平面波的极化形式课件.ppt

1、12.1 波动方程无源区域麦克斯韦方程为可以导出波动方程：00ttEHHEHE22222200ttEEHH2 对于最简单的均匀平面波在横向平面内场量的大小和方向都是不变的。因此，对于沿z轴方向传播的均匀平面波，场矢量E和H都不是x、y的函数，则有xyzxyzE E E H H H，；，22220zt3 对于时谐电磁场，类似的可导出复波动方程同样可综合写为222200 EEHH222d0dz 42.2 无界空间的均匀平面波主要内容如下所示：理想介质中的均匀平面波导体介质中的均匀平面波沿Z轴传播沿任意方向传播52.2.1 理想介质中的均匀平面波 1、沿Z方向传播 对于正弦均匀平面波，假设其在自由空

2、间沿Z轴方向传播，且 则复波动方程为：222d0dxxE zE zz xxEEek 12jkzjkzxEzA eA e jkzxxxxmzE zE eEee6 1111xyjkzyxmyxzEzzjjzkE eEzHEeeeeE=jEH 研究其中的正向行波 将其代入麦克斯韦第二方程 ，得式中称为媒质的本征阻抗。在自由空间中可见 和 构成一组沿+z方向传播的分量波。同样，和 构成另一组也沿+z方向传播的分量波，它们是彼此独立的。k 000120377 xEz yHz yEz xHz jkzx xx xmzE zE eEee7电磁强度的的瞬时值表示式为：在固定点观察即确定Z值可定义时间周期T和频率

3、f分别为 在确定的时刻t上观察电场随空间坐标的变化，可定义波长为 即 k 即为单位距离内的全波数，故称为波数。,ReRecosj tjkzj txxxmxmEz tEz eE eeEtkz2T12fT2k2k图2.2.2 t=0时刻，的图形z2k2k8为进一步理解波数k的含义。我们定义一个波数的基本单位 ，它表示每米空间距离上的变化周期数。同样对于t=0的时刻，当取 时，在1m的空间距离中有一个变化周期，如图所示：021/mk021/mkk0cosxxmEEk z9 当取 时，则在1m的空间距离中有二个变化周期，如下图所示：02kk0cos2xxmEEk z10当取 时，则在1m的空间距离中有

4、三个变化周期，如下图所示：03kk0cos3xxmEEk z11下图绘出三个不同时刻，Ex随kz变化的图形。12从图中看出，电场矢量 随着时间的增加是沿+z 轴方向传播的，此即正向行波。在理想介质种，均匀平面波的平均功率流密度为 xxEEe 21Re211Re21Re21Re22avzzzzzzzzzzzzzEzzSEHEeEEEeEeEeEEe13在这里应用了矢量恒等式 且考虑到 以及 。引入本征阻抗 相速度 故平均功率流密度可表示为在无界的理想介质中，式中的 （或 ）表示理想介质中的总的平均能量密度。平均电能密度为 ，平均磁能密度为 二者各占一半。AB CA C BA B C 0zzEe

5、2zzEEE1pv2211122avpEEzSev212E212H214E214H142、沿任意方向传播 应该指出，并不是在任何情况下设定波的传播方向为直角坐标系的某个坐标轴方向都是方便的。譬如将要讨论的波对分界面斜入射问题，在设定分界面与某个坐标面平行后，波的传播方向就只能是任意方向。15在右图中，波沿任意方向传播，设传播方向的单位矢量为 ，则波矢量为 ，它与x、y、z轴的夹角分别为 、，则nenkkecoscoscosnxyzeeee 图2.2.6 沿任意方向传播的平面波的等相位面16式中 由于故有波矢量与位置矢量的点乘之积若为常数则确定的平面为且垂直于波矢量K coscoscosnxyz

6、x xy yz zkkkkkkkk eeeeeeexyzk xk yk zk rc k rcoscoscosxyzkkkkkk222coscoscos12222xyzkkkk17因此沿任意方向传播的均匀平面波的电场强度和磁场强度可表示为这一结果表明，电场矢量E和磁场矢量H都位于与传播方向垂直平面内，且E和H相互垂直，E、H、k三者符合右手螺旋关系。相应的平均坡印廷矢量为易见电磁能量是沿 方向传播的 0011nnjkjknnezeererE rEH reEeE 2011Re22avnESE rHrene182.2.2 导电介质中的均匀平面波 导电介质特性是电导率不等于0，则 若令 这里的 是介电

7、常数，是损耗因子，与电导率和角频率有关。则得 jjj HEEEcjjcjHE0r 19引入等效介电常数后的波动方程为其中222200cckkEEHH1/21cckjj 20导体介质中对应波动方程的解为故 称为衰减常数，称为相位常数定义穿透深度 ，表示传播距离 后，振幅衰减了 倍 cjk zk zjk zxxmxxmzEeEeeEeekkz图2.2.7 导电介质中波的传播k zecostk z1pdkpd1e21与电场E相伴的磁场H可由方程求得式中称为导电介质的本征阻抗，是一个复数，与介质参数以及频率有关。111k zjk zyxmzcck zjk zjyxmczEeezEeeeHeeEejcc

8、ejj EH22写出的瞬时值形式的电场强度和磁场强度可看出和存在一个相位差。下图绘出某时刻的图形，可以看出它们的振幅随传播距离z的增大而按指数规律衰减。,Recos,Recosj tk zxxmj tk zxmycz tz eE etk zEz tz eetk zEEeHHe图2.2.7 导电介质中波的传播23导电介质中，波的相速度为可见相速度不仅与媒质参数有关，还与频率有关。导电介质是色散媒质。导电介质中的平均功率流密度矢量为可见这是沿+z方向传播的衰减波，平均功率流密度的减小速率为2 。21112pvk 22 11ReRe221cos2k zjk zk zjk zjxmavxxmyck z

9、xmzcEzzE eeeeeEeSEHeeek241 良导体则即有本征阻抗相速穿透深度穿透深度很小，说明良导体中的电磁场实际只能存在于表面薄层内。这种现象称为趋肤效应，穿透深度又称为趋肤深度。1 1/2112ckjj 2kkf12(1)1ccfjj 2pvkf 11pdkf 252 低损耗介质即有则1 1/2112ckjjk2k1/2112cjj1pvkf12pdk26例：海水的电参数为：电导率 ，相对介电常数 ，相对磁导率 。设频率 的平面波在海水中传播，试计算：相位常数、衰减常数、相速、本征阻抗和趋肤深度。解：可见，在100KHz的频率上，海水为良导体。故相位常数4S/m81r1r100K

10、Hzf 331249 102100 1081 8.85 10 37100 1041041.26rad/mkf27衰减常数相速本征阻抗趋肤深度1.26NP/mkk352100 105 10m/s1.26pvk 0003745454522100 1041040.440.3110.311jjcjfeeej1110.794m1.26kf282.3 2.3 平面波的极化平面波的极化2.3.1 2.3.1 平面波的极化概念平面波的极化概念讨论具有如下电场矢量表示的均匀平面波 这是包含Ex和Ey两个分量、沿+z轴方向传播的均匀平面波。,coscosxxyyxxmxyymyz tEEEtkzEtkzEeeee

11、292.3.2 2.3.2 平面波的极化形式平面波的极化形式 取z=0，此时的式子变为考虑以下几种情况1线极化波若 ，式中的n=0，1，2即Ex与Ey同相，例如取 ，则有矢量的端点在如图（a）所示的一条直线上运动，是线极化波。,coscosxxmxyymyz tEtEtEee2xyn0 xy coscosxxmyymtEtEtEee30若 ，式中的n=0，1，2即Ex与Ey反相，例如取 ，则有矢量的端点在如图（b）所示的一条直线上运动，也是线极化波。结论：若两个频率相同、传播方向也相同的电场分量同相或反相，则合成电场描述一个线极化波。21xyn,0 xy coscosxxmyymtEtEt E

12、ee312圆极化波 若 ，且 ，即Ex分量的相位超前于Ey分量的相位，且振幅相等。例如取 ，则有 不难看出,Ey分量取最大值时，Ex分量为零。随着时间的增大，Ex分量逐渐增大，Ey分量则逐渐减小。的端点将由 方向朝 的负方向旋转，如下图(a)所示。易见这是一个半径为的圆方程。且表示的是一个右旋圆极化波。/2xy0 xmymEEE/2,0 xy 00sincosxytEtEt Eee tEyexe32若 ，且 ，即Ex分量的相位落后于Ey分量的相位，且振幅相等。同上分析可知此时表示的是一个左旋圆极化波。结论：若两个频率相同，传播方向也相同的电场分量的振幅相等，相位差为，则合成电场描述一个圆极化波

13、。/2xy 0 xmymEEE图2.3.2 圆极化波（在z0平面上）333.椭圆极化波 若电场矢量的两个分量的振幅和相位是任意的，则描述的是一个椭圆极化波。为 简 化 分 析，但 又 不 失 一 般 性，我 们取 ，则有 在上式中消去时间变量t，得 这是一个椭圆方程。当 时，表示一个右旋椭圆极化波，当 时，表示一个左旋椭圆极化波,/2xmymxyEE cossinxxmxyymxtEtEtEee221yxxmymEEEE/2xy/2xy 34 从上面的讨论可以看出，两个线极化波可以合成其它极化形式的波，譬如圆极化波、椭圆极化波或新的线极化波；任意一个椭圆极化波或圆极化波可以分解为两个线极化波。

14、图2.3.3 椭圆极化波35在一个固定时刻，譬如取t=0，得即：电场矢量的端点沿+z轴运动的轨迹是一个螺距为的右旋螺旋线。若是右旋圆极化波，电场矢量端点随z变化则与z轴成左旋关系。00,0cossinxyzEkzEkzEee002cos2sinxyEEzEEz图2.3.4 圆极化波在空间的分布362.3.3 Poincare极化球和Stokes参数 对于严格的单色波，它是全极化的。斯托克斯（Stokes）提出的表征一个波的振幅和极化的四个参数是：称为Stokes参数。式中的 、和 分别是场分量的振幅及其相位差。220221232cos2sinxyxyxyxySEESEESEESEExEyE37

15、 参数S0和S1直接给出振幅，和 可以由S0和S1求得，相位差可由S2或S3确定。另外，还可看出 若将 看作是半径为 的球上一点的三个直角坐标分量，和 分别是该点的俯仰角和方位角，则所有的极化状态都可用一种简单的几何关系表示出来。每种极化状态都对应着球上的一个点，反之球上每一个点也对应着一种极化状态。22220123SSSSxEyE123SSS、0S22381线极化设 都不为零，则此时 则可见，线极化波的所有点都在Poincare球的赤道上。2左旋圆极化此时 ，。则有：可见，表示左旋圆极化波的点在Poincare球的北极点3右旋圆极化同理可判断右旋圆极化波的点在Poincare球的南极点。xy

16、EE、0,3sin0 xySEExyEE222222012232;02cos0;2sin2xyxxyxyxyxSEEESEESEESEEE图2.3.6 Poincare球394左旋椭圆极化 此时 ，据 知 。可见，表示左旋椭圆极的点都在Poincare球的上半球面。5右旋椭圆极化 此时 ，故有 。可见，表示右旋椭圆极的点都在Poincare球的下半球面。032sinxySEE30S 230S 402.4 平面波对不同媒质分界面的垂直入射 电磁波从一种媒质中传播到与另一种媒质的分界面时，由于分界面两侧媒质的本征阻抗不同，故要发生波的反射和透射现象。入射波的一部分在分界面处被反射，形成反射波；另一

17、部分将透过分界面在另一种媒质中继续传播，形成透射波。本着从简单到复杂的认识规律，我们先讨论垂直入射，随后再讨论斜入射。41 单一频率的均匀平面波从半无界的媒质1中垂直入射到与媒质2的分界面上，设分界面为无限大平面z=0。媒质1（的区域）的电参数为 ，媒质2（的区域）的电参数为 。为简化讨论，设入射波为x方向的线极化波。图2.4.1描绘出入射波、反射波和透射波的正方向，入射波和透射波沿+z方向传播，反射波沿-z方向传播。0z111,0z222,2.4 平面波对不同媒质分界面的垂直入射42EiHiSiErHrSrHtEtStzyxo媒质1媒质2图2.4.1 平面波垂直入射到z=0的平面43 式中的

18、 是媒质1中的相位常数，是媒质1的本征阻抗。媒质2是理想导体，其本征阻抗 。当入射波达到其表面时将被全部反射，形成沿-z 方方向传播的反射波。其电场强度和磁场强度分别为 （2.4.3）（2.4.4）111k 11120 1jk zrxrmzE eEe 11jk zrmryEzeHe44 212212221Re221Re221Re22imiaviizimravrrzimtavttzEzzEzzEzz SEHeSEHeSEHe考虑功率密度有则有验证了电磁能量守恒定律222212222212121221212221122imimravtavimimiavEEEESSS45媒质1中同时存在入射波和反射

19、波，二者叠加构成媒质1中的合成波，其总电场为根据理想导体的边界条件，在z=0处应有 即 （2.4.5）因此，媒质1中的总电场为 111irjkzjkzximxrmzzzE eE eEEEee 100irEEErmimEE 46 （2.4.6）媒质1中的总磁场为 (2.4.7)由式（2.4.7）看出，在z=0处，媒质1中的合成磁场为 ，而媒质2中 ，即分界面上磁场强度的切向分量不连续，因此分界面上存在表面电流，有 11112sinjk zjk zximximzEeej Ek z Eee 11111112cosirjk zjk zimrmimyyyzzzEEEeek zHHHeee1120imEH

20、20H47 （2.4.8）为便于讨论媒质1中合成波的时空特性，写出总电场和总磁场的瞬时值表示式 11011022cosimimSzyxzzEEzk z JnHeee 11/2112.4.9,ReRe2sin2sinsinjtjjtximximz tz eEk zeeEk ztEEee1111112.4.1 0,R e2R eco s2co sco sjtjtimyimyz tzeEk zeEk ztHHee48 图2.4.2是根据式（2.4.9）和式（2.4.10）绘出的和的图形，从图形可看出此时已不存在波的移动，而只是在原处随时间的变化而上下111111,0,1,22,210,1,24,z

21、tznnz tz tznnz t 的零值出现在处的最大值的最大值出现在处的零值,EHEH49 振动。从图中还看到驻波电场和驻波磁场的时间相位、空间相位都相差，即在时间上两者有的相差 ，在空间位置上错开 。214ozxExzyHyo图2.4.2 对理想导体垂直入射时，合成波电场、磁场的时空关系50媒质1中的合成波的平均坡印廷矢量为 结果说明在驻波状态下没有电磁能量的流动。事实上，在 处，瞬时坡印廷矢量始终 为零，因此电磁能量仅在 范围内流动，在电场与磁场之间不断进行能量交换。例2.4.1 有一右旋圆极化波从空气中垂直 11121112.4.111Re241Resincos02avimzzzEjk

22、 zk zSEHe1214zn 1451入射到位于z=0处的理想导体板上，已知电场强度的表示式为 式中的（1）判定反射波的极化形式；（2）求理想导体板上的面电流密度。解：（1）设反射波电场的表示式为 0jk ziimxyzEj eEee000k 例2.4.1 有一右旋圆极化波从空气中垂直52利用理想导体表面切向电场为零的边界条件，得 和 故 反射波的电场则为 可见，反射波是沿-z轴方向传播的左旋圆极化波。这种入射波经反射后由右旋变为 0jk zrxrxmyrymzEjEeEee0imrxmEE0imrymEE,rxmimrymimEEEE 0jk zrimxyzEj e Eee53左旋的现象称

23、为极化反转，有重要应用价值。（2）入射波的磁场为 反射波的磁场为 000001jk zimizizxyjk zimxyEHzzj eEjeeEeeeee 000001jk zimrzrzxyjk zimxyEzzj eEje HeEeeeee54于是得空气中的合成波磁场 理想导体板上面电流密度为2.4.2 2.4.2 对理想介质的垂直入射对理想介质的垂直入射 图2.4.1中的媒质1和媒质2都是理想介质，00000irjk zjk zimimxyxyzzzEEjejeHHHeeee 000002imSzxyzzEzzj JnHeHee55它们的电参数分别为 和相位常数分别为 和 本征阻抗分别为

24、和 当入射波投射到分界面上时，由于阻抗不连续将发生反射和透射。用场量匹配法来求解这一类问题。设入射波的电场、磁场表示式分别为 （2.4.12）（2.4.13）111,0 222,0 11 1k 222k 111222 1jk ziximzEeEe 11jk zimiyEzeHe56反射波的电场、磁场表示式分别为 （2.4.14）（2.4.15）而透射波的电场、磁场表示式分别为 （2.4.16）（2.4.17）在媒质1中，存在入射波和反射波，合成波的电场、磁场为 （2.4.18）11111111jk zjk zirximrmjk zjk zimrmiryzzzE eE eEEzzzeeEEEeH

25、HHe 1jk zrxrmzE eEe 11jk zrmryEzeHe 2jk ztxtmzE eEe 22jk ztmtyEzeHe57在媒质2中，只有透射波，故 （2.4.19）利用理想介质分界面上电场强度和磁场强度的切向分量连续的边界条件，由式（2.4.18）和（2.4.19）得 （2.4.20）把入射波的电场振幅Eim 作为已知量，由 22222jk ztxtmjk ztmtyzEeEzzeEEeHHe 112112000imrmimrmtmEEEEEEHH58式（2.4.20）求得 （2.4.21）（2.4.22）把反射波的电场振幅与入射波的电场振幅之比，定义为反射系数，表示为 （2

26、.4.23）把透射波的电场振幅与入射波的电场振幅之比，定义为透射系数，表示为 （2.4.24）2121rmimEE2212tmimEE2121rmimEE 2212tmimEE59这样，媒质1中的合成波电场强度可表示为而媒质2中的透射波电场强度表示为 （2.4.26）式（2.4.25）表明媒质1中的合成波电场包括两部分：含有因子 的项是行波分量，它是振幅为 、沿+z轴方向传播的波；另一项是振幅为 的驻波分量。我们称这类波为行驻波（或混合波）。它的电场最大值 111111112.4.25112 sinjk zjk zirximjk zjk zjk zximjk zximzzzEeeEeeeEej

27、k zEEEeee 22jk zximzE eEe1jk ze2imE1imE 60和最小值分布在空间的固定位置上，即也有固定的波腹点和波节点，因为还存在行波分量，故波节点场量不再为零。式（2.4.26）表面透射波是单向行波。在讨论行驻波时常引入驻波系数，其定义是 （2.4.27）最后再看看发生反射和透射现象时的电磁功率关系。先写出入射波、反射波和透射波的平均功率流密度 maxmin11ESE 112111Re21Re22iaviijk zjk zimimximyzzzEEE eeSEHeee61于是这一结果表明，反射功率与透射功率之和，等于入射功率。这是电磁能量守恒定律的必然结果。62例2.

28、4.2 已知媒质1为空气 ，媒质2为非磁性理想介质 ；入射波从空气中垂直入射到非磁性理想介质表面。设入射波的频率为1GHz，入射波的电场振幅为10V/m。（1）计算反射系数和透射系数；（2）分别写出媒质1、2中的电场和磁场表示式；（3）求入射波、反射波和透射波的平均功率流密度。10101,0 202022.1,0 63解：（1）故反射系数为 透射系数为（2）设入射波沿+z方向传播，入射波的电场沿x轴取向，则入射波的电场和磁场01110022203 7 72 6 0.22.12121260.23770.183260.2377 22122 260.20.817260.237764表示式分别为式中

29、反射波的电场和磁场表示式分别为 1110V/m10A/m377jk zixjk ziyzezeEeHe911 10021020.94 rad/mk 20.9420.9420.94120.941.83V/m0.0049A/mjzrximjzjzimryjzyzEeeEzee EeHee65媒质1中合成波电场表示式为 磁场为 媒质2中只有透射波，故 120.9420.94101.83V/mirjzjzxxzzzeeEEEee 120.9420.940.02650.0049A/mirjzjzyyzzzeeHHHee 22222228.17V/m0.0314A/mjk zjk zximxjk zjk

30、zimyyzE eeEzeeEeeHee66式中（3）922 20 02102.130.34 rad/mk 2221100.133W/m22 377imiavzzzESeee2222210.183100.005 W/m22 377imravzzzESeee2222220.817100.128W/m22 260.2imtavzzzESeee672.4.3 2.4.3 对导电介质的垂直入射对导电介质的垂直入射图2.4.1中的媒质1和媒质2都是导电介质，其电参数分别为 和 。引入复介电常数 故传播常数为 111,222,1111122222ccjjjj1111122222cccckkjkkkjk 6

31、8本征阻抗为 先写出入射波、反射波和透射波的场量表示式，再利用边界条件求出反射波、透射波与入射波的关系。按图2.4.1的设定方向，入射波场量表示式为 1211112222jcccjcccee69 （2.4.28）反射波 （2.4.29）透射波 （2.4.30）媒质1中的合成波的电场、磁场则分别为 （2.4.31）111ccjkziximjkzimiyczEeEzeEeHe 111ccjk zrximjk zimryczE eEze EeHe 222ccjkztximjkzimtyczE eEzeEeHe 1111111ccccjk zjk zirximjk zjk zimiryczzzEeeE

32、H zH zH zeeEEEee70利用分界面（z=0处）上电场、磁场的切向分量连续的边界条件，由式（2.4.30）和（2.4.31）得 （2.4.32）由式（2.4.32）求得 （2.4.33）（2.4.34）与式（2.4.23）、（2.4.24）比较，可见12111cc 2121cccc 2212ccc71形式完全相同，区别在于这里的本征阻抗是复数，因而反射系数和透射系数也是复数。这说明入射波在分界面上产生反射和透射后，反射、透射波的大小和相位都要发生变化。72例2.4.3 入射波的电场强度表示为当其从空气中垂直入射到位于z=0处的导电介质（参数为 ）的表面时，（1）求反射系数，并写出反射

33、波的电场、磁场表示式；（2）求透射系数，并写出透射波的电场、磁场表示式；（3）透射波传播多少距离就可认为已衰减完了？解：由题设条件计算出媒质的相关参数媒质1：空气32020218,0.6 10 S/m 5311 1000111023 106.283 10rad/m377k 51,10cos 23 10V/mixz ttk z Ee73媒质2：导电介质 既 而1/222222221/235005010.6 1023 101810.0340.02123 1018cckjjj 220.034rad/m0.021N p/mkk012222222222231.7159.4350.5631.23ccjjj

34、ej74（1）反射系数 故反射波的电场为 或0170.36212150.5631.23 3770.76550.5631.23 377jccccjej 10330170.366.383 106.283 10170.360.765107.65V/mjk zrximjjzxjzxzE eeeeEeee 530,Re7.65cos 23 106.283 10170.36V/mj trrxz tz ez EEe75反射波的磁场为 或（2）透射系数 13016.283 10170.36320.3 10A/mjk zimryjzyEzee Hee 3530,Re20.3 10 cos 23 106.283

35、10170.36A/mj trryz tz ez HHe027.522212 50.5631.2320.27750.5631.23377jcccjej76此时，透射波的电场为或 透射波的磁场为 2000.0340.02127.520.0210.03427.520.277102.77V/mcjkztximjjzjxzjzjxzE eeeeeeEeee 0.02150,Re2.77cos 23 100.03427.52V/mj tttzxz tz eez EEe 200020.0210.03427.5231.730.0210.0344.1812.7759.4346.610A/mcjkzimtycz

36、jzjyjzjzjyEzeeeeeeeeHeee77或（3）媒质2中，波的穿透深度为通常，电磁波在导电介质中传播距离为5 时，就可认为是衰减完了，故此时 即此时的电场值已降至原值的倍，即衰减约为50dB。30.02150,Re46.6 10cos 23 100.0344.18A/mj tttzyz tz eez HHe1147.62m0.021pdkpd55 47.62238.1mpzd 0.021 238.136.74 10e782.5 2.5 均匀平面波对多层媒质分均匀平面波对多层媒质分界面的垂直入射界面的垂直入射 当空间存在三种或三种以上不同媒质时，电磁波在每两种不同媒质的分界面上都将发

37、生反射和透射现象，下面以三种媒质为例，讨论均匀平面波垂直入射时的反射和透射问题。设三种媒质具有平面分界面，分别置于z=0和z=d处。假设媒质I中的入射波沿+z方向传播，电场只有x分量，磁场只有y分量，如图2.5.1所示。79均匀平面波从媒质I垂直入射时，在分界面1上发生反射和透射。一部分被反射回媒质I。另一部分透过分界面1进入媒质II，且在媒质II中继续沿+z方向传播。图2.5.1对多层媒质分界面的垂直入射媒质媒质媒质zx1280在分界面2上该透射波又将发生反射和透射，一部分被反射回媒质II，而另一部分透过分界面2进入媒质III。因而在媒质I中有入射和反射波，在媒质II中也有入射波和反射波，在

38、媒质III中只有透射波。在媒质I中：入射波 反射波 11111111jkzdiximjkzdiyimzEezEeEeHe 11111111jkz drxrmjkz dryrmzEezEe EeHe81合成波:（2.5.1）类似的，在媒质II中的合成波：（2.5.2）类似的，在媒质III中的合成波：（2.5.3）111111111111jk z djk z dximrmjk z djk z dyimrmzE eE ezE eE eEeHe 222222222221jk zjk zximrmjk zjk zyimrmzEeEezEeEeEeHe 33333331jk ztxtmjk ztytmzz

39、EezzEeEEeHHe82 在式（2.5.1）(2.5.3)中，是媒质I中入射波的振幅，假设为已知量，、和 皆为待求量。可利用分界面1和分界面2上电场切向分量连续和磁场切向分量连续的边界条件求出。在z=0处（即分界面2处），由式（2.5.2）、（2.5.3），得 1rmE2imE2rmE3imE223223232.5.4112.5.5imrmtmimrmtmEEEEEEim1E83 联解上式得出分界面2处的反射系数为 和透射系数 （2.5.6）（2.5.7）在z=-d（即处分界面1处），由式（2.5.1）、（2.5.2），得 （2.5.8）222322232rmimEE 3322322tmi

40、mEE2222112222jk djk djk djk dimrmimrmimEEE eE eEee84 将与分界平面平行的任意平面上的总的电场与总的磁场的比值定义为等效波阻抗（也称总场波阻抗），表示为 则由（2.5.8）和(2.5.9)得到分界面1处（z=-d）的等效波阻抗为 efEzHz总总111111322222232111cossin2.5.101cossinimrmefimrmimrmimrmEEHHEEk djk dk djk dEE85 又由 得到分界面1处的反射系数 （2.5.11）此式的含义是媒质II和媒质III对分界平面1处的反射系数的贡献，可用一种等效媒质来代替，该效媒质

41、的本征阻抗为 ，由式（2.5.10）确定。111111111111111111imimrmefimimrmEEEEEE111efef ef86 再由 ，得分界面1处的透射系数 （2.5.12）这样，在假定已知的情况下，就可求得各层媒质中的入射波、反射波和透射波。11 112e fe f872.6 2.6 均匀平面波对分界面的斜入射均匀平面波对分界面的斜入射88 先定义一个入射面：由分界平面的法线n n和入射波的波矢量构成的平面，称为入射平面，如图2.6.1中的xoz平面。n n与之间的锐角称为入射角，而n n与反射波的波矢量和透射波的波矢量之间的夹角、分别称为反射角和透射角。如图2.6.1所示

42、。入射波的电场矢量 与波矢量 垂直，但与入射平面一般情况下成任意角度。我们可以将其分解为与入射平面垂直的分量和与入射平面平行的两个分量。把电场分量与入射平面垂直的平面波，称为垂直极化波；iEik892.6.1 2.6.1 垂直极化波垂直极化波对理想介质表面对理想介质表面的斜入射的斜入射 垂直极化波以入射角斜入射到两种媒质的分界面上，如图2.6.2所示。这时 图2.6.2 垂直极化波对介质分界面的斜入射90 入射波的电场矢量与入射面垂直，即沿y方向极化，可表示为 （2.6.1）式中为入射波的波矢量 （2.6.2）故入射波电场矢量可写为 （2.6.3）入射波的磁场为 ijiyimE ek rEre

43、11111 11sincosiixixzizxizikkkkkk 而为媒质 中的波数keeeee,ixizjk xjk ziyimx zE eEe91 (2.6.4)反射波的电场为 （2.6.5）式中 为垂直极化入射时的电场反射系数，为反射波的波矢量 （2.6.6）1111,cossinixizjk xjk ziiiimxizixixzizx zx zEeHHHeEeeee rjryimE ekrErermimEE rk11111 11sincosrrxrxzrzxrzrkkkkkk 而仍为媒质 中的波数keeeee92故反射波电场矢量可写为 （2.6.7）反射波的磁场为 (2.6.8)透射波

44、的电场为 （2.6.9）式中 为垂直极化入射时的电场透射系数，为透射波的波矢量,rxrzjkxjkzryimx zE eEe1111,cossinrxrzjk x jk zrrrimxrzrxrxzrzx zx zEeHHHeEeeeetjtyimEekrEretmimEE93 （2.6.10）故透射波电场矢量可写为 （2.6.11）透射波的磁场为 (2.6.12)利用分界面上，电场切向分量连续的边界222222sincosttxtxztzxtztkkkkkk 而为媒质2中的波数keeeee,txtzjk xjk ztyimx zE eEe2211,cossintxtzjk x jk zttt

45、imxtztxtxztzx zx zEeHHHeEeeee94条件，由入射波、反射波和透射波的电场表示式，即式（2.6.3）、式（2.6.7）和式（2.6.11），当z=0时，得 （2.6.13）此式对分界面上任意的x值（包括x=0）都应满足。而对于x=0，上式变为 （2.6.14）因此，要保证式（2.6.13）对分界面上任意的x值都满足，必须 1 ixrxtxjk xjk xjk xeee 95 （2.6.15）从式表明，在分界面上，入射波、反射波和透射波的波矢量的切向分量连续，通常称为相位匹配条件。由式（2.6.2）、式（2.6.6）和式（2.6.10）可得 （2.6.16）于是由式（2.

46、6.15）中的第一个等式，得ixrxtxkkk112sinsinsinixirxrtxtkkkkkk96 （2.6.17）表明反射角等于入射角，与光学中的斯耐尔反射定律完全相同。由式（2.6.15）中的第二个等式，得 （2.6.18）这是斯耐尔折射定律。ri12sinsinitkk97即 （2.6.19）联立求解式（2.6.14）和式（2.6.19），得 （2.6.20）（2.6.21）以上两式称为垂直极化波的菲涅耳公式。根据这个公式，就可用入射场来表示反射场和透射场。1121coscoscosirt 12cos1costi2121coscoscoscosrmitimitEE 2212cosc

47、oscostmiimitEE98例2.6.1 在的半无限介质中，有一正弦均匀平面波斜入射到与空气相交的分界面上，如图2.6.3所示。已知入射波的电场为 由介质斜入射到空气。433 10V/mixizjk xjk zjxjziyimyE eeEree99（1）求入射波的波长、相速、频率和相伴的磁场；（2）求入射角、反射角和透射角；（3）求反射波的电场和磁场；（4）求透射波的平均功率密度。100解：（1）由题给的电场表示式知入射波的波矢量则 则入射波的波长为相速为频率为 3iiiiixzizxzkkkkeeeee2211,3,2ixiziixizkkkkkk223.14 m2iik80 0111.

48、5 10 m /s4iprcv861.5 1047.75 10Hz3.14ipivf101入射波的磁场为（2）由 得所以，入射角 ，反射角根据折射定律 ，得 故透射角 1143111 03A/m4 0iiiiiijxjzxzkekHreErEreesin1ixiikk11sin2iik030i030ri 12sinsinitkk090t00012004sinsinsin301tikk 102（3）据式（2.6.20）,得反射系数为由式（2.6.7）得反射波的电场为而由式（2.6.6）于是021021coscos120 cos3060 cos901coscos120 cos3060 cos90i

49、tit 43 10rxrzrxrzjk xjk zjk xjk zryimyrE eeEee0101sin2sin301cos2cos303rxrrzrkkkk43310jxjzryeEre103由式（2.6.8）得反射波的磁场为（4）据式（2.6.21）得透射系数为据式（2.6.11）得透射波的电场为 114311cossin103A/m40rxrzjk x jk zrrrimxrzrjx jzxzE ee H reE reeee2000021kf 0200212cos2 120 cos302coscos120 cos3060 cos90iit104而由式（2.6.10）于是 由式（2.6.

50、12）得透射波的磁场为 42 3 10txtztxtzjk xjk ztyimjk xjk zyE ee Eree0202sinsin901coscos900txttztrkkkk 46 10V/mjxtyeE re 22440011cossin2 3 1010cos90sin90A/m12020txtztxtzjk x jk zrttimxtztjk x jk zjxxzzE eee H reE reeeee105故透射波的平均功率密度为此结果表明，在题给条件下的透射波功率是沿分界平面传播的。441021110ReRe6 1022204.77 10W/mjxjxavttyzxeeSE rH