平面点集与多元函数课件.ppt
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- 平面 多元 函数 课件
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1、1 平面点集与多元函数 多元函数是一元函数的推广,它保留着一元函数的许多性质,同时又因自变量的增多而产生了许多新的性质,读者对这些新性质尤其要加以注意.下面着重讨论二元函数,由二元函数可以方便地推广到一般的多元函数中去.一、平面点集 二、R2 上的完备性定理 三、二元函数 四、n 元函数一、平 面 点 集 平面点集的一些基本概念平面点集的一些基本概念 由于二元函数的定由于二元函数的定坐标平面上满足某种条件坐标平面上满足某种条件 P 的点的集合的点的集合,称为平称为平(,)(,).Ex yx yP满足条件满足条件对对 与平面上所有点之间建立起了一一对应与平面上所有点之间建立起了一一对应.(,)x
2、 y在平面上确立了直角坐标系之后在平面上确立了直角坐标系之后,所有有序实数所有有序实数 义域是坐标平面上的点集义域是坐标平面上的点集,因此在讨论二元函数因此在讨论二元函数之前,有必要先了解平面点集的一些基本概念之前,有必要先了解平面点集的一些基本概念.面点集面点集,记作记作例如:例如:(i)全全平平面面:2R(,)|,.(1)x yxy222(ii)(,).Cx yxyr圆:圆:(2)(iii)(,),Sx yaxb cyd矩形:矩形:(3)00(iv)(,):A xy 点点的的邻邻域域00(,)|,|()x yxxyy 与与方方形形.,.Sa bc d也常记作:也常记作:22200(,)()
3、()()x yxxyy 圆形圆形图图 16 1 CSxxyyOOabcdr(a)圆圆 C (b)矩形矩形 S AA 图图 16 2 xxyyOO(a)圆邻域圆邻域 (b)方邻域方邻域 由于点由于点 A 的任意圆邻域可以包含在点的任意圆邻域可以包含在点 A 的某一的某一方邻域之内方邻域之内(反之亦然反之亦然),因此通常用因此通常用“点点 A 的的 邻邻 用记号用记号 或或 来表示来表示.(;)U A()U A点点 A 的的空心邻域空心邻域是指是指:22200(,)0()()()x yxxyy 圆圆0000(,)|,|,(,)(,)(),x yxxyyx yxy方方或或并用记号并用记号(;()()
4、UAUA 或或 来表示来表示.域域”或或“点点 A 的邻域的邻域”泛指这两种形状的邻域泛指这两种形状的邻域,并并00(,)0|,0|.x yxxyy 注意注意:不要把上面的空心方邻域错写成不要把上面的空心方邻域错写成:(请指请指出出 点和点集之间的关系点和点集之间的关系以下三种关系之一以下三种关系之一:2RA 2RE 任意一点任意一点 与任意一个点集与任意一个点集 之间必有之间必有 E 的内点的内点;由由 E 的全体内点所构成的集合称为的全体内点所构成的集合称为 E(i)内点内点若若0,(;),U AE 使使则称点则称点 A是是 的的内部内部,记作记作 int E.错在何处错在何处?)(ii)
5、外点外点 若若0,(;),U AE 使使则称点则称点 A 是是 E 的外点的外点;由由 E 的全体外点所构成的集合称的全体外点所构成的集合称 c(;)(;)U AEU AE 且且0,(iii)界点界点 若若 恒有恒有 c2R EE(其中其中 ),则称点则称点 A 是是 E 的界点由的界点由 E.E 的全体界点所构成的集合称为的全体界点所构成的集合称为 E 的的边界边界,记作记作注注 E 的内点必定属于的内点必定属于 E;E 的外点必定不属于的外点必定不属于 E;E 的界点可能属于的界点可能属于 E,也可能不属于也可能不属于 E.并请注意并请注意:为为 E 的的外部外部.EE 2R cEE 只有
6、当只有当时时,E 的外部与的外部与 才是两才是两 个相同的集合个相同的集合.22(,)14.(4)Dx yxy图图 16 3xyO12例例1 设平面点集(见图设平面点集(见图 16 3)于于D;满足满足 的一切点也的一切点也224xy 221xy 是是 D 的内点的内点;满足满足 的一切点是的一切点是 D 的界点的界点,它们都属它们都属2214xy 满足满足 的一切点都的一切点都是是 D 的界点的界点,但它们都不属于但它们都不属于 D.点点 A 与点集与点集 E 的上述关系是按的上述关系是按“内内-外外”来区分来区分的的.此外,还可按此外,还可按“疏疏-密密”来区分,即在点来区分,即在点 A
7、的近的近旁旁是否密集着是否密集着 E 中无穷多个点而构成另一类关系中无穷多个点而构成另一类关系:(i)聚点聚点 若在点若在点 A 的任何空心邻域的任何空心邻域()UA内都内都 含有含有 E 中的点,则称点中的点,则称点 A 是点集是点集 E 的聚点的聚点注注1 聚点本身可能属于聚点本身可能属于E,也可能不属于,也可能不属于E.注注2 聚点的上述定义等同于聚点的上述定义等同于:“在点在点 A 的任何邻的任何邻域域 ()U A内都含有内都含有 E 中的无穷多个点中的无穷多个点”.注注3 E 的全体聚点所构成的集合称为的全体聚点所构成的集合称为 E 的导集的导集,记记 d();EE 或或dEE作作
8、又称又称 为为 E 的的闭包闭包,记作记作 .E例如例如,对于例对于例1 中的点集中的点集 D,它的导集与闭包同为它的导集与闭包同为d22(,)14.Dx yxyD其中满足其中满足 224xy 的那些聚点不属于的那些聚点不属于D,而其余而其余 所有聚点都属于所有聚点都属于 D.(ii)孤立点孤立点 若点若点 AE,但不是但不是 E 的聚点(即存的聚点(即存 在某在某 0,使得使得(;),UAE 则称点则称点 A 是是 E 的孤立点的孤立点.注注 孤立点必为界点孤立点必为界点;内点和不是孤立点的界点必内点和不是孤立点的界点必 为聚点为聚点;既非聚点既非聚点,又非孤立点又非孤立点,则必为外点则必为
9、外点.例例2 设点集设点集(,),.Ep qp q 为任意整数为任意整数 显然显然,E 中所有点中所有点(p,q)全为全为 E 的孤立点的孤立点;并有并有 d,int,.EEEE 一些重要的平面点集一些重要的平面点集 根据点集所属的点所具有的特殊性质根据点集所属的点所具有的特殊性质,可来定义一可来定义一 些重要的点集些重要的点集.开集开集 若点集若点集 E 所属的每一点都是所属的每一点都是 E 的内点的内点(即即 E=int E),则称则称 E 为开集为开集.闭集闭集 若点集若点集 E 的所有聚点都属于的所有聚点都属于 E(),EE 即即则称则称 E 为闭集为闭集.若点集若点集 E 没有聚点没
10、有聚点d(),E 即即这时也称这时也称 E 为闭集为闭集.例如前面列举的点集中例如前面列举的点集中,(2)式所示的式所示的 C 是开集是开集;(3)式所示的式所示的 S 是闭集是闭集;(4)式所示的式所示的 D 既非开集既非开集,又又 非闭集非闭集;而而(1)式所示的式所示的 R2 既是开集又是闭集既是开集又是闭集.在在 平面点集中平面点集中,只有只有 R2 与与 是既开又闭的是既开又闭的.开域开域 若非空开集若非空开集 E 具有连通性具有连通性,即即 E 中任意两中任意两 点之间都可用一条完全含于点之间都可用一条完全含于 E 的有限折线相连接的有限折线相连接,则称则称 E 为开域为开域.简单
11、地说简单地说,开域就是非空连通开集开域就是非空连通开集.闭域闭域 开域连同其边界所成的集合称为闭域开域连同其边界所成的集合称为闭域.区域区域 开域、闭域、开域连同其一部分界点所成开域、闭域、开域连同其一部分界点所成 的集合的集合,统称为区域统称为区域.不难证明不难证明:闭域必为闭集闭域必为闭集;而闭集不一定为闭域而闭集不一定为闭域.在前述诸例中在前述诸例中,(2)式的式的 C 是开域是开域,(3)式的式的 S 是闭是闭 域域,(1)式的式的 R2 既是开域又是闭域既是开域又是闭域,(4)式的式的 D 是区是区 域域(但既不是开域又不是闭域但既不是开域又不是闭域).又如又如 (,)|0,(5)G
12、x yxy它是它是 I、III 两象限之并集两象限之并集.虽然它是开集虽然它是开集,但因但因不具有连通性不具有连通性,所以它既不是开域所以它既不是开域,也不是区域也不是区域.0,r 有界点集有界点集 对于平面点集对于平面点集 E,若若使使 (;),EU O r 其中其中 O 是坐标原点是坐标原点(也可以是其他固定点也可以是其他固定点),则称则称 E 是有界点集是有界点集.否则就是无界点集否则就是无界点集(请具体写出定义请具体写出定义).前面前面(2),(3),(4)都是有界集都是有界集,(1)与与(5)是无界集是无界集.E 为有界点集的另一等价说法是为有界点集的另一等价说法是:存在矩形区域存在
13、矩形区域 ,.a bc dE 此外,点集的有界性还可以用点集的直径来反映此外,点集的有界性还可以用点集的直径来反映,所谓点集所谓点集 E 的的直径直径,就是就是 1212,()sup(,),PPEd EPP 其中其中(P1,P2)是是 P1(x1,y1)与与 P2(x2,y2)之间的距之间的距 离离,即即 22121212(,)()().P Pxxyy 于是于是,当且仅当当且仅当 d(E)为有限值时为有限值时,E为有界点集为有界点集.根据距离的定义根据距离的定义,不难证明如下三角形不等式不难证明如下三角形不等式:121323(,)(,)(,).P PP PPP 举例讨论上述点集的性质举例讨论上
14、述点集的性质例例3 证明证明:对任何对任何2R,S S 恒为闭集恒为闭集.证证 如图如图16 4 所示所示,设设0 xS 为为的任一聚点,欲证的任一聚点,欲证(即(即 亦为亦为S0 xS 的界的界 0 x点)点).为此为此0,由聚点定义,存在由聚点定义,存在 0(;).yUxS SS 0 x0(;)Ux (;)U y y图图 16 y0(;)(;),U yU x 再由再由为界点的定义为界点的定义,在在 的点的点.由此推知由此推知在在 内既有内既有SS(;)U y 的点的点,又有非又有非 S0 x0 xS 的任意性的任意性,为为的界点的界点,即即,这就证这就证得得 S 为闭集为闭集 注注 类似地
15、可以证明类似地可以证明:对任何点集对任何点集2dR,SS 导集导集 亦恒为闭集亦恒为闭集.(留作习题留作习题)2c2R,R.EEE例例4 4 设设 试证试证 E 为闭为闭 集的充要条件是:集的充要条件是:c,int().cEEEEE 或或SS0(;)U x 内既有内既有的点的点,又有非又有非 的点的点.所以所以,由由 dccint()EEEEEEEE 图图 16 5 证证 下面按循环流程图下面按循环流程图16 5 来分别作出证明来分别作出证明.dEEE 已知已知为闭集为闭集(即即 ),),欲证欲证E.EEE ,pE pEE为为此此或或是是的的聚聚点点 或或是是的的孤孤立立点点.dd,pEEEp
16、E若,则由得;而孤立点必属若,则由得;而孤立点必属.EEE EEE于;从而,故于;从而,故 反之显然有反之显然有 .EEE 综合起来综合起来,便证得便证得 int.EEE EEE ,cint().cEE 已知已知 欲证欲证 为此为此 c,pEpEEEpE则则而而由由故故必必为为的的 外点外点,0,(;).U pE 按按定定义义使使从从而而cccc(;),int().U pEpEEE 故故是是的的内内点点 即即 ccccint().int().EEEE有这就证得有这就证得反之显然反之显然 ccdint(),.EEEEEp 已知欲证为此已知欲证为此c(,pEpE据条件可证若不然从而由据条件可证若不
17、然从而由d,E ccint(),0,(;),pEU pE条件推知故使条件推知故使d),.pEEE 与为的聚点相矛盾故这就证得与为的聚点相矛盾故这就证得注注 此例指出了如下两个重要结论此例指出了如下两个重要结论:(i)闭集也可用闭集也可用“EEE”来定义来定义(只是使用只是使用 起来一般不如起来一般不如“dEEE ”方便方便,因为有关聚点因为有关聚点 有许多便于应用的性质有许多便于应用的性质)d.EEE (ii)闭集与开集具有对偶性质闭集与开集具有对偶性质 闭集的余集为开闭集的余集为开 集集;开集的余集为闭集开集的余集为闭集.利用此性质利用此性质,有时可以通有时可以通 过讨论过讨论 来认识来认识
18、 E.cE例例5 以下两种说法在一般情形下为什么是错的以下两种说法在一般情形下为什么是错的?(i)既然说开域是既然说开域是“非空连通开集非空连通开集”,那么闭域就是,那么闭域就是 “非空连通闭集非空连通闭集”;D(ii)要判别一个点集要判别一个点集是否是闭域是否是闭域,只要看其去除只要看其去除 边界后所得的是否为一开域边界后所得的是否为一开域,即即 DDD“若若为为开开域域,则则必必为为闭闭域域”.答答(i)例如取例如取(,)|0,Sx yxy 这是一个非空连这是一个非空连 通闭集通闭集.但因它是前面但因它是前面(5)式所示的集合式所示的集合 G 与其边与其边 SGG 界界(二坐标轴二坐标轴)
19、的并集的并集(即即),而而 G 不是不是 开域开域,故故 S 不是闭域不是闭域(不符合闭域的定义不符合闭域的定义).DEF(a)(b)(c)图图 16 6 (ii)如图如图16 6 所示所示,(a)中的点集为中的点集为 D;(b)中的点中的点 ;EDD .FEE 集为集为 (c)中的点集为中的点集为 易见易见 E 为一开域为一开域,据定义据定义 F 则为闭域;然而则为闭域;然而 ,DEEF 显然不符合它为闭域的定义显然不符合它为闭域的定义.().DDD与与不不一一定定相相同同 由此又可见到由此又可见到:二、R2上的完备性定理 平面点列的收敛性定义及柯西准则平面点列的收敛性定义及柯西准则 反映实
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