numerically stable than combining many matrix transformations,avoiding such phenomena as gimbal lock,which can occur when Euler angles are used.