定积分及其应用习题课课件.ppt
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- 积分 及其 应用 习题 课件
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1、基本内容基本内容目录 下页 返回 结束 例题选讲例题选讲1一、基本内容一、基本内容()d(),baif xxf xa ba b 定定积积分分是是一一种种特特定定形形式式的的极极限限,因因此此它它是是一一个个数数,这这个个数数只只由由被被积积函函数数与与积积分分注注意意区区间间来来唯唯一一确确定定,而而与与的的分分法法无无关关,与与各各的的取取法法无无关关,与与积积分分变变量量用用什什么么字字母母表表之之点点:示示无无关关.1.定定积积分分基基本本概概念念01()dlim()nbiiaif xxfx (1)(1)分分划划,(2)(2)作作和和,(3(3要要点点:)求求极极限限首页 上页 下页 返
2、回 结束 2 (1)(),(),(2)(),()2.,f xa bf xa bf xa bf xa b若若在在上上连连续续,则则在在上上可可积积.若若在在上上有有界界可可,且且只只有有有有限限个个间间断断点点,则则在在积积的的充充分分条条件件上上可可积积.(1)()d0 (2)()d()d (3)()()d(3.)d()daabaabbbbaaaf xxf xxf xxlf xkg xxlf xxkg xx 定定积积分分的的性性质质首页 上页 下页 返回 结束 3首页 上页 下页 返回 结束(4)()d()d()d(5)d(6),()0()d0(7),()(),()d()d(8)()d|()|
3、d ()|()|(9)()()dbcbaacbababbaabbaaaf xxf xxf xxxbaa bf xf xxa bf xg xf xxg xxf xxf xxf xf xm baf xx 若若在在上上,则则若若在在上上则则由由可可积积可可积积.注注:()(),bM bamMf xa b 其其中中,分分别别是是在在上上的的最最小小值值,最最大大值值.4(10)()d()()()baf xxfbaab 积积分分中中值值定定理理首页 上页 下页 返回 结束 ()()d ()()(),d 4 ()()d()d.xaxaxf ttaxbxf xa bxf ttf xx 积积分分上上限限是是在
4、在上上的的一一个个原原函函数数,即即这这揭揭示示了了定定积积分分与与原原函函数数之之间间的的的的函函数数本本质质联联系系.5 ()d (),()d()ddd ()d()d()ddbxbxxbbxxbf ttf xa bf ttf ttf ttf ttf xxx 不不是是在在上上的的一一个个原原函函数数,事事实实上上,因因所所:以以注注()()()()dd()d()d()ddd()()()()(b xcb xa xa xcf ttf ttf ttxxf a x a xf b x b xc 推推广广:为为常常数数)首页 上页 下页 返回 结束 6 ()d()()5.()()(),)baf xxF
5、bF aFxf xf xa b 其其牛牛顿顿莱莱布布尼尼(微微积积分分基基本本公公式式中中在在茨茨公公式式上上连连续续)(),(1)(),;(2)()(),()d()()baf xa bf xa bF xf xa bf xxF bF a 若若在在上上连连续续,则则在在上上有有原原函函数数若若是是在在上上的的原原函函数数,则则要要点点:首页 上页 下页 返回 结束 (1)(),(),f xa bf xa b在在上上有有原原函函数数,不不能能推推出出在在上上可可积积.几点注记:几点注记:7221sin 0()0 0 xxF xxx 22 1,11212 sincos 0 ()()0 0 xxFxf
6、 xxxxx 在在上上处处处处有有导导数数()11 ()11 ()11 f xf xf x 即即在在,上上有有原原函函数数,但但在在,上上无无界界,故故在在,上上不不可可积积.例如例如首页 上页 下页 返回 结束 8 1,1.在在上上可可积积,()(),()d()(),(),baa bFxf xf xxF bF af xa b 综综上上所所述述,命命题题“如如果果在在上上有有则则必必有有从从而而在在上上可可积积”是是错错误误的的.(2)(),(),f xa bf xa b在在上上可可积积,不不能能推推出出在在上上一一定定有有原原函函数数.例例如如0 0()1 0 xf xx 当当当当()(),
7、0,f xF xx 假假如如有有原原函函数数则则在在时时1(),0,().F xCxF xC在在时时1,.CC 续续的的 所所以以0,()xF x 在在时时是是连连().F xC 从从而而(0)(0)1.Ff 这这与与矛矛盾盾()()0.Fxf x 故故首页 上页 下页 返回 结束 9(2)()dlim()d ()()dlim()d ()bbattabtaatbf xxf xxaf xxf xxb 无无界界函函数数的的反反常常积积分分为为瑕瑕点点为为瑕瑕点点6.反反常常积积分分00(1)()dlim()d ()dlim()d ()d()d()dtaatbbttf xxf xxf xxf xxf
8、 xxf xxf xx 无无穷穷限限的的反反常常积积分分首页 上页 下页 返回 结束 10 首先画出平面图形的大概图形,然后根据图首先画出平面图形的大概图形,然后根据图形的特点,选择相应的积分变量,确定积分区域形的特点,选择相应的积分变量,确定积分区域写出图形面积的积分表达式写出图形面积的积分表达式.7.平面图形的面积平面图形的面积首页 上页 下页 返回 结束 122121(),()()()()()d,().bayfxyfxfxfxAfxfxxa b ab 如如果果图图形形由由所所围围成成,则则所所围围面面积积为为 其其中中为为两两曲曲线线交交点点的的横横坐坐标标)(1xfy )(2xfy a
9、bxyo11(),(),如如果果图图形形由由曲曲线线及及射射线线围围成成的的曲曲边边扇扇形形 则则面面积积为为21()d2A xo()2()()()dbayf xaxbxVf xx 连连续续曲曲线线段段绕绕轴轴旋旋转转一一周周所所围围成成的的立立体体的的体体积积8.旋转体的体积旋转体的体积xyoabxyoab()yf x 首页 上页 下页 返回 结束 12(),A xxx 如如果果是是过过点点 且且垂垂直直与与 轴轴的的截截面面面面积积 则则立立体体体体积积为为xabxy)(xA()dbaVA xx 9.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积如果曲线弧的参数方程为如果曲线
10、弧的参数方程为,)()(tytx )(t10.平面曲线的弧长平面曲线的弧长22()()dsttt 则曲线弧长为则曲线弧长为首页 上页 下页 返回 结束 13 物体在变力物体在变力F(x)的作用下的作用下,从从x轴上轴上a点移动到点移动到 b点点,所做的功为所做的功为()dbaWF xx 11.变力作功变力作功12.水压力水压力 对液体深度作微元对液体深度作微元,求得压强求得压强,然后对深度积分然后对深度积分可求得物体所受的水压力可求得物体所受的水压力.计算一根细棒对一个质点的引力计算一根细棒对一个质点的引力,可将细棒置可将细棒置于坐标轴上建立直角坐标系于坐标轴上建立直角坐标系,对细棒所处的区间
11、取对细棒所处的区间取微元微元,然后积分然后积分.13.引力引力首页 上页 下页 返回 结束 14二、基本方法二、基本方法12346、利利用用定定义义、利利用用定定积积分分的的几几何何意意义义、利利用用牛牛顿顿莱莱布布尼尼茨茨公公式式、利利用用换换元元法法、利利用用分分步步积积分分法法主要方法主要方法 ()d()()()(),(),baf xxF bF af xf xa bF xa b 对对于于牛牛顿顿莱莱布布尼尼茨茨公公式式的的应应用用,应应注注意意此此公公式式通通常常只只用用于于被被积积函函数数连连续续的的情情形形,对对于于在在上上可可积积,但但有有间间断断点点的的情情形形要要具具体体考考虑
12、虑.另另外外,也也必必须须在在上上连连续续.首页 上页 下页 返回 结束 1500(1)()d ()()d(2)()()d0(3)()()d2()daaaaaaaaf xxf xfxxf xf xxf xf xxf xx 若若为为奇奇函函数数,则则若若为为偶偶函函数数,则则00(5)()d()d ()aaf xxf axxtax令令0(4)()()d()da TTaf xTf xxf xx 若若是是周周期期函函数数,为为周周期期,则则利利用用换换元元法法可可得得许许多多公公式式:首页 上页 下页 返回 结束 1622002002000(6)(sin)d(cos)d(7)(sin)d2(sin)
13、d(8)(sin)d(sin)d (sin)d2fxxfxxfxxfxxxfxxfxxfxx 首页 上页 下页 返回 结束 7、定积分应用的基本方法、定积分应用的基本方法:微元分析法微元分析法微元形状微元形状:条、条、段、段、带、带、片、片、扇、扇、环、环、壳壳 等等.17一、一、定积分的应用及方法定积分的应用及方法几何方面几何方面:面积、面积、体积、体积、弧长、弧长、表面积表面积.物理方面物理方面:质量、质量、作功、作功、侧压力、侧压力、引力、引力、转动惯量转动惯量.首页 上页 下页 返回 结束 18三、例题选讲三、例题选讲22 ln(1)d.xIxex 计计算算例例1 1 解解注注意意到到
14、区区间间的的对对称称性性,将将被被积积函函数数表表为为奇奇函函数数与与偶偶函函数数之之和和:11()()()()()22f xf xfxf xfx奇函数奇函数偶函数偶函数20 ln(1)ln(1)dxxxexex 22221 ()d()()d2f xxf xfxx所所以以20()()df xfxx 首页 上页 下页 返回 结束 1983 lim()d()xaxaxf ttf xxa 求求,其其中中例例2 2连连续续.lim()dxaxaxf ttxa 解解lim()d()xaxaf ttx f x ()a f a 洛必达法则洛必达法则201 lnd1xxexxe 22200lnddxxexxx
15、0()dlim)0 xaxaxf ttxa 型型首页 上页 下页 返回 结束 2020(1)(2)dxttx 讨讨论论的的单单调调性性,并并例例3 3求求极极值值.20()(1)(2)dxxttt 解解 设设2()(1)(2)xxx 则则12()012xxx 令令,得得,1()0()xxx 当当时时,所所以以单单调调减减少少;1(2)()0()xxxx 当当时时,所所以以单单调调增增加加.()1xx 从从而而在在处处取取得得极极小小值值.极极小小值值为为432101544)43tttt驻点驻点120(1)(1)(2)dttt 1320(584)dtttt 1712 首页 上页 下页 返回 结束
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